高中數學競賽不等式應用研究

摘要：不等式作為高中的一部分內容，解法靈活多變，從中可以體現出多種數學思想方法，本文便是從高中數學競賽不等式解法入手，研究從中可以體現出的數學思想方法都有哪些。

關鍵詞：高中；數學；競賽

一、 不等式與多變量函數極值問題

所謂多變量函數，即是一個函數中有多個變量。而不等式與多變量函數極值問題是在變量或變動因素較多時求取函數的最值。這些變量同時變化，相互制約又彼此獨立，相互干擾間常常讓同學們無從著手，漫無頭緒。其實，就是如此多的變量擾亂了我們的思路，不知該如何是好。所以，我們可以讓大多數變量固定，只讓少數變量運動，以此來搞清楚各變量之間的數量關系和制約依賴關系，然后讓剛剛固定的變量“活”起來，卻固定住剛才動著的變量，最終達到解決此類問題的目的。這種方法有個統一的名字，叫控制變量法。

1. 構造二次函數法

如果有一個多變量不等式是二次函數，而且還是齊次的，那么我們就可以構造出一個只關于其中一個變量的二次函數，然后再利用二次函數的單調性求其最值或者利用二次函數的圖像來分析問題，從而使問題得到解決。其實質是將多變量問題轉化為單變量問題求解。

例設a，b，c為任意三角形的三個內角，對于任意實數L，M，N，求證：

L2+M2+N2≥2LMcosa+2MNcosb+2NLcosC

分析：根據題意，首先將特征式整理成關于L的二次函數形式，再利用二次函數及其方程的有關性質進行推理證明。

證明：將M，N看成常數，構造關于L的函數

因為L，M，N∈R

f（L）=L2-2（Mcosa+NcosC）L-2MNcosb+M2+N2

Δ=4（Mcosa+NcosC）2-4（M2+N2-2MNcosb）

=4M2（cosa2-1）+8MN（cosccosa+cosb）+4N2（cosc2-1）

=4M（sina-Nsinc）2≤0

又因為函數f（L）圖像開口向上，所以f（L）≥0，故：

L2+M2+N2≥2LMcosa+2MNcosb+2NLcosc

2. 調整法

所謂調整法，就是由最值存在為依據，首先從與問題實質有聯系的較寬要求開始，把條件特殊化，再引入參量，使條件一般化，也是一種從特殊到一般的方法。要注意的是，要使用調整法做題，題中的可能情形只有有限多種。

例設a，b，c∈（0，1）滿足

1-abc+

1-bca+

1-cab=2，求abc的最大值。

分析：由題意知，此題的最大值一定存在，所以可以用調整法來解決。由于是求乘積的最大值，我們可以將三個變元調整到全都相等的時候，再運用反證法，使問題得到解決。

證明：當a=b=c=34時，abc=2764，下面證明abc不能比2764再大了。

若不然，由條件式得

a（1-a）+b（1-b）+c（1-c）=2abc>343

將不等式兩邊同時平方有：

（a（1-a）·1+b（1-b）·1+c（1-c）·1）2>916×3

由柯西不等式有：

（a（1-a）·1+b（1-b）·1+c（1-c）·1）2

<[（a（1-a））2+（b（1-b））2+（c（1-c））2]×3

所以3[a（1-a）+b（1-b）+c（1-c）]>916×3

a（1-a）+b（1-b）+c（1-c）>916

矛盾。綜上所述，abc的最大值是2764。

二、 含參不等式的恒成立問題

含參不等式問題即是要確定當不等式恒成立時參數所需要滿足的充分條件、必要條件，或者是參數的取值范圍及參數的最值等問題。這類題型是近些年來國內、國際數學競賽中的新興題型，難度較大且解題思路靈活多變，技巧性較強。本章，筆者根據大量此類例題，總結了8種解決此類問題遵循的方法。包括：最值法、判別式法、靈活確定主元法、數形結合法、正難則反、構造輔助函數法、集合觀點轉化策略以及分類討論的方法。下面就讓我們依次來了解一下這九種方法。

1. 最值法

若f（x）是以x為變量的函數表達式，g（a）是以a為變量的函數表達式。求對任意x都成立的a的取值范圍，則：

若有f（x）>g（a）恒成立，則有g（a）

若有f（x）f（x）max

例已知函數g（x）=（x+1）lnx-x+1如果xg′（x）≤x2+mx=1，求m的取值范圍。

分析：因為要求m的取值范圍，而m又混雜在給出的已知條件中，所以首先要分離參數，然后自然就想到如果能求出不等號另一邊表達式的最值，那么m的范圍就迎刃而解了，所以再用最值法計算。

解：因為g′（x）=x+1x+lnx-1=lnx+1x（x>0）

所以xg′（x）=xlnx+1

由xg′（x）≤x2+mx+1得m≥lnx-1，

令f（x）=lnx-x，

則，問題就轉化成了求函數f（x）的最大值的問題。

因為f′（x）=1x-1

當00；當x>1時，f′（x）<0。

所以，當x=1時，f（x）存在最大值。

f（x）的最大值為f（1）=-1

所以m≥-1。

2. 構造輔助函數法

對于一些復雜的高次不等式，可以利用構造輔助函數的方法，從全新的角度以全新的觀點觀察和分析對象，使問題中隱蔽的關系與條件顯現出來，將復雜的高次不等式變化成簡潔明了的形式，從而簡化解題思路。

例解不等式8（a+1）3+10a+1-a3-5a>0

分析：如果這道題直接將左邊通分用解高次不等式的思維來運算會相當麻煩。但注意到

8（a+1）3+10a+1=2a+13+52a+1，因此我們可以用構造輔助函數的方法嘗試解決。

解：將原不等式化為2a+13+52a+1>a3+5a，令g（a）=a3+5a，則不等式變為g2a+1>g（a）。因為g（a）=a3+5a在R上為增函數，所以原不等式等價于

2a+1>a，解得：-1

3. 判別式法

（1）如果f（x）>0有，對于x∈R恒成立→a>0Δ<0

（2）如果有f（x）<0，對于x∈R恒成立→a<0Δ>0

例已知關于x的不等式（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3>0對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍。

解：（1）當a2+4a-5=0時，即a=1或a=-5，則易知當a=1時，符合題意。

a=-5不符合條件，舍去。

（2）當a2+4a-5≠0時，由二次函數對一切實數恒為正數的充要條件，得

a2+4a-5>0

Δ=16（a-1）2-12（a2+4a-5）<0，解得1

綜上所述有，實數a的取值范圍為[1，19）。

本論文重點研究總結了不等式應用的兩個方面：多變量函數求極值問題以及含參不等式恒成立問題，體現了構造輔助函數，數形結合等數學思想方法，可使同學們今后遇到類似題型能夠有方向可循。

作者簡介：周瑩，吉林省白城市，白城一中。