數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)教學(xué)方法探討

劉聲

【摘要】針對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)，對(duì)復(fù)變函數(shù)教學(xué)中存在的一些問(wèn)題進(jìn)行了分析，結(jié)合具體知識(shí)點(diǎn)和例題，從引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)、抓住本質(zhì)、結(jié)合應(yīng)用等角度對(duì)復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)的方法進(jìn)行了討論.

【關(guān)鍵詞】復(fù)變函數(shù)；引導(dǎo)式教學(xué)；教學(xué)方法

復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的專業(yè)必修課，也是分析方向的主干課程，可以看成是對(duì)數(shù)學(xué)分析內(nèi)容的推廣與擴(kuò)展.復(fù)變函數(shù)除了在數(shù)學(xué)課程中有較多的應(yīng)用外，在其他學(xué)科，如信號(hào)處理、電磁學(xué)、電學(xué)等學(xué)科中也有著廣泛的應(yīng)用.廣大數(shù)學(xué)教育工作者們對(duì)復(fù)變函數(shù)教學(xué)方法的探討一直都沒(méi)有停止過(guò)，很多有效的教學(xué)方法被學(xué)者們提出.其中包括對(duì)比教學(xué)法[1-3]、幾何教學(xué)法[2]、案例教學(xué)法[3]以及轉(zhuǎn)化和反例教學(xué)法[4]等.這些方法對(duì)提高復(fù)變函數(shù)教學(xué)效果具有較高的參考價(jià)值.

本文首先對(duì)復(fù)變函數(shù)教學(xué)中存在的一些問(wèn)題進(jìn)行分析，然后結(jié)合具體知識(shí)點(diǎn)和例題探討幾種針對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生復(fù)變函數(shù)教學(xué)的方法.

一、數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程的問(wèn)題分析

目前，在一些高校，尤其是一些獨(dú)立院校或者地方二本院校中，在數(shù)學(xué)專業(yè)的復(fù)變函數(shù)教學(xué)中存在一些問(wèn)題.

第一，課時(shí)較少，內(nèi)容較多.許多高校復(fù)變函數(shù)的周課時(shí)為3.內(nèi)容包括復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)、留數(shù)定理等.對(duì)于基礎(chǔ)稍差的獨(dú)立院校或者地方二本院校，課時(shí)確實(shí)較少.

第二，對(duì)復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用涉及較少.事實(shí)上復(fù)變函數(shù)在其他很多學(xué)科里都有比較重要的應(yīng)用.而由于多數(shù)數(shù)學(xué)老師對(duì)其他學(xué)科了解較少，所以提及較少.

二、數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)法探討

（一）以學(xué)生自學(xué)為主的引導(dǎo)式教學(xué)

在文獻(xiàn)[1-3]中，作者們都提到了類比教學(xué)，主要是因?yàn)閺?fù)變函數(shù)里很多的結(jié)論，如，復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)、可微、解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)等都是數(shù)學(xué)分析里結(jié)論的推廣.所以，對(duì)于這些內(nèi)容，我們可以通過(guò)引導(dǎo)的方式提前讓學(xué)生自學(xué)，然后讓學(xué)生自己講.例如，在教材[5]中，第四章的前兩節(jié)內(nèi)容基本上是數(shù)學(xué)分析內(nèi)容的直接推廣，只有兩個(gè)定理涉及到了解析函數(shù)，所以這部分內(nèi)容完全可以讓學(xué)生課前自學(xué).然后讓學(xué)生自己來(lái)講解這兩個(gè)定理，其他學(xué)生對(duì)其證明講解過(guò)程進(jìn)行提問(wèn)，教師再做最后點(diǎn)評(píng).這樣不但可以提高學(xué)生的自學(xué)能力，還可以把更多的時(shí)間留給一些較難內(nèi)容的講解.

（二）抓住本質(zhì)避免學(xué)生走向誤區(qū)

復(fù)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析相比，一個(gè)大的不同點(diǎn)就是有多值函數(shù)的出現(xiàn).而對(duì)于多值函數(shù)的單值解析分支、支點(diǎn)、支割線是復(fù)變函數(shù)的一個(gè)難點(diǎn).所以對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)，需要抓住本質(zhì)，避免學(xué)生走向誤區(qū).下面以一道題為例來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.

例[5]求f（z）=3z（1-z）在平面適當(dāng)割開(kāi)后可以分解成三個(gè)單值得解析分支，求出z=2取負(fù)值的那一支z=i的取值.

很多學(xué)生可能會(huì)參考公式

f（z）k=|3z|earg（z）+2kπ3，k=0，1，2，（1）

來(lái)求解此題.先設(shè)

f（z）k=|3z（1-z）|earg[z（1-z）]+2kπ3，（2）

然后將z=2代入到f（z）=3z（1-z），將arg（z（1-z））看成是z（1-z）的輻角主值求出使z=2取負(fù)值的k.然后將z=i代入到f（z）k，便可求出z=i的取值.

這樣的解法看似沒(méi)有任何問(wèn)題，但事實(shí)上是有問(wèn)題的.主要原因是學(xué)生沒(méi)有抓住解析分支的本質(zhì).因?yàn)閍rg（z（1-z））表示的并不一定是z（1-z）的輻角主值，它只能表示在以一個(gè)定點(diǎn)為參考而確定的連續(xù)變化的幅角.因此，這個(gè)值我們需要通過(guò)z=2繞到z=i，z，（1-z）輻角的改變量來(lái)確定的.

如果將f（z）=3z（1-z）換成f（z）=z，用公式（2）解題是比較方便的，尤其是當(dāng)平面被負(fù)實(shí)軸割破時(shí)，arg（z）可表示輻角主值.

而這個(gè)題比較理想的求解方法就是教材[5]中利用輻角改變量求解的方法.如果用公式（2）在確定arg（z（1-z））的時(shí)候是比較麻煩的.因此，抓住單值解析分支的本質(zhì)，才不會(huì)出現(xiàn)上述的錯(cuò)誤.

（三）結(jié)合復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

在對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生講授復(fù)變函數(shù)的過(guò)程中，如果能夠介紹一些復(fù)變函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用，可以讓學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用有更多的理解，也能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.

例如，在介紹復(fù)數(shù)的三角形式的時(shí)候，可以介紹在信號(hào)處理里面，為了方便處理，也引入了復(fù)信號(hào)的概念，在電磁學(xué)中，有時(shí)電磁波也可表示成復(fù)數(shù)的形式.讓學(xué)生了解，復(fù)數(shù)的出現(xiàn)不只是為了處理負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)里不能開(kāi)平方的問(wèn)題.在講解留數(shù)定理應(yīng)用的時(shí)候，我們可以介紹某些積分在對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換時(shí)有比較重要的作用.例如，在留數(shù)定理的應(yīng)用中有個(gè)重要積分∫+∞0e-ax2cosbxdx，a>0在計(jì)算某些信號(hào)的傅里葉變換時(shí)就需要用到.

三、總結(jié)

本文介紹了數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)教學(xué)存在的兩個(gè)問(wèn)題，并且通過(guò)具體的例題或者知識(shí)點(diǎn)，從引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)、抓住本質(zhì)、結(jié)合應(yīng)用等方面對(duì)復(fù)變函數(shù)的教學(xué)進(jìn)行了探討.旨在為復(fù)變函數(shù)的教學(xué)提供一些參考.

【參考文獻(xiàn)】

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[5]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論：第4版[M].北京：高等教育出版社，2013.endprint