幾何變換，策略教學(xué)
——初中數(shù)學(xué)幾何變換思想的教學(xué)策略的研究

江蘇省泗陽致遠(yuǎn)中學(xué) 胡佃平

幾何變換，策略教學(xué)
——初中數(shù)學(xué)幾何變換思想的教學(xué)策略的研究

江蘇省泗陽致遠(yuǎn)中學(xué) 胡佃平

一直以來，幾何變換都是初中數(shù)學(xué)的重要思維方式之一，且作為課程改革所重點(diǎn)提及的內(nèi)容，近年來，更是成為考試命題的熱點(diǎn)內(nèi)容。因此，作為初中數(shù)學(xué)教師，其在實(shí)際的教學(xué)過程中，應(yīng)著重對(duì)學(xué)生的幾何變換思維能力進(jìn)行培養(yǎng)，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

初中數(shù)學(xué)；幾何變換；教學(xué)策略

所謂的變化思想，即將某種復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N方便理解的形式的思想，是思維方式的一種。那么相應(yīng)的，所謂的幾何變換思想便是將相對(duì)復(fù)雜的幾何圖形轉(zhuǎn)化為另一種便于理解的幾何圖形的思想。在初中數(shù)學(xué)中，幾何變換思想主要運(yùn)用在全等變換與相似變換兩大方面，其對(duì)培養(yǎng)初中生的幾何變換思想具有十分重要的意義。對(duì)此，作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)給予足夠的重視。

一、全等變換

全等變換是幾何變換最常用的方法之一，由于變化后的圖形與之前的圖形是相等的，因而被稱之為全等變換。當(dāng)然，全等變換亦包括部分較為特殊的情況，如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換以及翻折變換，又稱軸對(duì)稱。以下為全等變換思想在幾何問題中的具體應(yīng)用。

1.平移變換

平移變換是全等變換中最常用的變換思想之一，其在幾何圖形中的運(yùn)用通常是將該幾何圖形的各個(gè)頂點(diǎn)向與之平行的同一方向移動(dòng)相同距離，而后通過連接平移后圖形與原圖形之間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，從而達(dá)到簡化問題的目的。針對(duì)平移變換，其主要包含如下性質(zhì)：首先針對(duì)圖形本身，其與平移前的圖形兩者的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在平移的線段中平行且相等，而與之相對(duì)應(yīng)的線段亦在同一條直線上且相等。而在對(duì)應(yīng)角方面，因其圖形的形狀與大小均未發(fā)生變化，因此對(duì)應(yīng)角亦相等。通過平移變換，雖僅是改變了圖形原本的位置，但通過平移，能將原本分散的條件集中到一起，繼而方便了問題的解決。

解析：該題中的已知條件MN、BC與AD原本處于較為分散的狀態(tài)，且未集中于同一三角形中，加之AD與BC平行，因而可將AM、DM分別進(jìn)行平移轉(zhuǎn)換，以求出BC與AD之差，最后僅需證明MN為BC、AD差之一半即可。

2.旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換在幾何問題中的運(yùn)用，如圖2所示，該題首先將三角形ABC沿O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三角形A'B'C'的位置，圖形旋轉(zhuǎn)后，其每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度、對(duì)應(yīng)線段以及圖形形狀與大小均相等。與平移變換的相同之處在于，兩者均是通過集中問題的已知條件，以找出條件與結(jié)論之間的聯(lián)系。

例2 如圖3，P為等邊三角形ABC外的一點(diǎn)，結(jié)合圖形，嘗試證明PA＜PB+PC。

解析：針對(duì)此類題型，最合理的解決方法便是采用旋轉(zhuǎn)變化思想。首先，將三角形ACP沿A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°形成三角形ABP',根據(jù)平移變換性質(zhì)可得AP=AP'，PC=PC'，∠PAP'=60°，由此可得△APP'為等邊三角形，進(jìn)而得出PP'=AP，依照三角形的三邊關(guān)系可得PP'=BP+BP',繼而可證PA＜PB+PC。

二、在初中幾何教學(xué)中的教學(xué)策略

1.從學(xué)生熟悉的事物引入變換教學(xué)

學(xué)生在幼兒園及小學(xué)階段進(jìn)行過大量的如折紙、放風(fēng)箏一類的游戲，而這些游戲與變換之間有著一定的聯(lián)系。對(duì)此，在初中階段進(jìn)行幾何變換教學(xué)時(shí)，教師便可以游戲的方式來講解幾何變化的集中類型，如此不僅能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)實(shí)際生活的幫助。因此，通過引進(jìn)學(xué)生所熟悉的事物來展開變換教學(xué)，將有利于學(xué)生理解。

例如，在進(jìn)行“軸對(duì)稱變換”的相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，教師便可引進(jìn)這樣的教學(xué)案例：首先，教師為學(xué)生播放故宮的視頻，當(dāng)學(xué)生看到宏偉而美麗的故宮時(shí)，將能促使學(xué)生注意力高度集中，此后，教師引導(dǎo)學(xué)生就故宮的特點(diǎn)進(jìn)行觀察，此時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)故宮由中間“切開”，其左右兩邊呈現(xiàn)出對(duì)稱的狀態(tài)，進(jìn)而由此展開軸對(duì)稱變換的教學(xué)。其次，欣賞生活中豐富的實(shí)例(不同類別)，例如觀看圖片（如圖3），看看有什么共同特點(diǎn)？

圖3

通過為學(xué)生展示來自生活中的圖片，能讓學(xué)生在感受對(duì)稱這一數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，體會(huì)到生活中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想，繼而感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。最后，動(dòng)手操作：印有半只蝴蝶圖案的一張紙（如圖4），你可以用什么辦法把它補(bǔ)成一只完整的蝴蝶呢？

針對(duì)實(shí)際操作，學(xué)生首先想到的便是利用數(shù)學(xué)中的對(duì)稱思想來完成。由此可見，利用實(shí)際生活中的事物，將能在潛移默化中影響學(xué)生，進(jìn)而在無形中感受到軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)。

圖4

2.加強(qiáng)元認(rèn)知教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)

初中變換思想教學(xué)，其主要目的在于通過學(xué)習(xí)變換的思想來加深學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)記憶，并促使學(xué)生積極將變換思想運(yùn)用到實(shí)際生活中，以解決生活中的實(shí)際問題。與此同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生針對(duì)同一問題由不同角度去思考的習(xí)慣，以此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。

例如，如圖5，在菱形ABCD中，AB的中點(diǎn)為M，對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，若PM與PB之和的最小值為3，那么AB的長為多少？

圖5

歸納：該圖形具有中心對(duì)稱以及軸對(duì)稱兩大特點(diǎn)，因此針對(duì)上述問題，可分別采用中心對(duì)稱變換與軸對(duì)稱變換思想，以完善向?qū)嶋H問題的轉(zhuǎn)化，或可設(shè)置相應(yīng)的背景來解決問題。

總之，在初中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)過程中，采用幾何變換思想教學(xué)策略，有利于指導(dǎo)學(xué)生將數(shù)形結(jié)合起來，促使學(xué)生深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，從而有效提高初中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平。

[1]胡榮萍.初中數(shù)學(xué)幾何變換思想的教學(xué)策略的研究[D].四川師范大學(xué)，2013.

[2]王世平.初中數(shù)學(xué)幾何變換思想的教學(xué)策略[J].新課程·中旬，2016（9）.