探究方法 尋求規律 發掘背景
——記一道解析幾何題的講評

江蘇省常熟中學 朱 震

在一次復習解析幾何的單元測試中有一道題目，學生的答題情況不盡人意。在講評課上，筆者帶領學生共同探討了其解答方法。

一、原題呈現

思路一：C隨A動，D隨B動，所以CD的斜率必與AB有關。因此可以考慮用A、B兩點坐標表示C、D兩點坐標，進而用k來表示CD的斜率k1。

解：直線AM方程為：與橢圓方程聯立消去y整理得該方程的兩個根為

這是大多數解出此題的學生使用的方法。想法自然，處理得當。

二、探究方法

筆者在批閱時還發現了如下思路，在課上與同學們探究。

思路二：類比拋物線問題，用弦的端點坐標來表示弦所在直線方程。

∴直線AB方程為：

∵AB過F（1,0）

學生做到這里卡住了，放棄了用這一思路進行下去。筆者鼓勵全體學生一起思考，看看能不能幫她一起走出來。

學生集思廣益，很快得到了一個可行的方案：消元！

整理得：

由①②得 ，由①③得 。

筆者：H同學嘗試將研究拋物線的常用方法遷移到橢圓中，做法很好。雖然這樣的遷移不一定簡單，甚至不一定有效，但這是我們研究問題的常用策略。下面請同學們一起看一下使用這一思路得到的結果，我們能發現什么？

學生：點A與點D，點B和點C都關于x軸對稱，所以CD應該也經過F點，題目所給的圖畫錯了。

筆者：對的！如果圖畫對了（如圖），大家就容易猜到答案了。除了看到圖畫錯了，我們還能發現什么呢？

學生：①②③式的形式一樣，都是對稱式。但是①式是通過AB經過F點得到的，②③式是通過直線經過M點得到的，居然會有相同的結果。

筆者：然后呢？是不是只要通過x軸上一定點，就會有這樣的結果？還是這兩點必須滿足某種關系，才會有相同的結果？

學生：必須滿足某種關系！根據我的經驗，我猜是：橫坐標之積為2。

筆者：那好，我們一起來驗證一下你的這個猜想。

三、尋求規律

為了得到對稱式，學生很快給出了如下解答：

設存在常數λ，使得對任意滿足條件的k，恒為常數，

∴點E的橫坐標為方程的根。

筆者：猜想正確！如果在解題之前我們就知道這一結論，就可以直接聯立橢圓和直線方程，用韋達定理湊得兩交點橫坐標之間的關系，從而簡化運算。下面我們再一起來看看能不能得到更有價值的結論。

這樣，原題中兩交點的橫坐標之間的關系就明確了！

筆者：那么兩交點的縱坐標之間有何關系呢？

記E點對應的m為，則：

接著，筆者找出如下習題，供學生練習。

通過上述探究過程，我們得到一個一般性規律，即：若經過x軸上一定點的直線與橢圓交于A、B兩點，則有：

①A、B兩點的橫坐標之間滿足：

②A、B兩點的橫坐標之間滿足：其中，

而得到上述規律的常用方法，就是韋達定理結合待定系數法。今后我們在遇到類似條件時，就可以有的放矢。

四、發掘背景

筆者感到上述結論是優美的，似乎存在著某種必然的聯系。課后，筆者繼續深挖，在圓中挖掘本題的背景。

如圖，點E是半徑為R的圓O內一點，點T在射線OE上，滿足過E的直線交圓O于A、B兩點，TA、TB分別交圓O于點C、D。求證AD⊥OE，BC⊥OE。

同理，∠OBE=∠OTB。

另外，由BC⊥OE且AD⊥OE可得AD∥BC，

如圖，取ET中點I，由調和點列相關性質得

橢圓可以由圓經過伸壓變換得到，而伸壓變換保持同一直線上各線段比例關系不變，將上述圓進行縱向伸壓得到橢圓之后，水平直徑所在直線上各線段比例關系不變。

五、反思總結

波利亞指出：“教師最重要的任務之一是幫助他的學生。這個任務并不容易，它需要時間、實踐、奉獻和正確的原則。學生應當獲得盡可能多的獨立工作經驗。但是，如果把問題留給他一人而不給他任何幫助，或者幫助不足，那么他可能根本得不到提高。而如果教師的幫助太多，就沒有什么工作留給學生了。”數學教師幾乎每天都要批改作業，常常會在學生的作業中看到不同的解法，有些學生能夠順利解出答案，有些學生會卡在某一步。我們不能僅滿足于判斷學生作業的對錯，更應花時間幫助卡住的同學走出來，這個任務也不容易，也需要時間、實踐、奉獻和正確的原則。對于使用特殊方法而不成功的學生，應給予個別輔導，指出學生錯誤之處，引導學生深入思考，幫助學生規避彎路。對于有價值的方法，可帶領全班同學共同探究，進行推廣，做到舉一反三，多題一解。

教師常比學生有更敏銳的洞察力，比學生有更多的時間進行鉆研，當我們發現某一規律時，常可尋其背景，這是下一步命題的源泉。筆者根據上述背景進一步研究，命制了一系列新的習題，在蘇州市高中數學命題研究會議上，作了題為《推陳出新之心路歷程》的報告，獲得了一致好評。