數(shù)列極限概念的教學(xué)法研究

何天榮+王兆春

摘 要：極限理論是《數(shù)學(xué)分析》課程的理論基礎(chǔ)及研究工具，極限理論貫穿于《數(shù)學(xué)分析》課程的始終，學(xué)好極限就為學(xué)好數(shù)學(xué)分析打好了理論基礎(chǔ)。據(jù)筆者多年教授《數(shù)學(xué)分析》課程的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)極限理論的學(xué)習(xí)有畏難情緒。究其原因有兩點(diǎn)：一是極限概念的分析語(yǔ)言太抽象、涉及的符號(hào)多，難以理解；二是極限概念是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、無(wú)限的概念，比初等數(shù)學(xué)靜態(tài)的、有限的概念抽象。本文從透徹理解極限概念的分析語(yǔ)言入手，闡述極限概念的教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限；分析語(yǔ)言；數(shù)學(xué)分析

一、 極限在《數(shù)學(xué)分析》課程里的地位和作用

極限理論是數(shù)學(xué)分析課程的理論基礎(chǔ)和研究工具，數(shù)學(xué)分析中許多概念如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分、曲線積分和曲面積分都以極限作為理論基礎(chǔ)定義的；反常積分通過(guò)化歸思想轉(zhuǎn)化成正極限和定積分來(lái)解決的；數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)按定義的收斂性判別法及求和也是通過(guò)極限的化歸思想解決的。極限理論在數(shù)學(xué)分析課程中既是理論基礎(chǔ)又是貫穿課程始終的橋梁，數(shù)列極限是極限理論的基礎(chǔ)，是進(jìn)一步學(xué)好函數(shù)極限的保證。

二、 數(shù)列極限概念的教學(xué)方法

描述性的概念：對(duì)于數(shù)列{an}，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，如果an無(wú)限地接近于某個(gè)常數(shù)a，就稱數(shù)列{an}以a為極限，或者稱數(shù)列{an}收斂于a。描述性的概念通俗易懂，但不能精確地描述極限概念，于是就有了數(shù)列極限的“ε-N”定義。

精確定義（“ε-N”定義）：設(shè){an}為數(shù)列，a為定數(shù)。（1）若對(duì)任給的正數(shù)ε，（2）總存在正整數(shù)N，（3）使得當(dāng)n>N時(shí)，（4）有|an-a|<ε，則稱數(shù)列{an}以a為極限，或者稱數(shù)列{an}收斂于a。

數(shù)列極限的“ε-N”定義雖說(shuō)是精確定義，但對(duì)于初接觸本概念的同學(xué)來(lái)說(shuō)太抽象，如果沒(méi)有老師的透徹講解那是根本不能理解的。據(jù)筆者多年講授本課程的經(jīng)驗(yàn)，一定要花大力氣在概念的講解上，只有透徹理解了數(shù)列極限的概念才能為數(shù)列極限的性質(zhì)的證明、函數(shù)極限的概念及性質(zhì)和后續(xù)許多知識(shí)的學(xué)習(xí)打好理論基礎(chǔ)。

在講授數(shù)列極限的“ε-N”定義時(shí)把握好描述性定義中的兩個(gè)“無(wú)限接近”，一是n無(wú)限增大，二是an無(wú)限地接近于某個(gè)常數(shù)a。而這兩個(gè)中的每個(gè)“無(wú)限接近”又通過(guò)“ε-N”定義精確定義中的兩句話來(lái)解釋：數(shù)列{an}以a為極限首先要滿足an無(wú)限地接近于常數(shù)a，刻畫這句話我們首先任給一個(gè)正數(shù)ε（無(wú)論多小），讓an與a的距離任意小，即|an-a|<ε，因?yàn)棣攀且粋€(gè)任意小的正數(shù)，而an與a的距離比ε還小，這就說(shuō)明an與a的距離任意小也就精確刻畫了an無(wú)限地接近于常數(shù)a，對(duì)應(yīng)“ε-N”定義中的第（1）和（4）句話；第二個(gè)“無(wú)限接近”是n無(wú)限增大，我們刻畫這句話也是對(duì)應(yīng)“ε-N”定義中的兩句話：總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)應(yīng)“ε-N”定義中的第（2）和（3）句話，應(yīng)該如此講解：首先N是一個(gè)確定的正整數(shù)，它對(duì)應(yīng)數(shù)列的第N項(xiàng)，即aN，第（3）句話“n>N時(shí)”表示的是數(shù)列中N以后的所有項(xiàng)即aN+1，aN+2…滿足（4）的不等式即|an-a|<ε，即不等式中的n表示N+1，N+2…。

理解數(shù)列極限的概念首先要直觀地熟悉描述性的定義，其次是要把描述性的定義（兩句話即兩個(gè)“無(wú)限接近”）用分析語(yǔ)言精確刻畫，每個(gè)“無(wú)限接近”對(duì)應(yīng)于“ε-N”定義中的兩句話，而分析定義中的四句話間又是邏輯緊密聯(lián)系的：任取的ε是為了刻畫an與a的距離任意小，N是為了刻畫它之后的項(xiàng)能滿足|an-a|<ε。

特別要注意的是幾個(gè)抽象符號(hào)的理解：ε是一個(gè)任意小的正數(shù)，一般取（0，1）之間的數(shù)，2ε，ε，ε2等等也表示任意小；N是一個(gè)有限的正整數(shù)，在理論證明中是需要我們找出來(lái)的，N是依賴于ε而存在的，即ε越小，找到的N就越大，同時(shí)，N并不唯一，在找到滿足條件的某個(gè)N時(shí)，凡是比N大的正整數(shù)都可以取作N或者說(shuō)越大越能滿足條件。

根據(jù)概念證明極限時(shí)要從第（4）句話入手，假設(shè)|an-a|<ε的前提下找N，證明的關(guān)鍵在于找N，證明過(guò)程的原則是適當(dāng)放大的原則。

三、 結(jié)語(yǔ)

極限是《數(shù)學(xué)分析》課程中最重要的概念之一，而數(shù)列極限又是函數(shù)極限的基礎(chǔ)，所以，一定要下大工夫講透數(shù)列極限的概念，只要能夠深刻理解數(shù)列極限，對(duì)數(shù)列極限的性質(zhì)及函數(shù)極限的概念和性質(zhì)的理解就自然輕松了。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

作者簡(jiǎn)介：

何天榮，王兆春，云南省麗江市，麗江師范高等專科學(xué)校教師教育學(xué)院。endprint