探究方法 尋求規(guī)律 發(fā)掘背景
——記一道解析幾何題的講評

江蘇省常熟中學(xué) 朱 震

在一次復(fù)習(xí)解析幾何的單元測試中有一道題目，學(xué)生的答題情況不盡人意。在講評課上，筆者帶領(lǐng)學(xué)生共同探討了其解答方法。

一、原題呈現(xiàn)

思路一：C隨A動，D隨B動，所以CD的斜率必與AB有關(guān)。因此可以考慮用A、B兩點坐標(biāo)表示C、D兩點坐標(biāo)，進而用k來表示CD的斜率k1。

解：直線AM方程為：與橢圓方程聯(lián)立消去y整理得該方程的兩個根為

這是大多數(shù)解出此題的學(xué)生使用的方法。想法自然，處理得當(dāng)。

二、探究方法

筆者在批閱時還發(fā)現(xiàn)了如下思路，在課上與同學(xué)們探究。

思路二：類比拋物線問題，用弦的端點坐標(biāo)來表示弦所在直線方程。

∴直線AB方程為：

∵AB過F（1,0）

學(xué)生做到這里卡住了，放棄了用這一思路進行下去。筆者鼓勵全體學(xué)生一起思考，看看能不能幫她一起走出來。

學(xué)生集思廣益，很快得到了一個可行的方案：消元！

整理得：

由①②得 ，由①③得 。

筆者：H同學(xué)嘗試將研究拋物線的常用方法遷移到橢圓中，做法很好。雖然這樣的遷移不一定簡單，甚至不一定有效，但這是我們研究問題的常用策略。下面請同學(xué)們一起看一下使用這一思路得到的結(jié)果，我們能發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生：點A與點D，點B和點C都關(guān)于x軸對稱，所以CD應(yīng)該也經(jīng)過F點，題目所給的圖畫錯了。

筆者：對的！如果圖畫對了（如圖），大家就容易猜到答案了。除了看到圖畫錯了，我們還能發(fā)現(xiàn)什么呢？

學(xué)生：①②③式的形式一樣，都是對稱式。但是①式是通過AB經(jīng)過F點得到的，②③式是通過直線經(jīng)過M點得到的，居然會有相同的結(jié)果。

筆者：然后呢？是不是只要通過x軸上一定點，就會有這樣的結(jié)果？還是這兩點必須滿足某種關(guān)系，才會有相同的結(jié)果？

學(xué)生：必須滿足某種關(guān)系！根據(jù)我的經(jīng)驗，我猜是：橫坐標(biāo)之積為2。

筆者：那好，我們一起來驗證一下你的這個猜想。

三、尋求規(guī)律

為了得到對稱式，學(xué)生很快給出了如下解答：

設(shè)存在常數(shù)λ，使得對任意滿足條件的k，恒為常數(shù)，

∴點E的橫坐標(biāo)為方程的根。

筆者：猜想正確！如果在解題之前我們就知道這一結(jié)論，就可以直接聯(lián)立橢圓和直線方程，用韋達定理湊得兩交點橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而簡化運算。下面我們再一起來看看能不能得到更有價值的結(jié)論。

這樣，原題中兩交點的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系就明確了！

筆者：那么兩交點的縱坐標(biāo)之間有何關(guān)系呢？

記E點對應(yīng)的m為，則：

接著，筆者找出如下習(xí)題，供學(xué)生練習(xí)。

通過上述探究過程，我們得到一個一般性規(guī)律，即：若經(jīng)過x軸上一定點的直線與橢圓交于A、B兩點，則有：

①A、B兩點的橫坐標(biāo)之間滿足：

②A、B兩點的橫坐標(biāo)之間滿足：其中，

而得到上述規(guī)律的常用方法，就是韋達定理結(jié)合待定系數(shù)法。今后我們在遇到類似條件時，就可以有的放矢。

四、發(fā)掘背景

筆者感到上述結(jié)論是優(yōu)美的，似乎存在著某種必然的聯(lián)系。課后，筆者繼續(xù)深挖，在圓中挖掘本題的背景。

如圖，點E是半徑為R的圓O內(nèi)一點，點T在射線OE上，滿足過E的直線交圓O于A、B兩點，TA、TB分別交圓O于點C、D。求證AD⊥OE，BC⊥OE。

同理，∠OBE=∠OTB。

另外，由BC⊥OE且AD⊥OE可得AD∥BC，

如圖，取ET中點I，由調(diào)和點列相關(guān)性質(zhì)得

橢圓可以由圓經(jīng)過伸壓變換得到，而伸壓變換保持同一直線上各線段比例關(guān)系不變，將上述圓進行縱向伸壓得到橢圓之后，水平直徑所在直線上各線段比例關(guān)系不變。

五、反思總結(jié)

波利亞指出：“教師最重要的任務(wù)之一是幫助他的學(xué)生。這個任務(wù)并不容易，它需要時間、實踐、奉獻和正確的原則。學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得盡可能多的獨立工作經(jīng)驗。但是，如果把問題留給他一人而不給他任何幫助，或者幫助不足，那么他可能根本得不到提高。而如果教師的幫助太多，就沒有什么工作留給學(xué)生了。”數(shù)學(xué)教師幾乎每天都要批改作業(yè)，常常會在學(xué)生的作業(yè)中看到不同的解法，有些學(xué)生能夠順利解出答案，有些學(xué)生會卡在某一步。我們不能僅滿足于判斷學(xué)生作業(yè)的對錯，更應(yīng)花時間幫助卡住的同學(xué)走出來，這個任務(wù)也不容易，也需要時間、實踐、奉獻和正確的原則。對于使用特殊方法而不成功的學(xué)生，應(yīng)給予個別輔導(dǎo)，指出學(xué)生錯誤之處，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，幫助學(xué)生規(guī)避彎路。對于有價值的方法，可帶領(lǐng)全班同學(xué)共同探究，進行推廣，做到舉一反三，多題一解。

教師常比學(xué)生有更敏銳的洞察力，比學(xué)生有更多的時間進行鉆研，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)某一規(guī)律時，常可尋其背景，這是下一步命題的源泉。筆者根據(jù)上述背景進一步研究，命制了一系列新的習(xí)題，在蘇州市高中數(shù)學(xué)命題研究會議上，作了題為《推陳出新之心路歷程》的報告，獲得了一致好評。