土木工程非線性MohrCoulomb破壞準則下邊坡可靠度上限

賀志軍　曹吉　趙煉恒　瞿召乾　楊勝博

摘要：

傳統邊坡可靠度分析往往在巖土參數服從線性MohrCoulomb（簡稱線性MC）破壞準則的假設條件下進行，并且常常采用極限平衡法或有限元法計算安全系數。然而，巖土介質破壞準則具有一定的非線性。為能更加實際地描述巖土破壞機理和得到嚴格精確的解，基于非線性MohrCoulomb（簡稱非線性MC）破壞準則，結合極限分析上限法和蒙特卡洛法，進行邊坡可靠度上限分析。當非線性參數m=1時，與等效的線性MC破壞準則進行對比計算，驗證了方法的可行性。同時，將初始粘聚力、內摩擦角arctan（c0/σt）和非線性參數作為隨機變量且服從截斷正態分布，進行了參數變異性和敏感性影響分析。研究表明：非線性MC破壞準則下，邊坡可靠度隨初始粘聚力、內摩擦角arctan（c0/σt）和非線性參數變異性的增大而減小；邊坡可靠度隨初始粘聚力和內摩擦角arctan（c0/σt）的增大而增大，隨非線性參數的增大而減小。

關鍵詞：

邊坡；可靠度；破壞準則；極限分析；蒙特卡洛法

中圖分類號：TU 457

文獻標志碼：A文章編號：16744764（2016）06000109

Abstract：

Traditional reliability analysis of slope is often performed under linear MohrCoulomb （MC） failure criterion assumption and using limit equilibrium method or finite element method which is for calculating the safety factor. However， the failure criterion of geomaterials is nonlinear. In this paper， upper bound reliability analysis of slope is performed using upper bound limit analysis and Monte Carlo simulation based on nonlinear MohrCoulomb failure criterion， which is for a more practical description of the failure mechansim of geomaterials and obtaining strictly accurate answers. When the nonlinear parameter m is equal to one， the expressions in this study convert into linear MohrCoulomb failure criterion， and thus the feasibility of this study is verified by comparing with other results. Meanwhile， initial cohesion， internal friction angle arctan（c0/σt） and nonlinear parameter are selected as the stochastic parameters which are considered to have a truncated normal distribution， and the effects of variability and sensitivity of parameters are analysed. The results show that reliability of slope decreases with the variability of initial cohesion， internal friction angle arctan（c0/σt） and nonlinear parameter； reliability of slope increases with initial cohesion and internal friction angle arctan（c0/σt）， and decreases with nonlinear parameter.

Keywords：

slope； reliability； failure criterion； limit analysis； Monte Carlo simulation

邊坡穩定性問題一直是巖土工程的一個重要研究內容[1]。目前，邊坡穩定性分析主要有兩大體系：確定性體系與不確定性體系（可靠度體系）。確定性體系使用極限平衡法、數值模擬法或極限分析法等方法分析邊坡的穩定性，求得邊坡最小安全系數，以此作為邊坡穩定性評價指標。然而，邊坡是一個極其復雜的系統，巖土參數具有明顯的隨機性，采用確定性體系分析邊坡穩定性不符實際。文獻[23]也指出：由于安全系數沒有考慮參數隨機性和離散型對結果的影響，導致實際工程中很多結構在滿足安全系數的條件下依然出現了破壞現象。以概率論為基礎的可靠度體系可考慮邊坡系統內部的隨機關系，可給出邊坡穩定程度，因而可以彌補用單一安全系數分析邊坡穩定性的局限性。

