城市地鐵-公交復合網絡抗毀性與級聯失效仿真

沈 犁， 張殿業，向 陽，王周全，張 桐

(西南交通大學交通運輸與物流學院，四川成都610031)

隨著我國社會經濟發展的飛躍以及城市人口用地規模的突增，為彌補原有公共交通系統的不足，國內各大城市均已逐步加快以地鐵為主的城市軌道交通的規劃建設.地鐵線路所構成的子系統網絡與地面公交子系統網絡相互關聯構成了規模巨大的新型城市公共交通復合系統，其作為一個開放式的復雜系統，是一種基于而又高于現實網絡的超網絡.由于城市交通網絡的龐雜性，國內外許多學者將復雜網絡理論［1-19］應用于其網絡特性的研究中，而復雜網絡本質上的非同質拓撲結構，決定了交通網絡中各節點與鏈路具有不同的重要性.當網絡中某關鍵節點或鏈路出現故障時，可能會引致整個網絡中大量節點的相繼失效(級聯失效現象)，從而對出行者的出行效率產生嚴重影響.因此，衡量復合交通網絡抗毀性以及級聯失效傳播性的重要理論意義與應用價值已日益凸顯.Albert等［1-2］首先提出了網絡受襲后被破壞程度的度量方式;Holme等［3］分析了不同襲擊策略下不同網絡的受襲結構變化情況;Latora、Seaton等［4-5］對波士頓、維也納等城市地鐵的網絡特性進行了研究;Sienkiewicz等［6］對波蘭22個城市的公交網絡結構進行了指標分析;Motter、Zhao、Cmcitti等［7-10］均先后針對網絡的級聯失效(cascading failure)做了相關分析，從網絡負荷容量及動態演化增長等多方面進行了模型假設與參數分析;高潔等［11］基于客流出行的起終點(origin＆destination，OD)建立了城市軌道交通網絡的抗毀可靠性測度指標體系;張建華等［12］對世界城市軌道交通網絡的普適性與特殊性進行了研究，基于拓撲與功能兩方面脆弱性評價了城市軌道交通復雜網絡;毆雯［13］依據恐怖襲擊特點分析了在不同攻擊模式下的城市軌道交通網絡抗毀性能變化趨勢;汪濤等［14］以北京、上海、南京、杭州的城市公交系統為研究對象，對各網絡在不同攻擊模式下的抗毀性進行了分析;陳靜、范文禮等［15-16］均探討了復雜網絡節點重要度的評估方法;謝豐等［17］針對ER、BA等3種網絡模型在不同襲擊策略下的抗毀性進行了仿真分析;竇炳琳、陳世明等［18-19］均提出了改進的網絡負載容量非線性模型以有效抵御級聯失效.但上述國內外研究多集中于地鐵或地面公交網絡的抗毀性研究，對級聯失效的仿真分析也僅止于單一基礎網絡，極少有文獻涉及對軌道交通與地面公交所構成的城市公共交通復合網絡做特性研究.

因此，本文運用復雜網絡理論，以成都市為例，構建了城市公共交通復合系統網絡，在簡要分析網絡拓撲結構特性的基礎上，首先考察地鐵-公交復合網絡在不同襲擊模式下的靜態抗毀性，其后分析突發性事故下地鐵客流擁堵的傳播擴散現象，從而為城市交通復合網絡應對網絡受襲失效現象的規劃與管理提供一定的理論依據.

1 地鐵-公交復合網絡模型構建

1.1 模型基本假設

首先在構建城市地鐵-公交復合網絡時，鑒于站點的普遍對稱性，提出以下假設:

(1)進行恐怖襲擊下地鐵-公交復合網絡的抗毀性研究時，由于襲擊通常會作用于某些網絡節點或連邊致其失效，若考慮受襲后網絡中實際的客流流向，其通常并不會在節點或連邊失效后繼續通過公共交通方式進行疏散.因此此處構建無向非加權網絡.

(2)為構建無向網絡，首先將地鐵站點與常規公交站點作為復合網絡節點，考慮部分近鄰公交站點的重復性，對相距100 m內的重名站點進行合并處理;其次，考慮線路站點的對稱性，對上下行的線路與站點進行合并處理.在對線路相鄰站點進行連接時，也對兩種交通方式的銜接站點做連邊處理，即當地鐵車站周邊500 m范圍內有公交站臺時，則視作此地鐵節點與此部分公交節點間均有連接邊.由此構建非加權網絡.

