試論高中數學中的分類討論思想

摘要：本文根據分類討論最常用到的點做了一些分析：如分段函數在現實生活中的運用、分類思想在分析絕對值方面的應用、分類思想在函數圖形中的應用、分類討論在概率問題中也經常用到。另外，在一些數學比較綜合類的大題中，也經常會涉及分類討論，所以高中數學中對于分類討論這一板塊必須要引起我們足夠的重視。

關鍵詞：高中數學；分類討論；思想運用

高中數學中很多板塊、題目等都運用到了分類討論思想，本文根據分類討論最常用到的點做了以下分析：

一、 分類思想在分段函數中的應用

分段函數一般需要將函數在不同取值范圍內的情況進行分類統計，而且分段函數在現實生活中也是常常會用到的，本文就以一個現實生活中用到的例子進行分析。

例1某公司準備給參加公司活動的顧客發放愛心回饋大禮包，預計能來參加公司活動的有15～25人左右，該公司準備在A和B兩家公司進行選擇采購大禮包，其產品都是一致的，A公司和B公司給出的單價都是1500元/份，同時，A公司表示可以給打八五折的折扣，而B公司則表示，可以在打九折的基礎上，多贈送公司一份同樣的大禮包，那么，該公司選擇在A公司還是B公司進行選購產品更加實惠呢？

解答：針對這個問題，我們可以先設出變量，將實際能參加活動的人數設為未知數x，而將在變量x下，實際需要支付A公司的禮品費用為y1，實際需要支付B公司的禮品費用為y2；

那么y1=1500x×0.85=1275x；y2=1500（x-1）×0.9

①當y1= y2時，即1275x=1500（x-1）×0.9，x=18，即當實際參加活動的人數為18人時，在A公司或者B公司采購產品的費用是一樣的；②當y1>y2時，即1275x>1500（x-1）×0.9，x<18，即當實際參加活動的人數1518，即當實際參加活動的人數18

二、 分類思想在分析絕對值方面的應用

含有絕對值的等式或者不等式，由于要討論絕對值符號里面的內容什么時候為正數什么時候為負數，以方便去掉絕對值符號進行運算，所以往往這類問題一般都要用到分類討論。下面舉例加以說明：

例2一個很簡單的運算，|x-3|<3x中x的取值范圍？解答的時候就要用到分類討論：

①當x>3時，那么│x-3│>0，可以直接去掉絕對值符合，即原公式變為x-3<3x的解，公式變形為-2x-3<0的解，為x>-3/2，但是由于這個等式是在x>3的前提下討論的，所以當x>3時，│x-3│<3x公式的取值范圍就是x>3；②當x=0時，0<0，無解；③當x<3時，│x-3│絕對值里面原本是負數，就應該加負號去絕對值，即變為-x+3，就是當x<3時，求-x+3<3x中x的取值范圍，可得到解3/4

三、 分類思想在函數圖形中的應用

很多函數問題的解答中都要用到分類討論的思想，引入分類討論可以將函數問題解答起來更加簡單，思路更加清晰。舉一個常見的例子：

例3圓形x2+y2=4與直線y=kx+4有幾個交點？解答：首先明確 x2+y2=4是原點在定點，半徑為2的圓形，y=kx+4很明顯直線經過（0，4）這個點。

①當k=0，那么直線就是y= 4，與圓沒有任何交點；②當k<0，那么函數y=kx+4是遞減函數，先討論當圓與直線相切時候，此時圓和直線只有一個交點，那么通過畫圖計算，圓半徑是2，經過（0，4）點，而且圓和直線相切為直角，那么直線與圓的切點處為半徑，以及y軸構成的直角三角形頂角是30度，那么假設直線與x軸的切點橫坐標為z，根據直角三角形兩邊平方和等于第三邊平方和，z2+42=（2z）2，得出此時直線與x軸交點為（43，0）那么根據函數的兩個點（43，0）和（0，4），可以得出直線方程k=-3/3，由此可以得出：（1）當k<3/3時，直線與圓有兩個交點；（2）當k=-3/3，直線與圓有一個交點；（3）當-3/3

②當k>0，通過對②的分析可知，當k>0時，是與k<0時，關于y軸對稱的，所以通過相同的解題方法可以得出：（1）當k>3/3時，直線與圓有兩個交點；（2）當k=3/3，直線與圓有一個交點；（3）當0

所以綜上所述：k=-3/3或者k=3/3時，圓與直線有一個交點；當k>3/3或k<-3/3時，直線與圓有兩個交點；當-3/3

四、 分類討論在概率問題中也經常用到

概率問題中有一些需要求的問題也是有多個組成部分構成的，需要用到分類討論的原理。

例4一個盒子里放著寫有編號的1、2、3、4、5、6、7、8、9，九個小球，從中任意挑選2個，那么選出來的兩個小球上的數字之積是偶數的概率是多少？

解答：從題目可以分析，如果取出來兩個奇數，那么奇數和奇數的成績還是奇數，如果取出來兩個偶數，偶數與偶數的成績是偶數，如果取出來的是一個奇數和一個偶數，兩者相乘的結果是偶數。所以此處要知道兩數之積是偶數的概率，就要分類將取出來的是兩個偶數以及取出來的是一奇一偶的概率相加。在9個小球之中隨意抽取兩個球的話，概率是C29，而抽出兩個偶數的概率是C24，取出一奇一偶的概率C14×C15，所以最后求出的概率是（C24+C14×C15）/C29=13/18。

五、 其他應用

在一些數學比較綜合類的大題中，也經常會涉及分類討論，這往往是由于公式的限制、參數值在變化、條件不唯一、需要某些數學運算以確定函數的單調性和奇偶性討論等引起的需要分類進行討論，所以高中數學中對于分類討論這一板塊必須要引起我們足夠的重視。

參考文獻：

[1] 李劍評.淺析高中數學思想在高考考查中的滲透[J].海峽科學，2010（09）.

作者簡介：

劉志軍，寧夏回族自治區中衛市，寧夏中衛中學。