江蘇省常熟中學 朱 震
在一次復習解析幾何的單元測試中有一道題目,學生的答題情況不盡人意。在講評課上,筆者帶領學生共同探討了其解答方法。
思路一:C隨A動,D隨B動,所以CD的斜率必與AB有關。因此可以考慮用A、B兩點坐標表示C、D兩點坐標,進而用k來表示CD的斜率k1。

解:直線AM方程為:與橢圓方程聯立消去y整理得該方程的兩個根為


這是大多數解出此題的學生使用的方法。想法自然,處理得當。
筆者在批閱時還發現了如下思路,在課上與同學們探究。
思路二:類比拋物線問題,用弦的端點坐標來表示弦所在直線方程。
∴直線AB方程為:
∵AB過F(1,0)
學生做到這里卡住了,放棄了用這一思路進行下去。筆者鼓勵全體學生一起思考,看看能不能幫她一起走出來。
學生集思廣益,很快得到了一個可行的方案:消元!

整理得:

由①②得 ,由①③得 。

筆者:H同學嘗試將研究拋物線的常用方法遷移到橢圓中,做法很好。雖然這樣的遷移不一定簡單,甚至不一定有效,但這是我們研究問題的常用策略。下面請同學們一起看一下使用這一思路得到的結果,我們能發現什么?
學生:點A與點D,點B和點C都關于x軸對稱,所以CD應該也經過F點,題目所給的圖畫錯了。
筆者:對的!如果圖畫對了(如圖),大家就容易猜到答案了。除了看到圖畫錯了,我們還能發現什么呢?

學生:①②③式的形式一樣,都是對稱式。但是①式是通過AB經過F點得到的,②③式是通過直線經過M點得到的,居然會有相同的結果。
筆者:然后呢?是不是只要通過x軸上一定點,就會有這樣的結果?還是這兩點必須滿足某種關系,才會有相同的結果?
學生:必須滿足某種關系!根據我的經驗,我猜是:橫坐標之積為2。
筆者:那好,我們一起來驗證一下你的這個猜想。
為了得到對稱式,學生很快給出了如下解答:

設存在常數λ,使得對任意滿足條件的k,恒為常數,

∴點E的橫坐標為方程的根。
筆者:猜想正確!如果在解題之前我們就知道這一結論,就可以直接聯立橢圓和直線方程,用韋達定理湊得兩交點橫坐標之間的關系,從而簡化運算。下面我們再一起來看看能不能得到更有價值的結論。


這樣,原題中兩交點的橫坐標之間的關系就明確了!
筆者:那么兩交點的縱坐標之間有何關系呢?
記E點對應的m為,則:

接著,筆者找出如下習題,供學生練習。




通過上述探究過程,我們得到一個一般性規律,即:若經過x軸上一定點的直線與橢圓交于A、B兩點,則有:
①A、B兩點的橫坐標之間滿足:

②A、B兩點的橫坐標之間滿足:其中,
而得到上述規律的常用方法,就是韋達定理結合待定系數法。今后我們在遇到類似條件時,就可以有的放矢。
筆者感到上述結論是優美的,似乎存在著某種必然的聯系。課后,筆者繼續深挖,在圓中挖掘本題的背景。
如圖,點E是半徑為R的圓O內一點,點T在射線OE上,滿足過E的直線交圓O于A、B兩點,TA、TB分別交圓O于點C、D。求證AD⊥OE,BC⊥OE。
同理,∠OBE=∠OTB。

另外,由BC⊥OE且AD⊥OE可得AD∥BC,

如圖,取ET中點I,由調和點列相關性質得


橢圓可以由圓經過伸壓變換得到,而伸壓變換保持同一直線上各線段比例關系不變,將上述圓進行縱向伸壓得到橢圓之后,水平直徑所在直線上各線段比例關系不變。
波利亞指出:“教師最重要的任務之一是幫助他的學生。這個任務并不容易,它需要時間、實踐、奉獻和正確的原則。學生應當獲得盡可能多的獨立工作經驗。但是,如果把問題留給他一人而不給他任何幫助,或者幫助不足,那么他可能根本得不到提高。而如果教師的幫助太多,就沒有什么工作留給學生了。”數學教師幾乎每天都要批改作業,常常會在學生的作業中看到不同的解法,有些學生能夠順利解出答案,有些學生會卡在某一步。我們不能僅滿足于判斷學生作業的對錯,更應花時間幫助卡住的同學走出來,這個任務也不容易,也需要時間、實踐、奉獻和正確的原則。對于使用特殊方法而不成功的學生,應給予個別輔導,指出學生錯誤之處,引導學生深入思考,幫助學生規避彎路。對于有價值的方法,可帶領全班同學共同探究,進行推廣,做到舉一反三,多題一解。
教師常比學生有更敏銳的洞察力,比學生有更多的時間進行鉆研,當我們發現某一規律時,常可尋其背景,這是下一步命題的源泉。筆者根據上述背景進一步研究,命制了一系列新的習題,在蘇州市高中數學命題研究會議上,作了題為《推陳出新之心路歷程》的報告,獲得了一致好評。
