例談解含參不等式恒成立應注意的問題

江蘇省南菁高級中學 花 敏

例談解含參不等式恒成立應注意的問題

江蘇省南菁高級中學 花 敏

含有參數的不等式的恒成立問題是不等式中的重要題型，也是各類考試的熱點。該類問題通?？苫癁樽钪祮栴}來解決，但由于這類問題既含參數又含變量，學生在處理時普遍感到難以駕馭，不是方法煩瑣，就是思路不清。本文通過不等式恒成立中幾個應注意問題的舉例說明，幫助學生理清這類問題的解決思路，并避免一些易犯錯誤。

一、分清主元與參數

分析：由于常見的思維定式，易看成是關于x的二次不等式，從而思路不清。其實抓住題中“對任意的恒成立”，應將m看成主元，而x是參數。

點評：這類既含參數又含變量的問題關鍵首先要分清誰是主元，誰是參數。一般題中對什么恒成立，什么就可以看成主元，另一個則看成參數，進而揭示函數關系，使問題明朗化。另外，對任意的恒成立但若真的去求則需對x-2分大于0、等于0、小于0三種情況討論，此時抓住f(m)的圖象為一條線段，其最小值只可能在端點處取到，故只需考慮兩個端點值大于0即可。在求函數最值時，恰當利用數形結合思想，往往可使問題得到簡化。

二、何時需分離參數

分離參數就是把含參數的式子分離出來放在不等號的一側，而含主元的式子放在不等號的另一側。在解決含參的不等式恒成立問題時,常需要用到分離參數法，但學生對何時需要分離參數往往不能準確識別。

點評：不等式恒成立問題轉化為最值問題時，若所求函數最值需要分類討論，則可考慮用分離參數法。分離參數后，需求最值的函數便不含參數，求最值較為方便。 但若分離參數也要討論，則視具體情況選擇分與不分。

三、最值取到與否對參數范圍的影響

點評：當轉化為最值問題時，若最值取不到，則應注意端點處，應停頓思考是否有等號，確保考慮全面，不失分。

例3 已知兩個函數f（x）=x2+2x-m，g（x）=x3+3x2=3x，其中m為實數。

（1）對任意的x∈[-2,2]，都有f（x）≤g（x）成立，求m的取值范圍；

分析：要注意分清一個變量還是兩個變量。

分析：注意等價轉化時邏輯連接詞“且”與“或”的區(qū)別。

（3）若在x∈D上f（x）與g（x）的大小不定，則先解不等式f（x）＜g（x），得，使f（x）＜a＜g（x）成立其中