基于MPCK視角下的“函數概念”認識與解讀

周波

摘 要：基于MPCK視角下的“函數概念”教學，旨在透過MK、PK、CK、TK四個維度整合教學。從引入函數概念的必要性入手，經歷概念形成的過程，通過學生對概念的仔細判斷、邏輯分析、概括推理，并最終歸納得出概念，并能通過概念解決相關問題。再進一步挖掘函數概念的內涵與外延，讓學生真正理解函數概念的本質，創設相應的教學情境激發學生的學習熱情。

關鍵詞：MPCK；函數概念；啟示

數學概念是客觀對象的數量關系和空間形式本質屬性的反映，它的產生與發展來源于生活實際，并最終應用于生活實際。2016年3月筆者參加了貴州省省級重點課題《基于MPCK視角下的高中數學課堂教學實踐研究》的研究。通過MPCK理論（MPCK（數學學科教學知識）是由MK（數學學科知識）、PK（一般教學法知識）、CK（有關數學學習的知識）以及TK（教育技術知識）融合而成，其本質是教師如何將數學知識的學術形態轉化為教育形態）的學習，筆者認為在進行概念教學時，教師可從MK、PK、CK、TK四個維度開展教學，讓學生從理解概念引入的必要性入手，通過相應的教學情境，讓學生經歷概念形成的發展過程；讓學生再進一步對概念仔細判斷，邏輯分析，概括推理，并最終歸納得出概念，并能通過概念解決相關問題。

一、基于MPCK視角下“函數概念”的認識

1.MK維度下的函數概念教學

從MK的視角出發，首先，教師要準確把握教學大綱，知道函數概念在高中數學中的地位，弄清函數概念發展的歷史，明白用集合論定義函數概念的必要性；其次，教師要幫助學生從教材實例中抽象出數學問題，建立數學模型；再次，教師要指導學生深度挖掘函數概念的內涵與外延，從中體會概念所蘊含的數學思想方法；最后，教師對概念之間的聯系以及整個數學概念體系要有全方位的了解，幫助學生構建數學知識體系。

2.PK維度下的函數概念教學

基于PK視角下的高中函數概念教學。首先，教師通過教材上的三個實例將概念融入現實生活中，提高學生建立函數模型的能力；其次，教師要引導學生發現概念的本質屬性，幫助學生從對概念的感性認識過渡到本質認識；再次，教師在引導學生發現概念本質屬性后，要讓學生能夠敘述出具體的概念內容，在學生敘述的基礎上，教師對概念進行提煉，幫助學生由表象層面過渡到概念層面；再者，要和初中函數概念進行對比，引導學生用規范的集合語言敘述函數概念，并能用規范的符號語言表示函數概念；最后，就是強化對函數概念的深層次認識，識別函數概念的易錯點和易混點，防止學生對概念一知半解。

3.CK維度下的函數概念教學

CK視角下的高中函數概念教學，教師要從各個測度了解所教學生的學習力和學習水平，以便在備課時真正把握學生學習的起點和思維水平，避免盲目拔高知識的難度和深度。在教學時，要對課堂可能出現的問題作必要的預設，要根據學生的反饋情況適時進行教學策略的調整。課堂練習題的設計要有梯度，具有解決學生易錯、易混淆問題的功能。此外，在進行教學設計時，除教知識內容外，還要幫助學生提升自信，提高學生數學表達的能力。

4.TK維度下的函數概念教學

TK視角下的高中函數概念教學，可以通過多媒體、微課等現代化的教學手段進行教學，比如可以制作函數概念發展史的微課，在得出函數的概念后播放，讓學生了解函數概念的形成過程、“函數”一詞的由來等等，旨在幫助學生更直觀地了解函數概念的形成過程，向學生滲透數學文化方面的知識，提高學生學習數學的興趣。

二、基于MPCK視角下“函數概念”的解讀

1.情境引入

在引入函數（人教A版高中數學必修1）概念時，首先教師開門見山地提出本節課的中心話題——函數，本節課的重點也就是理解并掌握函數的概念。函數在初中己經學過，學過的具體函數有正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數，接著提出問題：在初中己經學習過“函數”，你能敘述一下初中函數的概念嗎？關鍵詞有哪些？引導學生小組交流思考，鼓勵學生積極表達自己的觀點，最后總結得出初中函數的概念，并對概念進行簡要解讀。

通過課本三個實例：“炮彈發射距離”“臭氧層空洞面積”“我國城市居民恩格爾系數變化情況”，讓學生根據課本設計的問題進行回答，學生在回答過程中，教師要認真傾聽，及時發現并糾正學生在表達上的不當之處，適時給予學生恰當的評價。在完成三個實例教學之后，讓學生找出其內在聯系，最后師生一起歸納得出函數概念。