(3)進行擁堵失效下地鐵-公交復合網絡的級聯傳播性研究時，鑒于地鐵線路與公交線路在運能方面具有極大差距，此處考慮非常態下由于高峰時段(1 h)地鐵站點擁堵所引起的級聯失效現象，即主要由于突發性安全事故引致地鐵站點或連邊失效而形成的擁堵傳播現象.由于級聯失效是一種負載網絡中的某些節點由正常態轉為失效態后可能導致其他節點接連失效的擴散現象，此處構建有向加權網絡.

(4)為構建有向網絡，除同樣對地鐵站點與常規公交站點做上述連接處理外，還分別將各站點間的上下行線路作為節點對間的兩條反向連邊.同時，為構建加權網絡，需要考慮網絡各連邊的容量限制情況:對于同質節點(同方式)之間的連邊，其最大容量為兩站間線路高峰小時的最大輸送能力;對于異質節點(不同方式)之間的連邊，由于其代表連接關系而不具有明確的通行能力限制，此處不施加容量限制.鑒于公交節點的乘客容納能力并不僅限于站臺，因此不對其節點容量加以限制.對于地鐵節點，雖然其站點實際具有容量限制，但由于主要制約其能力的關鍵在于地鐵線路的輸送能力，因此僅將其視為中轉集結點，同樣不設立容量限制.本文主要以《成都市城市快速軌道交通建設規劃(2012～2017 年)客流預測研究報告》［20］(西南交通大學提供)中2020年的地鐵客流預測數據為基礎進行仿真分析，設定網絡中各地鐵連邊的初始權重為高峰小時地鐵站間的客流斷面值，復合網絡連邊的分配流量均不能超過其最大負載容量.

1.2 網絡模型構建

鑒于上述假設，本文以成都市為例，依據成都市城市軌道交通近期建設規劃(圖 1，2012～2020年，成都地鐵有限責任公司提供)與截至2015年6月的成都市二圈層范圍內的常規公交線網(通過成都市公交集團線路信息系統采集)(圖2)，通過剔除部分孤立線路與節點，構建了全連通的地鐵-公交復合網絡，其中地鐵網絡由8條地鐵線路共190個地鐵站點構成，常規公交網絡由312條常規公交線路共3 783個公交站點構成，地鐵-公交復合網絡共由320條線路共3 973個站點構成.城市地鐵-公交復合網絡為

圖1 成都市地鐵網絡拓撲結構示意圖Fig.1 Topological diagram of Chengdu subway networks

式中:

V={v1，v2，…，vN}為復合網絡 G 的節點集，網絡節點總數N=3 973，其中:v1～v190為地鐵站點，v191～v3973為常規公交站點;

E={e1，e2，…，eM}為復合網絡 G 的連邊集，代表各地鐵、常規公交線路行經的站點對間路段;

W={ws，ts，t∈V}為連邊負載流量集.

圖2 成都市地鐵-公交復合網絡拓撲結構示意圖Fig.2 Topological diagram of Chengdu subway-bus compound networks

2 恐怖襲擊下復合網絡的靜態抗毀性

2.1 抗毀性測度模型

此處不考慮由于負載重分配而引起的級聯失效現象，僅構建復合網絡的無向非加權連通圖G=(V，E).鑒于復合網絡規模龐大，此處主要選用最大連通度與網絡效率來作為復合網絡在恐怖襲擊下的抗毀性測度.

(1)最大連通度

當遭受連續襲擊時，復合網絡的總體連通性為衡量其抗毀性的一項重要指標，而最大連通度測度可以較好地描述網絡中各節點的連通程度.將圖中所有節點用最少的邊連接起來的子圖定義為最大連通子圖，最大連通子圖中節點數目與網絡中所有節點數目的比值即為最大連通度S，因此有

式中:

n為最大連通子圖的節點數目.

最大連通度越大，代表網絡節點間連通性越高，網絡抗毀性越強.

(2)網絡效率

由于通過最大連通子圖的平均路徑長度難以有效評估網絡連通性的實際變化情況，此處采用網絡效率測度Eglobal衡量復合網絡的抗毀性，其代表網絡中OD量均為沿最短路徑流通的平均效率.定義網絡中兩節點vi、vj間的距離dij為其最短路徑邊

2.2 網絡襲擊策略

2.2.1 襲擊方式

針對網絡的靜態拓撲結構主要有襲擊節點與連邊兩種方式.鑒于上述網絡不具備自我恢復性能的假設，當網絡節點受襲時，本文將受襲節點及其相鄰連邊均予以刪除，而當連邊受襲時，僅對該連邊做刪除處理.

