語言轉換中建構數學模型

盧清榮

《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求讓學生經歷模型猜想—驗證—解釋—運用的過程。建立和求解模型能提高學生的學習興趣和應用意識。小學數學教科書由實物照片、圖形、圖文結合、文字、符號等構成，這些圖形、文字、符號就是數學語言。數學語言按其形式一般分為圖形語言、文字語言、符號語言三類。數學教學是數學語言的教學，數學知識學習的過程就是數學語言不斷生成、運用、內化的過程。學生學習數學知識時如果能靈活運用數學語言并轉換，有利于他們熟練建構數學模型。張丹教授執教的“長方體的體積”這節課，在培養學生數學語言轉換能力方面給我們做了很好的示范。

【片段一】模型準備中圖形語言轉換為文字語言

師（出示長方體圖形）：長方體的體積可能與什么有關？大膽猜想一下。

生1：可能與面積有關。

生2：可能與長、寬、高有關。

生3：可能與表面積有關。

生4：可能與棱長有關。

【賞析】問題是思維的起點，也是探究的動力。提出一個問題往往比解決一個問題更重要。上課伊始，張教授直奔主題，提供一個長方體圖形，讓學生觀察并猜想長方體的體積與什么有關。觀察圖形幫助學生喚醒長方體的特征、計算等知識經驗，建立相關知識與體積之間的關系。學生根據圖形提出猜想的過程就是圖形語言轉換為文字語言的過程。學生在思考的基礎上提出符合自身認知經驗的問題，激發他們思考問題的興趣和好奇心，為認識長方體體積模型做好充分準備。

【片段二】模型建構中圖形語言轉換為符號語言

師：謀劃謀劃，要怎樣研究？老師為你們提供了一些學具。

（教師出示一些體積是1立方厘米的小正方體木塊。學生動手操作：有的用尺量，有的畫圖……但大部分學生不知所措。）

師：可能有的同學還不知道體積。什么是長方體的體積？

生：長方體所占空間的大小就是長方體的體積。

師：（舉起1立方厘米的小正方體）這是什么？

生：1立方厘米的小正方體，是體積單位。

師：老師發現個別同學有思路了。請這位同學給大家介紹一下她的想法。

生：可以用這樣的體積單位搭一個相同的長方體，就可以知道它的體積了。

師（學生搭長方體后）：誰來說說你手里的長方體的體積怎樣求？

生：長方體的體積等于長乘寬乘高。

師：你是怎么想的？

生：我是用小正方體搭的（圖1）。

師：同學們認真觀察一下，看她搭的長方體的體積是——

生：3×2×2=12。

師：你們有問題要問她嗎？

生1：3是什么？

生2：長方體的長是由3個小正方體擺成的。

生3：3×2是什么意思？

生4：表示一個面的面積。

（教師舉起其中一層，驗證3×2是表示其中一層的面積。）

師：那為什么還要乘2？

生：有2層。

師：這個長方體體積是3×2×2。長方體體積是不是就等于長乘寬乘高呢？

生：是。

師（出示圖2）：老師用小正方體擺了個長方體，這個長方體的體積是多少呢？

生：4×2×3。

師：為什么是4×2×3呢？

生：4×2表示一層有8個小方塊，有這樣的3層，一共是24個。

師：他先求一層有幾個小方塊。有3層就再乘3，就把這個長方體的體積求出來了，你們同意嗎？

生：同意。

師：無論是剛才那位同學搭的，是你們自己搭的，還是老師搭的這個長方體，你們覺得長方體的體積應該怎么求？

生：長方體的體積等于長乘寬乘高。

【賞析】計算長度、面積、體積的本質是相同的，都是計算圖形中包含多少個這樣的度量單位。計算長方體的體積時，從整體中“分出”多少個體積單位，學生一般缺少這方面的思維經驗，因此，“分出”計量單位個數的方法不易操作和被發現。轉換思維視角，用n個體積單位拼成一個大長方體，讓學生直觀操作并感知長方體的體積實質就是n個體積單位聚合的思維形式，學生更容易接受。張教授準確把握學情并提供研究材料，引導學生用拼搭的方法從部分到整體理解長方體的長寬高與小正方體個數的關系，引導學生驗證猜想并推理論證，3×2既可以表示每排3個擺2排，需要6個小正方體；還可以理解為3表示長，2表示寬，長乘寬等于底面積；3×2×2既可以表示大長方體中包含小正方體的個數，又可以表示長寬高的積。用數數的方法得到小正方體的總個數就是這個長方體的體積，用3×2×2也表示長方體的體積。把數小正方體個數轉化為列式計算的過程，其實就是把圖形語言轉換為符號語言的過程，學生初步建立了長×寬×高與體積的關系。教師再次舉例，放手讓學生充分探究、驗證、說理，長方形體積模型在數學語言轉換中得以凸顯。

