江蘇省常熟中學(xué) 朱 震
在一次復(fù)習(xí)解析幾何的單元測試中有一道題目,學(xué)生的答題情況不盡人意。在講評課上,筆者帶領(lǐng)學(xué)生共同探討了其解答方法。
思路一:C隨A動,D隨B動,所以CD的斜率必與AB有關(guān)。因此可以考慮用A、B兩點坐標(biāo)表示C、D兩點坐標(biāo),進而用k來表示CD的斜率k1。

解:直線AM方程為:與橢圓方程聯(lián)立消去y整理得該方程的兩個根為


這是大多數(shù)解出此題的學(xué)生使用的方法。想法自然,處理得當(dāng)。
筆者在批閱時還發(fā)現(xiàn)了如下思路,在課上與同學(xué)們探究。
思路二:類比拋物線問題,用弦的端點坐標(biāo)來表示弦所在直線方程。
∴直線AB方程為:
∵AB過F(1,0)
學(xué)生做到這里卡住了,放棄了用這一思路進行下去。筆者鼓勵全體學(xué)生一起思考,看看能不能幫她一起走出來。
學(xué)生集思廣益,很快得到了一個可行的方案:消元!

整理得:

由①②得 ,由①③得 。

筆者:H同學(xué)嘗試將研究拋物線的常用方法遷移到橢圓中,做法很好。雖然這樣的遷移不一定簡單,甚至不一定有效,但這是我們研究問題的常用策略。下面請同學(xué)們一起看一下使用這一思路得到的結(jié)果,我們能發(fā)現(xiàn)什么?
學(xué)生:點A與點D,點B和點C都關(guān)于x軸對稱,所以CD應(yīng)該也經(jīng)過F點,題目所給的圖畫錯了。
筆者:對的!如果圖畫對了(如圖),大家就容易猜到答案了。除了看到圖畫錯了,我們還能發(fā)現(xiàn)什么呢?

學(xué)生:①②③式的形式一樣,都是對稱式。但是①式是通過AB經(jīng)過F點得到的,②③式是通過直線經(jīng)過M點得到的,居然會有相同的結(jié)果。
筆者:然后呢?是不是只要通過x軸上一定點,就會有這樣的結(jié)果?還是這兩點必須滿足某種關(guān)系,才會有相同的結(jié)果?
學(xué)生:必須滿足某種關(guān)系!根據(jù)我的經(jīng)驗,我猜是:橫坐標(biāo)之積為2。
筆者:那好,我們一起來驗證一下你的這個猜想。
為了得到對稱式,學(xué)生很快給出了如下解答:

設(shè)存在常數(shù)λ,使得對任意滿足條件的k,恒為常數(shù),

∴點E的橫坐標(biāo)為方程的根。
筆者:猜想正確!如果在解題之前我們就知道這一結(jié)論,就可以直接聯(lián)立橢圓和直線方程,用韋達定理湊得兩交點橫坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而簡化運算。下面我們再一起來看看能不能得到更有價值的結(jié)論。


這樣,原題中兩交點的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系就明確了!
筆者:那么兩交點的縱坐標(biāo)之間有何關(guān)系呢?
記E點對應(yīng)的m為,則:

接著,筆者找出如下習(xí)題,供學(xué)生練習(xí)。




通過上述探究過程,我們得到一個一般性規(guī)律,即:若經(jīng)過x軸上一定點的直線與橢圓交于A、B兩點,則有:
①A、B兩點的橫坐標(biāo)之間滿足:

②A、B兩點的橫坐標(biāo)之間滿足:其中,
而得到上述規(guī)律的常用方法,就是韋達定理結(jié)合待定系數(shù)法。今后我們在遇到類似條件時,就可以有的放矢。
筆者感到上述結(jié)論是優(yōu)美的,似乎存在著某種必然的聯(lián)系。課后,筆者繼續(xù)深挖,在圓中挖掘本題的背景。
如圖,點E是半徑為R的圓O內(nèi)一點,點T在射線OE上,滿足過E的直線交圓O于A、B兩點,TA、TB分別交圓O于點C、D。求證AD⊥OE,BC⊥OE。
同理,∠OBE=∠OTB。

另外,由BC⊥OE且AD⊥OE可得AD∥BC,

如圖,取ET中點I,由調(diào)和點列相關(guān)性質(zhì)得


橢圓可以由圓經(jīng)過伸壓變換得到,而伸壓變換保持同一直線上各線段比例關(guān)系不變,將上述圓進行縱向伸壓得到橢圓之后,水平直徑所在直線上各線段比例關(guān)系不變。
波利亞指出:“教師最重要的任務(wù)之一是幫助他的學(xué)生。這個任務(wù)并不容易,它需要時間、實踐、奉獻和正確的原則。學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得盡可能多的獨立工作經(jīng)驗。但是,如果把問題留給他一人而不給他任何幫助,或者幫助不足,那么他可能根本得不到提高。而如果教師的幫助太多,就沒有什么工作留給學(xué)生了。”數(shù)學(xué)教師幾乎每天都要批改作業(yè),常常會在學(xué)生的作業(yè)中看到不同的解法,有些學(xué)生能夠順利解出答案,有些學(xué)生會卡在某一步。我們不能僅滿足于判斷學(xué)生作業(yè)的對錯,更應(yīng)花時間幫助卡住的同學(xué)走出來,這個任務(wù)也不容易,也需要時間、實踐、奉獻和正確的原則。對于使用特殊方法而不成功的學(xué)生,應(yīng)給予個別輔導(dǎo),指出學(xué)生錯誤之處,引導(dǎo)學(xué)生深入思考,幫助學(xué)生規(guī)避彎路。對于有價值的方法,可帶領(lǐng)全班同學(xué)共同探究,進行推廣,做到舉一反三,多題一解。
教師常比學(xué)生有更敏銳的洞察力,比學(xué)生有更多的時間進行鉆研,當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)某一規(guī)律時,常可尋其背景,這是下一步命題的源泉。筆者根據(jù)上述背景進一步研究,命制了一系列新的習(xí)題,在蘇州市高中數(shù)學(xué)命題研究會議上,作了題為《推陳出新之心路歷程》的報告,獲得了一致好評。