2.2.2 襲擊類型

主要考慮兩種極端情況下的襲擊類型:

(1)未獲取信息的連續隨機襲擊.此時襲擊者僅能采取盲目襲擊，即完全隨機地刪除網絡中一定比例的節點或連邊.

(2)獲取全部信息的連續蓄意襲擊.此時襲擊者將基于完全信息對網絡采取針對性襲擊，即首先根據節點或連邊的重要度排序，再依次刪除一定比例的節點和連邊.

2.2.3 襲擊策略

鑒于介數能有效反映節點或連邊在整個網絡中的作用和影響力，此處采用基于介數的襲擊策略來分析城市地鐵-公交復合網絡拓撲結構的抗毀性.網絡中不相鄰的節點vl、vm間的最短路徑會途經某些節點與連邊，如果某個節點vi或連邊eij被許多條最短路徑經過，則其重要性或影響力可用節點介數Bi與連邊介數Bij來表征，其定義分別為數，則

式中:

Rlm為節點vl、vm之間的最短路徑條數，其中:Rlm(i)、Rlm(eij)分別為節點vl、vm之間的最短路徑經過節點或連邊的條數.

節點vi或連邊eij的介數即為網絡所有最短路徑中經過該節點或連邊的數量比例.

2.3 抗毀性仿真分析

2.3.1 仿真設計

采用上述構建的成都市地鐵-公交復合網絡(忽略地鐵站點受襲全線停運的情況)，結合網絡抗毀性測度，依據網絡襲擊策略進行仿真分析，實驗流程如圖3所示.

仿真實驗過程如下:

(1)零信息連續隨機襲擊時，每次刪除2.5%的節點或連邊，并連續進行10次取平均值;

(2)完全信息連續蓄意襲擊時，按照節點或連邊介數的序列每次刪除2.5%的節點或連邊，當遇到多個相同節點或連邊介數時，隨機選取一個.

2.3.2 仿真分析

(1)零信息連續隨機襲擊仿真實驗

分別針對地鐵子網絡、地面公交子網絡以及地鐵-公交復合網絡在受到針對節點或連邊的零信息連續隨機襲擊時其最大連通度與網絡效率的持續性變化進行分析.由圖4可見，在隨機襲擊下，復合網絡最大連通度的下降幅度小于兩子網絡，而在連邊襲擊下，相較節點襲擊，復合網絡最大子圖的連通度降速更低.而如圖5，地鐵-公交復合網絡的網絡效率變化趨勢與地面公交子網絡基本一致，同時由于地鐵子網絡對整個復合網絡所起到的支撐性作用，令復合網絡的整體效率又高于地面公交子網絡.

圖3 抗毀性仿真實驗流程圖Fig.3 Flow chart of simulation

(2)完全信息連續蓄意襲擊仿真實驗

分別針對復合網絡及其兩子網絡在受到針對節點或連邊的完全信息連續蓄意襲擊時其最大連通度與網絡效率的持續性變化進行分析.由圖6、7可見，在蓄意襲擊下，復合網絡的兩項指標的變化趨勢與地面公交子網絡基本保持一致，同時其整體網絡指標的下降幅度與速度均低于地面公交子網絡.這主要是由于地鐵子網絡能夠在一定程度上串聯整合地面公交網絡，作為主要脈絡對地面公交系統形成有效補充，從而在一定程度上提升復合網絡的整體性能.

圖4 復合網絡與子網絡最大連通度對比Fig.4 Comparison of maximal connected degree of compound network and its two sub-networks under random attack

圖5 復合網絡與子網絡全局效率對比Fig.5 Comparison of global efficiency of compound network and its two sub-networks under random attack

圖6 復合網絡與子網絡最大連通度對比Fig.6 Comparison of maximal connected degree of compound network and its two sub-networks under intentional attack

(3)仿真結論

由仿真分析可以看出，在隨機襲擊與蓄意襲擊兩種情況下，地鐵-公交復合網絡的最大連通度與網絡效率的降幅與降速均低于地鐵子網絡與地面公交子網絡.可見相比傳統的單一常規公交網絡，通過建設軌道交通系統網絡以構建城市公共交通新型復合網絡能夠有效提高網絡整體的抗毀性.隨著越來越多城市加快軌道交通的建設，以地鐵為主的城市軌道系統網絡能夠在一定程度上增進地鐵-公交復合網絡的整體效能與抗毀性，軌道交通子系統與地面公交子系統間存在協調發展的必要性與可能性，同時結合上述對網絡中關鍵節點與連邊的識別，也有必要研究制定相應的復合網絡應急聯動機制，以有效應對突發的網絡失效現象.