【片段三】模型確立中符號語言轉換為文字語言

師：所有長方體的體積都等于長×寬×高嗎？

（學生猶豫。）

師（出示圖3）：這個長方體的體積是8×4×4嗎？

生：用棱長1厘米的小方塊擺，長可以擺8個，寬可以擺4行，高可以擺4層。

師：你們能想象出來嗎？

（課件出示拼擺過程，很多學生露出驚喜的表情。）

師：長方體的體積就是長×寬×高，你信嗎？

生：信。

師：長乘寬就是什么？

生：底下一個面的面積。

師：高是什么？

生：幾層。

師：如果再給你一個長7、寬6、高4的長方體，它的體積是7×6×4嗎？

生：是。

師（指向長方體抽屜）：這個長方體的體積是長×寬×高嗎？

生：是。

師：我們回憶一下，剛才我們提出了一個話題“長方體的體積”，然后我們想到了操作、猜想、驗證，把長方體“體積=長×寬×高”由“？”變成了“。”。

【賞析】荷蘭的數學家弗賴登塔爾認為：學生學習數學知識的過程是他們“再創造”的過程。“再創造”的過程就是學生分析問題、理清數量關系、抽象概括、建立模型的過程。張教授為了讓學生深入驗證長方體的體積就是長乘寬乘高，向學生提供了8×4×4的算式，讓學生說它是否表示長方體的體積，學生通過舉例和空間想象，分析每個符號所表示的圖形意義，長方體體積模型公式在推理中明確建立。從算式符號到空間想象，符號語言轉換為圖形語言，再用文字語言抽象、概括長方形的體積計算模型，數學語言轉換幫助學生清晰建構數學模型，還讓學生清楚知道知識“是什么”和“為什么”。

【片段四】模型拓展中文字語言轉換為文字語言

師：還有其他新的問題嗎？

生：正方體的體積怎么求？

師：如果正方體的棱長是6呢？

生：6×6×6。

師：大膽地想一想，你還能求出哪些立體圖形的體積？

生：圓柱。

師（指向話筒的圓柱部分）：你有想法嗎？

生（指著底面）：先求底下這個面的面積再乘層數。

生：半徑乘半徑乘高。

師：她大膽猜想，但有點小問題。等你們學了圓的面積就知道了。還想知道什么立體圖形的體積？

生：三棱柱。

師：怎樣求它的體積？

生（指著三棱柱的底面三角形）：求出這個面的面積再乘高。

師：還想知道什么立體圖形的體積？

師：只要什么，就——

生：只要是立體圖形，知道它的底面積和高就能求出體積。

師：你們認為呢？

（學生交流得出：只要是規則的、上下一樣粗的立體圖形，都可以用底面積乘高求出它的體積。）

【賞析】日本數學教育家米山國藏說：“學生們所學到的數學知識，在進入社會后不到一兩年就忘掉了，然而那種銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想方法卻長期在他們的生活和工作中發揮作用。”我們在教學中要有意識地對學生進行數學思想、數學方法的滲透，提高學生的數學素養。張教授大膽讓學生猜想還能求出哪些立體圖形的體積，學生基于長方體體積的探究經驗，猜想圓柱、三棱柱的體積，建立長方體體積與其他立體圖形的體積形體上的共性，抽象、概括出所有立體圖形體積的共同本質——每層所擺體積單位的個數乘層數（高）就是體積數。長方體的體積模型擴展為一類立體圖形的體積模型，在文字語言轉換為文字語言中培養學生遷移、類推能力。學生學習有聯系、有結構的數學，有利于立體圖形整體認知結構建立。

總之，張丹教授從學生的認知經驗出發，引導學生經歷模型建構過程，有意識地運用數學語言轉換幫助學生有效思維，學生靈活地運用和轉換數學語言，長方體體積模型建構輕松自然。

（作者單位：江蘇省睢寧縣實驗小學）

責任編輯 李杰杰

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