邊坡可靠度分析主要有兩大步驟：一是構建計算邊坡穩定性安全系數的模型（功能函數）；二是使用可靠度分析方法計算邊坡可靠度（失效概率或可靠度指標）。在構建模型方面，目前應用最廣泛的是極限平衡法，該方法理論簡單、易于實施，但所作假設較多，根據塑性理論可知，該方法所獲解答不是嚴格的上下限解。另一應用廣泛的方法是數值方法[45]，該方法將有限元技術應用到邊坡穩定性分析中，可以考慮土體與其中結構物的共同作用，但其所得到的極限荷載值仍不夠精確。相比上述兩種方法，極限分析法可以得到邊坡極限荷載的嚴格上限解，在此基礎上進行可靠度分析，可以得到嚴格邊坡可靠度上限值，這對于分析邊坡穩定性可能具有重要意義。在可靠度分析方法方面，常用的分析方法有一次二階矩法[67]、JC法[8]、Monte Carlo法[910]等。其中，Monte Carlo法被認為是一種相對精確的方法[11]，根據大數定律，只要抽樣次數足夠大，其精度就能足夠高。目前，眾多學者應用可靠度分析理論對邊坡穩定性進行研究均是在線性MC破壞準則假設下進行的。而事實上，巖土介質服從非線性破壞準則，線性破壞準則只是一種特例：將更為符合實際的略微彎曲巖土材料強度線簡化成直線形狀，該方法雖簡單易于分析，但無法準確表述巖土強度特性。因此，考慮巖土破壞準則為非線性情況下的邊坡可靠度研究顯得十分必要。1987年，Zhang等[12]提出了冪函數非線性破壞準則，爾后，大量學者[1318]對基于該破壞準則下的邊坡穩定性問題進行了深入研究，非線性MC破壞準則得到快速發展且已較為成熟。但多年來，鮮見基于非線性MC破壞準則下邊坡可靠度的深入研究。endprint

基于以上考慮，在非線性MohrCoulomb破壞準則下，結合外切線技術和強度折減技術計算邊坡安全系數上限解，進一步運用蒙特卡洛法計算邊坡可靠度。通過與基于線性MC破壞準則的計算結果進行對比，驗證了方法的可行性。并視初始粘聚力c0、內摩擦角arctan（c0/σt）與非線性參數m為隨機參數且服從截斷正態分布，研究非線性MC破壞準則下各參數變異性、敏感性對均質各向同性邊坡可靠度的影響。

1非線性MC破壞準則及抗剪強度參數引入方法

2基于強度折減技術的邊坡極限分析

上限法

邊坡可靠度分析中，安全系數計算式表示了邊坡安全系數與土工參數之間的關聯關系，作為功能函數的構建主體至關重要。極限分析上限法基于虛功率原理推導，根據外力做功和內部耗能相等原理獲得目標函數并根據能量耗散最小化原理獲得極限荷載的最小值，進一步結合強度折減技術可獲得嚴格精確的安全系數上限解。

選取符合簡單邊坡的對數螺旋面破壞機構作為破壞模式[1920]，以通過坡趾下的對數螺旋線旋轉間斷機構為例進行分析，如圖2。

3基于非線性MC破壞準則的邊坡可

靠度上限計算

3.1巖土隨機參數的選定及其分布類型

線性MC破壞準則下巖土參數分布類型已有大量研究成果。馬建全等[22]認為不同環境下巖土參數具有不用分布類型，同時，比較了巖土參數服從正態分布、對數正態分布等不同分布類型下的邊坡可靠度大小；張繼周等[23]從概率分布類型的產生背景、所描述對象的物理意義入手，研究各分布類型對可靠度分析的影響，得出正態分布和對數正態分布較為合理的結論；其他眾多邊坡可靠度研究[2427]亦在巖土參數服從正態分布下進行。因此，筆者也選取正態分布作為巖土隨機參數的分布類型。

線性MC破壞準則下，巖土參數c與φ服從正態分布。由式（2）可知，當m=1時，非線性MC破壞準則指數型表達式中的參數c0與無量綱參數c0/σt的反正切值arctan（c0/σt）服從正態分布。當m≠1時，假設參數c0與內摩擦角arctan（c0/σt）服從正態分布，并進一步考慮非線性參數的變異性，假設m亦服從正態分布。由此，選取初始粘聚力c0、內摩擦角arctan（c0/σt）與非線性參數m作為隨機參數。

桂勇等[24]在邊坡穩定二元體系的建立中，采用同時考慮材料指標的統計分布和區間分布的方法，即截斷分布；Johari等[25]在基于畢紹普法的地震邊坡穩定概率模型建立中，采用截斷正態分布作為隨機變量的概率分布。截斷分布可以考慮巖土參數具體變化范圍，更符合工程實際。選取截斷的正態分布作為巖土隨機參數的分布類型，隨機參數概率密度函數為

由圖8～11和表5可知，初始粘聚力c0的均值對邊坡可靠度有較大影響；無量綱參數arctan（c0/σt）與非線性參數m的均值對邊坡可靠度的影響相對較小。隨著初始粘聚力和無量綱參數arctan（c0/σt）均值的增大，抗剪強度參數ct和φt均增大，邊坡可靠度增大；隨著非線性參數均值的增大，抗剪強度參數ct和φt發生變化，邊坡可靠度減小。

