函數y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ（φ∈[0，2π]）的最值解與析

曹景恒??

摘要：函數最值是初等數學的重要內容，求解函數最值的基本方法主要有均值不等式、縮放法、換元法及導數法等，但在具體針對某一函數求解時應結合給定函數的條件進行選擇合適的方法。本文試用幾種不同的方法求解一個三角函數的最值，并對由此得出的悖論解進行分析。

關鍵詞：函數最值；均值不等式；平方平均數；算術平均數；幾何平均數；換元；導數

有這樣一個三角函數y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ （φ∈[0，2π]），現用幾種不同的方法求解它的最值。

方法1：根據算術平均數不小于幾何平均數求解。

y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ

≥1+sinφcosφ+14sinφcosφ

=1+12sin2φ+18sin2φ

顯然，當φ=π4時，sin2φ=1為最大，所以該函數最小值為98+22

方法2：根據平方平均數不小于算術平均數不小于幾何平均數求解。

y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ

≤1+sin2φ+cos2φ2+14·sin2φ+cos2φ2

=98+22

即，該函數最大值為

ymax=98+22

方法3：用換元法求解。

令t=sinφ+cosφ，t∈[-2，2].則sinφcosφ=t2-12。

那么，函數

y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ

=1+12t+14·t2-12

=18t2+12t+78

這是一條開口向上的拋物線，其對稱軸為

t=-b2a=-1214=-2

因此，y關于t的函數在[-2，2]區間是增函數，所以函數的最大值和最小值分別為

ymax=98+22

ymim=98-22

方法4：用導數思維求解。

對該函數

y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ

求一階導數，有

y′=12cosφ-12sinφ+14cos2φ-14sin2φ

當

y′=12cosφ-12sinφ+14cos2φ-14sin2φ

=（cosφ-sinφ）12+14（cosφ+sinφ）

=0

即（cosφ-sinφ）=0

亦即

φ=π4或φ=5π4

時，函數y有最值。對函數求二階導數，有

y″=-12sinφ-12cosφ-12sinφcosφ-12sinφcosφ

=-12（sinφ+cosφ）-sinφcosφ

當φ=π4時，y″=-2+12<0，故此時函數有最大值，即

ymax=98+22

當φ=5π4時，y″=2-12>0，故此時函數有最小值，即

ymin=98-22

綜上所述：方法1和方法2均采用均值不等式的思想，然卻得出截然不同的悖論結果，說明其中至少有一種方法不嚴謹甚至有錯誤；而方法3與方法4的思維方式不同，卻達到殊途同歸的效果。

現就方法1和方法2出現悖論的原因及各種方法的嚴謹性作幾點分析：

1 均值不等式的應用應該注意各元素的約定條件。把算術平均數縮小為幾何平均數求最小值時，各元素都必須不小于零；把幾何平均數、算術平均數放大為平方平均數求最大值時，各元素之間沒有特別的限制條件。方法1中不能保證sinφ、cosφ必須不小于零，故是一種不正確的求解方法；方法2中的變化過程不等式恒成立而不會滋生歧義，是一種可取的方法，但有局限性。

2 換元法應用時必須注意換元前后函數定義域即自變量取值范圍的嚴密制約關系，換元后的函數定義域決定于換元前的函數定義域。方法3的換元過程是比較嚴密的，不失是一種好方法。

3 用導數求函數最值是最嚴密、最通用的方法。在很多情況下，在使用其他方法求解函數最值但不好鑒別結果真偽時，常采用對函數求導數的方法來進行甄別。（指導教師：黃紹書）

作者簡介：

曹景恒，貴州省六盤水市，貴州六盤水市第一實驗中學2017屆高三年級。endprint