有關選修23《獨立性檢驗》結論解釋的商榷

【摘要】針對選修23《獨立性檢驗》中有關χ2統計量計算結果解釋的若干問題進行了探討，給出一個在教學中較為恰當的解釋方式，有助于學生對于獨立性檢驗有較為全面的認識.

【關鍵詞】χ2統計量；獨立性檢驗；統計推斷

在人民教育出版社編寫的普通高中課程標準實驗教科書《數學》B版選修23中的《獨立性檢驗》一章中，對于統計檢驗結果的描述有若干需要商榷的地方.

1.在教科書中有如下描述（P78）：

經過對χ2統計量分布的研究，已經得到了兩個臨界值：3.841與6.635.當根據具體的數據算出的χ2>3.841時，有95%的把握說A與B有關；當χ2>6.635時，有99%的把握說事件A與B有關.當χ2≤3.841時，認為事件A與B是無關的.

2.我們有95%（或99%）的把握說事件A與B有關，是指推斷犯錯誤的可能性為5%（或1%），這也常常說成是“以95%（或99%）的概率”，其含義是一樣的.

我們說，高中教科書中所介紹的獨立性檢驗的思想，相當于運用統計學的知識發現，在假設事件A與B獨立的前提下，所得樣本的χ2>3.841的概率為5%，χ2>6.635的概率為1%，即P（χ2>6.635）|P（AB）=P（A）P（B））=0.05，P（χ2>3.841）|P（AB）=P（A）P（B））=0.01. 從而我們現有的樣本χ2統計量大于臨界值，則說明一個小概率事件發生了，于是我們認為，很有可能是我們的假設有誤，即A，B很可能不獨立. 需要注意的是，這里的5%（1%）不是我們推斷犯錯誤的概率.

教科書提到的，所謂推斷犯錯誤的概率，應當是對于一個χ2>3.841的樣本，如果我們下一個推斷：A與B不獨立，那么，我們犯錯誤的概率（即A，B其實是獨立），即P（P（AB）=P（A）P（B）|χ2>3.841|）. 顯然，從條件概率的角度，這與之前計算的5%或者1%是不同的.我們只能說，針對1%的情況，我們推斷犯錯誤的概率比5%的情況要小.于是我們僅用所謂99%的把握和95%的把握來描述我們所做推斷，這個并不是教科書上所提到的“概率”[1].

同時，當樣本的χ2統計量小于臨界值的時候，說明在獨立假設的前提下，得到這種χ2值的可能性比較大，但是，這并不意味著獨立假設成立的可能性大.因為，我們并不知道，在不獨立的假設下，產生這種樣本χ2值的概率，如果這個概率也較大，我們就不能確定是否這個樣本是來自于哪種假設，此時，只能說我們沒有理由，或沒有足夠的證據說明A，B有關，例如，教科書（P79）的描述，“應為3689<3841，我們沒有理由說暈機與否跟男女性別有關，盡管這次航班中男性暈機的比例比女性暈機的比例高”.

需要注意的是，我們同時也沒有理由，或沒有足夠的證據說明A，B無關，即，也沒有理由說暈機與否跟男女性別無關，而不是教科書上（P78）提到的當χ2≤3.841時，認為事件A與B是無關的.

舉例來說：在羽毛球雙打比賽中，若A球員擊球，得分的概率較大，B球員擊球，得分的概率也較大，當我們發現有一個球員擊球得分了（但沒有看清是誰），我們就無法判斷是A還是B擊球. 只有在我們已知A球員擊球，得分的概率較小時，若發現一球員擊球得分，我們推測較可能不是A球員擊球，即B球員擊球.當然，也有可能若A球員擊球， B球員擊球，得分的概率都較小，此時，我們不易判斷擊球的球員.

這在統計中是很常見的現象. 因為統計學本身就是利用樣本分析、推斷總體的科學，即，用部分信息來推測全部信息，就難免出現信息不足無法得出結論的情況.

參考文獻

[1]李勇， 張淑梅. 關于高中教材中獨立性檢驗知識呈現方式的思考[J]. 數學通報， 2010， 49（11）：25-26.

作者簡介王立東（1983—），黑龍江人，教育學博士，北京師范大學中國基礎教育質量監測協同創新中心師資博士后，中學一級教師，主要從事數學教學論、教育測量評價的研究與實踐.endprint