經濟分析中導數的應用研究

靳一千

摘 要：運用數學方法分析經濟問題已經成為一種常態，尤其是數學知識中高等數學的使用更為經濟經驗分析提供了途徑，運用導數的知識進行彈性分析就是很恰當的使用例子。

關鍵詞：經濟分析；導數；應用研究

前言

經濟學家早在很早之前就開始將數學知識應用到分析經濟學問題中。Z 古希臘時期，歷史學家色諾芬所提出的財富增長思想中其實就已經使用了數學知識。隨著時間的流逝，數學知識在經濟學中應用的范圍也越來越廣，尤其是近代以來，不再緊緊停留在理論層面的探討，通過運用數學知識對問題進行量化分析，使經濟學稱為一門越來越嚴謹的科學。在眾多經典的經濟學理論中，像是納什均衡或者是期權定價公式都是運用數學知識來進行表示的。在市場經濟更加發展的今天，把數學知識作為量化分析工具來使用是情況越來越多，很多經濟學將這看作是經濟學進步的一個標志，因為這使經濟學變得更加嚴謹、準確。其中運用導數知識對經濟問題進行求解在經濟學中占有不小的比重，導數工具可以為面臨經濟難題的企業管理者提供一定的決策建議。本文主要分析導數工具在經濟學中的運用，主要關注彈性、邊際函數以及極值求解三個方面。

1.經濟分析中導數的應用

1.1導數知識在市場彈性價格需求分析中的應用

在分析經濟環節中的彈性價格方面可以使用導數知識來量化。我們假設在市場中，對一種商品的需求量為q，定義商品的價格為p。為了得到商品的需求彈性價格，我們可以對彈性函數進行求導，可以得到需求彈性價格公式為Ep=p/q（p）？q'（p）。通過以上公式，我們可以發現商品的價格每增加1%，商品相對應的市場需求量會相應地減少|Ep|%。運用導數知識來量化分析一種商品的市場需求彈性，我們可以對商品價格、企業需求甚至是企業的收益產生的影響有一個大致明確的范圍，是會增加還是減少，因為商品價格的上升會導致需求數量的下降，綜合來看對企業總收益的影響是不確定的。利用企業對這種商品統計的數據，基于導數知識的應用，可以為這種商品制定恰當的營銷策略。

例1：某產品的需求曲線為Q=150-10p，當價格p=5時，求產品的需求價格彈性，并闡述如何調整價格，才能提高總收益。

解：基于商品需求彈性價格公式：E= Q'（p）*p/q，需求曲線為Q=150-10p，價格p=5。商品需求彈性價格=-10p/（150-10p）=-0.5|E|<1。可以得出該產品為缺乏彈性的商品，想要增加總收益就必須使商品價格上升。

并不是所有的彈性公式都是一致的，經濟函數不同彈性計算也是不同的。像是需求價格彈性、供給彈性、收益彈性這些彈性的公式都不是一樣的，我們在使用時應該明確這一點。如果企業政策制定者在分析商品價格收益時能合理的使用商品的彈性這一經濟學知識，有利于企業制定正確合理的策略，增加企業收益與商品的市場占有率。

1.2導數在經濟邊際問題中的應用

導數知識除了可以應用在市場彈性價格需求分析方面，還可以用來分析邊際問題，確定商品的邊際成本、邊際收益和邊際利潤。舉例來說，在邊際利潤的計算中，定義商品的總利潤為L（Q）=R（Q）-C（Q），其中R（Q）表示的是總收益，C（Q）表示的是總成本，商品的平均利潤為L（Q）/Q，邊際利潤用導數的知識求解為L'（Q）=dL（Q）/d Q。

1.3導數在最優決策極值求解中的應用

除以上兩方面的應用外，導數還可以應用在求解最優的決策極值方面。最優決策極值代表的是數學中我們所指的函數的最大值和最小值。通過高等數學的學習，我們知道極值的求解過程：我們首先對函數求一階導數，得到函數的駐點和不可導點。根據這兩個點確定對應的區間范圍以及在這個范圍內數值的符號，得到函數的最大值和最小值。將以上數學原理應用到商品生產中，可以得到商品利潤最大化所對應的生產值和最大化利潤的數值。

例2：某公司生產銷售電子產品，一天的總成本為C元，其中固定成本為100元，每多生產一件商品，成本上升5元，該產品的需求函數為q=100-5p，其中q指生產量，p指產品價格，當產品的價格定為多少時，企業每天的利潤值可以達到最大化，而相應的生產量為多少？

解：根據最有決策極值的求解思路，求解過程如下：

總成本函數C=100+5q=200+5（100-5p）=700-25p，總收益函數R=pq=p（100-5p）=100p-5p2，那么邊際成本MC=-25，MR=100-10p，根據利潤最大化條件MC=MR，得到p=12.5，此外由于（MR）'=-10<（MC）'=0，所以，當產品定價為12.5元時，每天的利潤值達到最大化，相應的生產量為37.5件。

2.研究不足之處與展望

隨著經濟問題的研究越來越廣泛，導數在經濟學中的使用范圍也越來越廣。但是我們應該注意如何將生活中的經濟學問題轉化成數學語言進行分析。數學是嚴謹的，為了得到最理想的結果，會進行一系列的假設。因此我們在進行量化分析時也要進行嚴密合理的假設，使分析環境盡力達到理想化。本文主要是對經濟學問題中導數知識的應用從三個方面進行分析，并列出實例幫助理解。但是還有很多知識沒有列出，并且導數也并不局限在這三個方面使用。作為經濟分析中一個很常見的工具，導數可以為企業管理者制定策略提供建議，幫助企業達到利潤最大化。正如前面所說，導數的使用可以為我們制定生產策略提供指導，但是我們在使用時并不能簡單的拿來套用公式，更應該注意使用的條件是否滿足。要想完美的解決經濟學中存在的復雜問題，需要我們在掌握基本的數學知識基礎上，不斷學習不斷思考。

3.總結

運用高等數學知識作為分析經濟問題的量化工具，促進了經濟學的進一步發展。數學工具使得我們在分析問題過程中更加嚴謹，針對分析結果提出的政策建議更有針對性，有利于政策建議的制定者采納實施。這也使得經濟學成為一門可以量化的學科，擺脫了過去只能依靠理論經驗來探討問題的狀況。同時，經濟問題的解決也為高等數學的實踐應用提供實例，高等數學研究的不斷深入也促進了經濟理論不斷發展。在經濟局勢更加復雜的今天，經濟理論的發展有利于我們更好的制定相關的政策來解決問題。

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