通過引導學生對概念進行解讀、思考和討論，形成對函數概念本質的正確認識和把握。學會用函數符號表示函數，教師要透徹地給學生講清楚函數符號的意義。另外通過觀看微課，讓學生了解函數概念的歷史演變過程，向學生滲透數學史知識，啟發學生課后進一步搜集數學家們對函數的定義。讓學生感受到：自己對函數概念的疑惑之處，也正是當初數學家們所經歷過的。這樣可以激發學生學習數學的熱情和信心，并感受數學家對待科學嚴謹求實、追求完美的高貴品質。

2.數學理解

函數概念是比較抽象的，要深刻認識概念的內涵與外延，必須引導學生去發現函數概念中的關鍵詞與關鍵語句，以及概念中容易產生誤解的地方。因此，教師可以根據函數概念提出如下問題：在函數概念中，你認為哪些是關鍵詞？如何理解這個概念呢？

經過和學生的對話與交流，總結出概念中需要注意的地方：

（1）A，B是非空數集，即函數是數集到數集的對應，并且函數的定義域不能為空集。

（2）對應關系與唯一確定。比如，集合A={1，4，9}，B={±1，±2，±3}，對應關系是開平方，這種對應是不是函數？為什么？再如，A={±1，±2，±3}，B={1，4，9，16}，對應關系是平方，這種對應是不是函數？為什么？結合教師給的實例，通過生生交流的方式，讓學生反復對概念進行推敲和識別，并最終達成共識。第一個例子不是函數，因為集合A中的任意一個元素在集合B中有兩個元素與之對應，不符合函數的概念；而第二個例子是函數，因為集合A中的任意一個元素在集合B中都只有唯一一個元素與之對應，符合函數的概念。“唯一確定”即是說，允許“多對1，1對1”，但不允許“1對多”。A中的每一個數都要用到，但集合B中的數不需要全用到。所以，集合B中可以有多余元素，即值域是集合B的子集。通過這種正反例的教學，讓學生對易混易錯之處有了更深刻的理解與把握。

三、基于MPCK視角下的“函數概念”教學啟示

1.教師要不斷加強反思和學習，以形成自己的MPCK

正如葉瀾老師所說：一個教師寫一輩子教案不一定成為名師，如果一個教師堅持寫三年的教學反思，有可能成為名師。的確，教學反思對一線教師來說，它是提高教師教學水平和教學效果的有力武器。教學反思可以幫助我們從每堂課的教學設計、教學方式、教學過程和教學效果當中發現自身教學中存在的不足和需要改進的地方，并針對具體情況提出改進的方案，通過日復一日的教學反思，可以快速提升自身的PCK水平和教學效果。

好的數學教學不僅需要過硬的MK，更需要良好的PCK，這已是不爭的事實。在數學教學中，教師對某一概念、定理不但要知其然，更重要的是知其所以然。為了使學生更準確理解數學概念、定理，教師要站在學生的立場，通過恰當的方式向學生表征概念，能夠讓學生以最恰當的方式理解和把握概念的形成過程及其本質特征。要達到這一目標，需要教師在豐富自己MK的同時，不斷學習教育教學理論知識，學習優秀教師的教學經驗，以拓寬自己的知識視野，豐富自己的教學經驗，以便更好地在教學實踐中發展和完善自身的MPCK，從而更進一步提升自己的MPCK發展水平。

2.教材內容的挖掘與豐富

教材是教學的第一資源，因此，教師要深入研讀教材，勤于鉆研教材，深刻領會課程標準，并對教材資源進行合理的加工與整合，拓寬教學的渠道，豐富教材的意義，以彌補教材的缺陷。這樣能更好地促進學生的有效學習，推動教師的專業發展。教師尤其要注意在這一過程中教師對教材知識的挖掘要以學生的理解為基礎，不能盲目拔高知識的難度和廣度，要根據學生的實際學習情況，對教材內容進行合理整合。

概念教學是高中數學教學中的一個重難點，在實際教學過程中，教師要讓學生感受到數學概念不是枯燥乏味的，每個概念的形成和發展都是經過千百年的演變而形成的，里面有著豐富的數學史知識，蘊含著深刻的數學思想和方法。因而教師自身要不斷發展和豐富自己的MPCK知識，在數學核心知識和思想方法方面下功夫，不斷學習和研究，才能有更多的涉獵，才能更好地為教學服務。

參考文獻：

[1]李渺.數學專業師范生MPCK發展“五部曲”[J].數學教育學報，2013.

[2]李渺.MPCK視角下的“一次函數與一次不等式”[J].中學數學，2011.