圖7 復合網絡與子網絡全局效率對比Fig.7 Comparison of global efficiency of compound network and its two sub-networks under intentional attack

3 擁堵失效下復合網絡的級聯傳播性

由于城市地鐵-公交復合網絡實際具有容量限制與客流負載，任意一個節點或一條連邊因負載超過最大容量而由正常態變為失效態(過飽和態)后均會引起局部乃至整個網絡負載流量的重新分配，這可能會導致網絡中其他節點或連邊的接連失效，從而令此類失效現象(交通網絡中表現為擁堵現象)在網絡中逐步傳播擴散、產生級聯效應，最終可能引致局部甚至整個網絡的崩潰，此類現象稱為級聯失效.在分析復合網絡靜態拓撲特性的基礎上也有必要對負載網絡的級聯失效現象進行探討.此處主要考慮非常態下由于早高峰時段(1 h)地鐵線路客流擁堵所引起的級聯失效現象，即主要由于突發性事故所引起的地鐵線路失效在網絡中形成的擁堵傳播現象.對于以成都市為實例所構建的地鐵-公交復合網絡，其中地鐵1號線至4號線為6B編組，設計運輸能力(即在定員情況下地鐵的高峰小時單向輸送能力)為4.38萬(人·次)/h;其他地鐵線路均為6A編組，其設計運輸能力為5.58萬(人·次)/h;對于公交線路能力，依據成都市公交集團公示信息設定高峰發車頻率為2 min，基于統一CDK車型(定載89人)的單線單向高峰時段最大輸送能力為2 670(人·次)/h.

3.1 突發性安全事故引致地鐵擁堵的傳播擴散現象研究

突發性安全事故是造成交通擁堵的重要因素.當地鐵線路站點或站間出現突發性事故且不能即時處理時，可能導致該線路臨時全線停運.若在高峰通勤出行時段，會令大量乘客在沿線各站點滯留且難以疏解，從而出現嚴重的擁堵現象，影響局部乃至整個城市公共交通網絡的正常運作.考慮極端情況下的擁堵擴散情況，即臨時停運信息在此時段內未能有效傳播，同時地鐵站點周邊未安排臨時公交線路，乘客也未提前選擇其他方式出行，僅能以此地鐵線路站點為起點在現有網絡基礎上重新安排出行線路.

此處主要涉及4類矩陣，分別為復合網絡的關聯矩陣G、復合網絡各連邊的容量矩陣K、流量矩陣W以及復合網絡地鐵線路的高峰站間客流OD矩陣O.其中:G為N階有向關聯矩陣;K為依據線路設計能力賦予容量限制的N階矩陣;W為根據文獻［20］中預測的2020年地鐵線路高峰小時最大客流斷面流量設立的網絡中各節點間連邊初始權重矩陣;每條地鐵線路的高峰站間客流OD矩陣O均源于文獻［20］中2020年的客流預測數據.

依次研究8條地鐵線路分別因突發性事故引起全線停運時的網絡擁堵擴散狀況，根據線路OD量以各站點為起訖點重新選擇通行路徑進行流量分配.具體分析步驟如下:

(1)去除單條停運線路站間連邊后，以SPFA［21］找出基于復合網絡的該線路節點對間的最短出行路徑，依據線路OD量在不考慮最大容量限制的情況下對出行路徑所經過的連邊賦予客流權重.其后將每條連邊上的流量值除以其最大容量，即得到各連邊的超負荷系數.當超負荷系數大于等于1時代表其處于失效態，將失效連邊除以網絡總連邊數，即得到網絡的失效度.通過失效連邊的平均超負荷系數及網絡失效度即可適當表述復合網絡擁堵傳播的強度與廣度;

(2)由于實際網絡各連邊的負載流量均不能超過其最大負載容量，因此基于對通勤時間成本的考慮，在乘客無法選擇最優路徑出行時，其通常會傾向選擇次優或其他的通行路徑.以此為流量分配原則，同時考慮到客流的時序性，從線路上下行的末端站開始，反向以各地鐵站為起點，而依次以后序站點為終點，基于周邊各節點連邊依序選擇各起訖點間的最短路徑進行OD量分配.其中每當一條連邊上的分配流量達至其最大容量而處于飽和態時，即認為其處于失效態，將其從可選連邊集中去除，再重新選擇最優路徑，直至以首端站為起點將客流量分配完畢.其后分別統計網絡中各已選連邊的飽和度及處于失效態的連邊數目，以評估網絡擁堵失效的級聯傳播與擴散特性.