6結論

基于非線性MC破壞準則，結合外切線技術和強度折減技術，采用極限分析上限法求得邊坡安全系數上限解，進一步運用蒙特卡洛法計算邊坡的可靠度（失效概率Pf與可靠指標β）。在線性MC破壞準則下，通過與已有算例對比計算，驗證了方法的可行性。同時，基于非線性破壞準則分析參數變異性和參數敏感性對邊坡可靠度的影響，得到如下結論：

1）邊坡可靠度隨初始粘聚力c0、內摩擦角arctan（c0/σt）和非線性參數m變異系數的增大而減小。

2）邊坡可靠度隨初始粘聚力c0和內摩擦角arctan（c0/σt）均值的增大而增大，隨非線性參數m均值的增大而減小。

工程實際中，巖土材料參數分布形態眾多，筆者研究的基于非線性MC破壞準則的邊坡可靠度上限分析僅采用截斷正態分布這一種，其他分布形態的研究有待深入；巖土材料參數取值范圍和變異系數差異較大，研究的基于非線性MC破壞準則的邊坡可靠度上限分析采用了已有文獻中參數分析的取值，符合工程實際的其他參數取值范圍和變異性的研究有待深入。

參考文獻：

[1]

夏元友， 李梅. 邊坡穩定性評價方法研究及發展趨勢[J]. 巖石力學與工程學報， 2002， 21（7）： 10871091.

XIA Y Y， LI M. Evaluation method research of slope stability and its developing trend [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2002， 21（7）： 10871091. （in Chinese）

[2] JIMENEZRODRIGUEZ R， SITAR N， CHACON J. System reliability approach to rock slope stability [J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences， 2006， 43（6）： 847859.

[3] JIMENEZRODRIGUEZ R， SITAR N. Rock wedge stability analysis using system reliability methods [J]. Rock Mechanics and Rock Engineering， 2007， 40（4）： 419427.

[4] FARAH K， LTIFI M， HASSIS H. Reliability analysis of slope stability using stochastic finite element method [J]. Procedia Engineering， 2011， 10： 14021407.endprint

[5] 譚曉慧， 王建國， 劉新榮， 等. 邊坡穩定的有限元可靠度計算及敏感性分析[J]. 巖石力學與工程學報， 2007， 26（1）： 115122.

TAN X H， WANG J G， LIU X R， et al. Finite element reliability computation and sensitivity analysis of slope stability [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2007， 26（1）： 115122. （in Chinese）

[6] ZHANG J， ZHANG L M， TANG W H. New methods for system reliability analysis of soil slopes [J]. Canadian Geotechnical Journal， 2011， 48（7）： 11381148.

[7] ELRAMLY H， MORGENSTERN N R， CRUDEN D M. Probabilistic slope stability analysis for practice [J]. Canadian Geotechnical Journal， 2002， 39（3）： 665683.

[8] 趙國藩. 工程結構可靠性理論與應用[M]. 遼寧 大連： 大連理工大學出版社， 1996.

[9] AU S K， CAO Z J， WANG Y. Implementing advanced Monte Carlo simulation under spreadsheet environment [J]. Structural Safety， 2010， 32（5）： 281292.

[10] WANG Y， CAO Z， AU S K. Practical reliability analysis of slope stability by advanced Monte Carlo simulations in a spreadsheet [J]. Canadian Geotechnical Journal， 2010， 48（1）： 162172.

[11] ZHANG H， DAI H， BEER M， et al. Structural reliability analysis on the basis of small samples： an interval quasiMonte Carlo method [J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2013， 37（1）： 137151.

[12] ZHANG X J， CHEN W F. Stability analysis of slopes with general nonlinear failure criterion [J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics， 1987， 11（1）： 3350.

[13] 趙煉恒， 李亮， 但漢成， 等. 極限上限分析中“切線法”引入非線性破壞準則的探討[J]. 長江科學院院報， 2010， 27（8）： 3439.

ZHAO L H， LI L， DAN H C， et al. Discussion on generalized tangential method led in nonlinear failure criterion in upper boundary limit analysis [J]. Journal of Yangtze River Scientific Research Institute， 2010， 27（8）： 3439. （in Chinese）

[14] ZHAO L， LI L， YANG F， et al. Upper bound analysis of slope stability with nonlinear failure criterion based on strength reduction technique [J]. Journal of Central South University of Technology， 2010， 17： 836844.

[15] ZHAO L， YANG F， ZHANG Y， et al. Effects of shear strength reduction strategies on safety factor of homogeneous slope based on a general nonlinear failure criterion [J]. Computers and Geotechnics， 2015， 63： 215228.

