借助幾何直觀，“以退求進”

江蘇省常熟市王莊中心小學 黃 芳

數(shù)學知識的形成依賴于幾何直觀，數(shù)學的發(fā)展過程也表明，再抽象的數(shù)學結(jié)論也總能找到相對直觀的表征和解釋。著名數(shù)學家華羅庚教授指出：數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微。“數(shù)形結(jié)合”的思想是數(shù)學重要的思想，幾何直觀是數(shù)形結(jié)合思想的更好體現(xiàn)。他還說：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，退到我們?nèi)菀卓辞鍐栴}的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅。”借助幾何直觀，“以退求進”策略在數(shù)學教學中的運用，會讓學生真正經(jīng)歷獲取知識與方法的過程，知道解決問題的方法是怎么想到的，使數(shù)學教學更富有意義，學習經(jīng)驗得以積累和形成，學生知其然，更知其所以然。

一、示意圖，化抽象為形象——揭示算理的本質(zhì)

算理是四則運算的理論依據(jù)，是由數(shù)學概念、運算定律、運算性質(zhì)等構(gòu)成的，它是計算的原理與依據(jù)，而運算法則是四則運算的基本程序和方法。算理不清，算法難以牢固；算法不明，計算技能難以形成，而理解算理、掌握算法的本質(zhì)就是不僅要知道怎么計算，還要明白為什么這樣算——知其然又知其所以然，這使計算教學的根本算理的抽象和算法的直觀形成了鮮明的對比。在數(shù)的運算教學過程中，可以借助幾何直觀，以圖為載體，巧妙地將算式與直觀圖相結(jié)合，把抽象的算理具體化、形象化，運用直觀模型幫助學生理解感知與理解算理。

師：這種算式以前碰到過嗎?對于這種新知識的解決，就要用到老師經(jīng)常說的一句話——最笨的辦法有時就是最好的辦法。猜猜看這個最笨也是最好的辦法是什么？

學生試著想辦法……老師點明：最原始的辦法就是拿出4個橘子分一分。

出示圖：

師：請看，數(shù)一數(shù)，你能告訴我得數(shù)嗎？看著圖，你還能用哪個算式告訴我答案呢？

學生交流：從圖上可以看出可以分給8人。1個橙子分給2人，4個可以分給8人。

展示學生作品：

由此得到：

師過渡：剛才我們研究了整數(shù)除以幾分之一的計算方法，接下來我們研究整數(shù)除以幾分之幾的計算方法。出示例題：一根繩子4米長，剪成每段米，可以剪成多少段？數(shù)量關(guān)系：用總米數(shù)÷每段的米數(shù)。列式：

要求：（1）先在圖中分一分，再在圖上數(shù)出結(jié)果并填在括號里。

師揭疑：誰能看著圖解釋一下為什么

智慧題：甲、乙兩人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇的地點離A地4千米，相遇后兩人繼續(xù)前進，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，兩次相遇地點之間相距多少千米？的結(jié)果一樣呢？

小學階段，整數(shù)除以分數(shù)的意義及算理比較抽象，學生理解起來困難較大。一句“最笨的辦法有時就是最好的辦法”將學習退到最原始而不失重要性的地方，然后教師帶領(lǐng)學生將“式”與“圖”溝通起來，讓學生感受到圖和式子之間的聯(lián)系，化抽象為形象。借助直觀理解算式背后蘊含的復雜算理，用數(shù)形結(jié)合的方法把學生的操作活動經(jīng)驗進行進一步的引領(lǐng)和提升，使學生對知識的內(nèi)化變得水乳交融，使得“技能”教育自然上升為“能力”的教育。

二、線段圖，化復雜為簡單——理清數(shù)量關(guān)系

基礎(chǔ)題：超市、銀行和學校在陽光大道的同一邊。超市距學校550米，銀行距學校250米。超市距銀行多少米？解決這一問題時，大部分學生只有一種答案：550+250=800（米）。教師如果能引導學生用畫線段圖的方式表達題意，學生就會有疑惑：超市、銀行和學校應(yīng)該在什么位置呢？用線段圖就能清楚、直觀地表示出兩種不同的情況（如下圖）。

數(shù)量之間的復雜關(guān)系導致學生很難理清數(shù)量之間的關(guān)系，但是有了圖，學生就不難理解：如上圖，兩人合作走一個全程，甲走了4千米，兩人一共合作走了3個全程，甲一共走了4×3=12（千米），所以兩次相遇點之間相距12-4-3×2=2（千米）。

直觀的線段圖不僅可以吸引學生的興趣，更重要的是借助圖形讓復雜問題簡單化，利于學生抽象出數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)基本的數(shù)學模型，規(guī)避錯誤，有效提高解決問題的效率和正確率，是解決問題的“靈通之術(shù)”，更是許多解題高手常用的解題策略，這個樁務(wù)必要夯實。

三、構(gòu)造圖，化煩瑣為簡明——巧妙解決問題

如：計算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64。這么煩瑣的計算題，如果數(shù)形結(jié)合，根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系構(gòu)造出如下圖示，就能很快地計算出結(jié)果。在此基礎(chǔ)上找到規(guī)律，就能解決這種類型的所有問題，當學生能一下子說出1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+……+1/256的結(jié)果時，可以想象得出孩子的成就感有多強。

幾何直觀具有原始的創(chuàng)造性。數(shù)學經(jīng)過形式化而趨于完美，又通過直觀化返璞歸真，這正是數(shù)學發(fā)展的辯證過程。數(shù)學應(yīng)該借助幾何直觀，解釋啟發(fā)學生思路，利用直觀背景或幾何直觀幫助學生理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，為學生創(chuàng)造主動思考的機會。如果教師能在每節(jié)課中持續(xù)開發(fā)“數(shù)形結(jié)合”的訓練點，久而久之，幾何直觀的種子便能在學生的頭腦中生根發(fā)芽。