3.2 仿真實驗結果分析

利用Matlab軟件對成都市地鐵-公交復合網絡進行仿真，對于非容量限制下與容量限制下單條地鐵線路停運引致的擁堵失效現象，在復合網絡中的傳播的實驗結果如表1與圖8、9所示.

表1 非容量限制下與容量限制下的仿真實驗結果Tab.1 Simulation results without＆with restrictive capacity

圖8 有無容量限制下的網絡失效度對比Fig.8 Network failure degree comparison with＆without restrictive capacity

對于非容量限制下的復合網絡擁堵失效傳播仿真測試，主要可用以評判在不改變既有公交網絡的條件下臨時加密相關公交線路發車間隔的疏運有效性與必要性.依據不同地鐵線路停運所導致的公交失效連邊，可在運力資源與道路系統條件允許下，針對性地增加其所屬公交線路的臨時發車班次，則可有效降低失效公交連邊的超負荷系數，以滿足軌道滯留乘客的接續出行需求.對于容量限制下的仿真，主要可用以評判在不改變既有公交網絡的條件下臨時增加應急線路的疏運有效性與必要性，依據未分配完畢的OD流量，同時考慮緩解不同地鐵線路停運所導致的公交線路失效連邊的客流壓力，基于失效軌道站點在其所屬的應急接駁區間設置臨時公交線路以為各線路的滯留乘客提供應急疏運服務.

由表1可見，在公交容量限制下，如地鐵2、4、5號線沿線的既有公交線路對軌道交通突發事件下滯留客流的應急疏運能力較弱，不能完全承擔軌道擁堵失效情況下乘客的出行需求，雖然此處主要考慮軌道線路臨時全線停運的極端情況，但也有必要針對此類軌道線路可能發生的客流擁堵現象制定相應的公交應急聯動預案，為此部分溢出客流提供相應的接續出行服務.因此基于上述兩種條件下的測試結果，結合上節對復合網絡中各節點與連邊重要度的分析，針對不同的線路擁堵失效仿真結果，可將加密既有公交線路發車間隔與增加臨時公交線走行兩種公交應急聯動策略相結合，一方面加強既有公交線路的輸送能力以緩解其在分擔軌道客流時可能受到的過高負載影響，另一方面在既有公交線路難以對滯留乘客形成有效疏解時通過設置臨時公交線路為溢出客流提供高效的疏運服務，同時進一步分擔既有公交線路的突增客流壓力，起到促進擁堵客流消散的作用.

圖9 有無容量限制下的平均超負荷系數對比Fig.9 Average overload factor comparison with＆without restrictive capacity

4 結論

主要運用復雜網絡理論，以成都市為例構建了城市公共交通復合系統網絡，在簡要分析其拓撲結構特性的基礎上，首先測度了城市地鐵-公交復合網絡在隨機與蓄意兩種針對節點或連邊的不同襲擊模式下的靜態抗毀性，其后分析了突發性事故下地鐵客流擁堵失效現象在復合網絡中的傳播擴散性.一方面通過對網絡靜態抗毀性的測度判斷節點與連邊的重要度，從而識別關鍵節點與連邊，以針對性加強網絡在連續襲擊尤其是蓄意襲擊下的抗毀性能;另一方面基于對網絡負載容量限制條件的設立，通過對地鐵線路失效時受阻客流在地鐵-公交復合網絡中疏解效率的仿真分析，在既有公交線網難以對軌道堵塞客流形成有效疏解條件下，合理設置具有針對性的公交應急聯動預案，以有效應對復合網絡中客流擁堵引致的級聯失效.由此通過對上述復合網絡兩方面特性的分析探討，可為城市公共交通復合網絡在應對網絡受襲與擁堵失效時其規劃方案與管理措施的制定提供一定的理論依據.

［1］ ALBERT R，JEONG H，BARABASI A L.Attack and error tolerance in complex networks［J］.Nature，2000，406(6794):387-482.

［2］ ALBERT R，BARAB SI A L.Statistical mechanics of complex networks［J］.Lecture Notes in Physics，2001，74(1):1-54.

［3］ HOLME P，KIM B J，YOON C N，et al.Attack vulnerability of complex networks［J］.Physical Review E Statistical Nonlinear ＆ Soft Matter Physics，2004，65(5):634-643.

