巧用復數(shù)理論解決初等數(shù)學問題

岳曦夢+劉雙雙

摘 要：在很多問題中，巧妙地利用復數(shù)，會使問題簡潔明快。不等式問題，在數(shù)學當中有著廣泛的應用，在本文中，我們將復數(shù)模的基本性質(zhì)、復數(shù)的幾何意義，復數(shù)間形式的轉(zhuǎn)化，復數(shù)與向量的關系等應用到基本實數(shù)不證明的證明當中。

關鍵詞：復數(shù)；不等式；復數(shù)模的性質(zhì)；復數(shù)的應用；解析；幾何

一、 前言

十六世紀前半葉，在Cardan公式中用了復數(shù)開放而引進了復數(shù)。它在很長一段時間內(nèi)困惑著廣大數(shù)學工作者，以至于被稱為“詭辯量”、“實數(shù)的鬼魂”、“虛數(shù)”、“介于存在與不存在之間的兩棲物”等。復數(shù)與我們過去認識的數(shù)有一個明顯的區(qū)別，復數(shù)沒有大小。對此，一度也曾使人費解。直到上世紀初，數(shù)的大小與數(shù)的加法、乘法運算有著密切關系，也就是說，數(shù)的大小順序要與某種排列順序分開，前者受運算性質(zhì)的制約，后者可以與運算性質(zhì)沒有關系。

雖然復數(shù)之間不存在大小關系，但是復數(shù)的模、實部、虛部作為實數(shù)，是可以比較的，因此復數(shù)的模、實部、虛部之間是存在不等關系的。利用復數(shù)的性質(zhì)、幾何意義等可以對不等式進行巧妙地證明，我們將復數(shù)形象地理解為：復數(shù)z=a+bi與復平面內(nèi)的點z（a，b）是一一對應的，也可理解為：復數(shù)z=a+bi與復平面內(nèi)的向量OZ是一一對應的。將復數(shù)具體話將幫助我們更深刻的理解復數(shù)，更加巧妙地運用復數(shù)來解決實際遇到的問題，探究復數(shù)在解決數(shù)學題中的重要意義，培養(yǎng)學生創(chuàng)造性的思維。

二、 在解析幾何中求動點到定點距離的最值

在解析幾何中，求定點到動點距離，也可以考慮把問題轉(zhuǎn)化為求復平面上這兩點為起始的向量的模的最值。

【例1】 求圓C：x2+y2=4上的點到定點P（3，33）的最大距離與最小距離。

解：圓C的復數(shù)形式是|Z|=2；設圓C上的任意點為Z，對應的復數(shù)是Z，

P點應的復數(shù)是：3+33i；由復平面上兩點間距離公式得|PZ|=|Z-（3+33i）|，

據(jù)兩復數(shù)差的模的不等式，有 ||Z|-|3+33i||≤|Z-（3+33i）|≤|Z|+|3+3i|；即4≤|PZ|≤8，由Z的幅角的任意性，可知兩個等號可以到達，

圓C上的點到定點P的最大距離是8，最小距離是4。

三、 用復數(shù)證明正弦定理

正弦定理：asinA=bsinB=csinC。

證明：建立坐標系，三角形在坐標系中任意位置，

設A、B、C所對應的復數(shù)分別為z1、z2、z3。

顯然z3-z1z2-z1=bc（cosA+isinA），z1-z2z3-z2=ca（cosB+isinB）

故sinAa=cabIz3-z1z2-z1=cab|z3-z1|2I（z3-z1）（z3-z1）=1abcIz1z3-z2z3-z1z2

∵Iz3z2-z3z1=Iz1z3-z2z3

故asinA=bsinB，同理bsinB=csinC，所以有asinA=bsinB=csinC成立。

四、 利用復數(shù)的模導圓錐曲線方程

圓錐曲線是動點到定點的距離和到定直線的距離之比是常數(shù)λ的點的軌跡。利用復數(shù)的模同樣能實現(xiàn)推導圓錐曲線，下面是求解的具體步驟方法。

解：設動點z=x+yi，定點為z0，定直線為z=-p2i，

則有|z-z0|=λ|Iz-Ip|；即x+yi-p2=λy+p2，

當λ=1時為x2=2py，若定點為z0=p2，定直線為z=-p2，則用同樣的方法可導出此圓錐曲線的方程：x-p22+y2=λ2x+p22，當λ=1時，方程為y2=2px。

五、 求解含有復數(shù)的不等式

含有復數(shù)的不等式是我們中學曾經(jīng)接觸過的，在應用復數(shù)理論的時候，更要注意巧妙、嚴謹?shù)氖褂茫拍軐蛿?shù)思維的寬度以及廣度最大化，把虛無的世界變得條理清晰，具備說服力和真實性。

【例2】 解不等式-1

解：已知z+1z∈R，于是可令z+1z=r（r∈R），不等式即可變形為：-1

所以不等式-1

倘若令不等式-1

則x=r2，y=±4-r22，x2=r22，y2=1-r24=1-x2

則x2+y2=1，并且y≠0，x≠±1；由此可知解集S是復平面上以原點O為圓心，

以1為半徑的圓心上去掉（1，0）和（-1，0）兩點的兩段連續(xù)圓弧。

參考文獻：

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[2]余致甫.數(shù)學教育學概論[M].上海：華東化工學院出版社，1990：172-176.

[3]宋慶.數(shù)學問題解答I257題[J].數(shù)學通報，2000，（3）：7-10.

作者簡介：

岳曦夢，吉林省長春市，吉林師范大學；

劉雙雙，浙江省杭州市，杭州市星瀾小學。