[16] 張迎賓， 李亮， 趙煉恒， 等. 基于非線性破壞準則的邊坡穩定性極限分析[J]. 巖土力學， 2011， 32（11）： 33133318.

ZHANG Y B， LI L， ZHAO L H， et al. Limit analysis of slope stability based on nonlinear failure criterion [J]. Rock and Soil Mechanics， 2011， 32（11）： 33133318. （in Chinese）

[17] YANG X， CHI S. Upper bound finite element analysis of slope stability using a nonlinear failure criterion [J]. Computers and Geotechnics， 2013， 54： 185191.endprint

[18] YANG X L， YIN J H. Slope stability analysis with nonlinear failure criterion [J]. Journal of Engineering Mechanics， 2004， 130（3）： 267273.

[19] CHEN W F. Limit analysis and soil plasticity [M]. Amsterdam： Elsevier ASCE， 1975.

[20] DAWSON E M， ROTH W H， DRESCHER A. Slope stability analysis by strength reduction [J]. Geotechnique， 1999， 49（6）： 835840.

[21] DUNCAN J M. State of the art： limit equilibrium and finiteelement analysis of slopes [J]. Journal of Geotechnical engineering， 1996， 122（7）： 577596.

[22] 馬建全， 李廣杰， 張文， 等. 基于可靠度的邊坡穩定性影響因素[J]. 吉林大學學報 （地球科學版）， 2011， 41（Sup1）： 187194.

MA J Q， LI G J， ZHANG W， et al. Influence factors analysis of slope stability based on reliability[J]. Journal of Jilin University （Earth Science Edition）， 2011， 41（Sup1）： 187194. （in Chinese）

[23] 張繼周， 繆林昌. 巖土參數概率分布類型及其選擇標準[J]. 巖石力學與工程學報， 2009， 28（Sup2）： 35263532.

ZHANG J Z， MIU L C. Types and selection criteria of probability distribution of rock and soil parameters [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2009， 28（Sup2）： 35263532. （in Chinese）

[24] 桂勇， 鄧通發， 羅嗣海， 等. 基于蒙特卡羅邊坡穩定二元體系的建立與應用[J]. 巖土力學， 2014， 35（7）： 19791986.

GUI Y， DENG T F， LUO S H， et al. Establishment of slope stability dual index system based on Monte Carlo simulation and its application [J]. Rock and Soil Mechanics， 2014， 35（7）： 19791986. （in Chinese）

[25] JOHARI A， MOUSAVI S， NEJAD A H. A seismic slope stability probabilistic model based on Bishop's method using analytical approach [J]. Scientia Iranica， Transaction A， Civil Engineering， 2015， 22（3）： 728.

[26] 蔡寧， 趙明華. 邊坡穩定可靠度替代模型分析[J]. 中南大學學報： 自然科學版， 2014， 45（8）： 28512856.

CAI N， ZHAO M H. Analysis of alternative model for slope stability reliability [J]. Journal of Central South University （Science and Technology）， 2014， 45（8）： 28512856. （in Chinese）

[27] 呂楊. 土質路堤邊坡穩定可靠度分析方法探討[D]. 成都： 西南交通大學， 2014.

LYU Y. Discussion on the method of stability reliability of embankment slope [D]. Chengdu： Southwest Jiaotong University， 2014. （in Chinese）

[28] JIANG J C， BAKER R， YAMAGAMI T. The effect of strength envelope nonlinearity on slope stability computations [J]. Canadian Geotechnical Journal， 2003， 40（2）： 308325.

[29] 劉寶琛， 崔志蓮， 涂繼飛. 冪函數型巖石強度準則研究[J]. 巖石力學與工程學報， 1997， 16（5）： 437444.

LIU B C， CUI Z L， TU J F. A study of strength criterion in power function for rock material [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 1997， 16（5）： 437444. （in Chinese）

[30] JIANG J C， BAKER R， YAMAGAMI T. The effect of strength envelope nonlinearity on slope stability computations [J]. Canadian Geotechnical Journal， 2003， 40（2）： 308325.

[31] CHARLES J A， SOARES M M. The stability of slopes in soils with nonlinear failure envelopes [J]. Canadian Geotechnical Journal， 1984， 21（3）： 397406.

[32] LI D， CHENG Y. Lower bound limit analysis using nonlinear failure criteria [J]. Procedia Earth and Planetary Science， 2012， 5： 170174.

（編輯胡英奎）endprint