［4］ LATORA V，MARCHIORI M.Is the Boston subway a small world network? ［J］.Physical A，2002，314(1/2/3/4):109-113.

［5］ SEATON K A，HACKETT L M.Stations，trains and small world networks［J］.Physical A，2004，339(3/4):635-644.

［6］ SIENKIEWIEZ J，HOLYST J A.Statistical analysis of 22 public transport networks in Poland［J］.Physical Review E Statistical Nonlinear＆ Soft Matter Physics，2005，72(4):046127/1-046127/11.

［7］ MOTTER A E.Cascade control and defense in complex networks［J］.Physical Review Letters，2004，93(9):098701/1-098701/4.

［8］ ZHAO L，PARK K，LAI Y C.Attack vulnerability of scale-free networks due to cascading breakdown［J］.Physical Review E Statistical Nonlinear＆Soft Matter Physics，2004，70(3):035101/1-035101/4.

［9］ ZHAO L，PARK K，LAI Y C，et al.Tolerance of scalefree networks against attack-induced cascades［J］.Physical Review E Statistical Nonlinear＆Soft Matter Physics，2005，72(2):986-1023.

［10］ CRUCITTI P，LATORA V，MARCHIORI M.Model for cascading failures in complex networks［J］.Physical Review E Statistical Nonlinear＆Soft Matter Physics，2004，69(2):266-289.

［11］ 高潔，施其洲.城市軌道網絡抗毀可靠性定義及評價指標模型研究［J］.鐵道學報，2007，29(3):29-33.GAO Jie， SHI Qizhou.Definition and evaluation modeling of metro network invulnerability［J］.Journal of the China Railway Society，2007，29(3):29-33.

［12］ ZHANG J H，XU X M，HONG L，et al.Networked analysis of the Shanghai subway network in China［J］.Physica A:Statistical Mechanics＆its Applications，2011，390(23):4562-4570.

［13］ 歐雯.恐怖襲擊下城市軌道交通網絡抗毀性分析［D］.成都:西南交通大學，2014.

［14］ 汪濤，吳琳麗.基于復雜網絡的城市公交網絡抗毀性分析［J］.計算機應用研究，2010，27(11):4084-4086.WANG Tao，WU Linli.Research on invulnerability of urban transit network based on complex network［J］.Application Research of Computers，2010，27(11):4084-4086.

［15］ 陳靜，孫林夫.復雜網絡中節點重要度評估［J］.西南交通大學學報，2009，44(3):426-429.CHEN Jing，SUN Linfu.Evaluation of node importance in complex networks［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2009，44(3):426-429.

［16］ 范文禮，劉志剛.基于傳輸效率矩陣的復雜網絡節點重要度排序方法［J］.西南交通大學學報，2014，49(2):337-342.FAN Wenli，LIU Zhigang.Ranking method for node importance based on efficiency matrix［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2014，49(2):337-342.

［17］ 謝豐，程蘇琦，陳冬青，等.基于級聯失效的復雜網絡抗毀性［J］.清華大學學報:自然科學版，2011，51(10):1252-1257.XIE Feng，CHENG Suqi，CHEN Dongqing，et al.Cascade- based attack vulnerability in complex networks［J］. Journal of Tsinghua University:Sci＆ Tech，2011，51(10):1252-1257.

［18］ 竇炳琳，張世永.復雜網絡上級聯失效的負載容量模型［J］.系統仿真學報，2011(7):1459-1463.DOU Binglin，ZHANG Shiyong.Load-capacity model for cascading failures of complex networks［J］.Journal of System Simulation，2011(7):1459-1463.

［19］ 陳世明，龐少鵬，鄒小群，等.面向級聯失效的加權網絡負載容量非線性模型魯棒性優化［J］.控制與決策，2013，28(7):1041-1045.CHEN Shiming，PANG Shaopeng，ZOU Xiaoqun，et al.Robustness optimization ofload- capacity nonlinear model in weighted network for cascading failure［J］.Control and Decision，2013，28(7):1041-1045.

［20］ 金鍵，梅麗，周家中，等.成都市城市快速軌道交通建設規劃(2012—2017)客流預測研究［R］.成都:西南交通大學，2011.

［21］ 段凡丁.關于最短路徑的SPFA快速算法［J］.西南交通大學學報，1994，29(2):207-212.DUAN Fanding.A faster algorithm for shortest-path SPFA［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，1994，29(2):207-212.