數學分析中的幾種證明方法探析

黃民海

【摘要】命題證明是數學分析教學中的難點。文章對數學分析中的幾種證明方法進行了深入分析，并通過例證加以說明。

【關鍵詞】數學分析；驗證性證明；引用性證明；構造性證明；反證法

一、引言

數學分析是大學數學類各專業非常重要的一門基礎課，是進一步學習后續課程必備的基礎. 數學分析內容博大精深，邏輯性與系統性很強，其中包含大量的命題證明. 命題證明是數學分析學習中很重要的內容，一直是數學分析教學中的難點. 多數學生對于命題證明的學習普遍感到艱難，作業中的命題證明錯漏百出. 因此，如何教好“命題證明”是一個值得研究的課題. 數學命題的證明方法各式各樣，許多學者對于命題證明方法進行了很有意義的探索. 本文僅就數學分析中常見的幾種基本證明方法——驗證性證明、引用性證明、構造性證明和反證法進行深入分析，并通過例證加以說明.

二、幾種證明方法分析

（一）驗證性證明

驗證性證明方法可看是演繹性證明方法的一種形式. 這種證明方法主要是針對與“定義”或公式法則有關的命題，證明的關鍵在于“驗證”. 有關數列極限、函數極限、函數一致連續、函數可導性、函數列一致收斂等等方面的許多命題，都可以歸結為驗證性證明.

例1：證明.

證明：任意正數，由可得. 因此，存在正整數，當時，有，根據“”定義，得證.

本題的證題方法在于“驗證”數列以1為極限這一事實，即驗證其滿足數列極限的“”定義. 至于在證明過程中是利用分析演繹法還是利用綜合演繹法，結果都是在說明其滿足數列極限的“”定義，從而證明了數列以1為極限.

例2：證明在上一致連續.

證明：任意，有，對任意正數，存在使得對任意，只要，就有，根據函數一致連續的定義，在上一致連續.

本題的證題方法也在于“驗證”函數在上滿足一致連續的定義，證明的過程就在于“驗證”.

例3：設，證明：.

本題的證題方法可以通過復合函數的求導公式和法則，計算幾個偏導數來證明等式成立，本質也屬于“驗證”.

（二）引用性證明

引用性證明方法，顧名思義，是一種引用定理、性質或公式來證明命題的方法. 在數學分析中，這種證明方法可謂司空見慣，許多性質、定理、法則或公式的應用命題，都可以看作是引用性證明. 這類命題證明的關鍵在于說明命題符合引用的條件，從而得到相應的結論.

例4：證明方程至少有一個實根.

證明：顯然，函數在閉區間上連續，又，根據根的存在定理，方程在上至少有一個根，即方程至少有一個實根.

本題的證題方法引用了連續函數的零點定理或稱根的存在定理.

例5：若與在可積，則

證明：根據定積分的性質，對任意實數，函數在上可積，且有即. 注意到，定積分的值是一個確定的實數，因此，以上不等式左邊是一個關于的二次函數，根據二次函數性質，有，因此

本題的不等式是著名的許瓦茲（Schwarz）積分不等式，證題方法引用了定積分的和差性質、乘積性質、積分不等式幾個性質以及二次函數的性質，并注意到定積分是一個確定的實數這一要素.

例6：設，且有界，證明收斂.

證明：由已知條件，存在正數，使得，從而，又已知收斂，由比較原則知收斂.

本題的證題方法引用了正項級數斂散性判別的比較原則，證明的關鍵在于比較不等式的確定以及熟知的比較對象的收斂性.

例7：設，證明數列極限存在.

本題的證題方法（證明略）會引用到數列極限的單調有界定理，證明的過程在于說明所給的數列滿足單調有界定理的條件，即單調性和有界性.

（三）構造性證明

構造性證明方法是一種間接性的證明方法，通過構造輔助函數，構造區間套，構造數列等方法來間接完成命題的證明. 這種證明方法往往與命題化歸相聯系，即將原命題化歸為一類已經解決或比較容易解決的命題，化歸是借助“構造”這一橋梁去實現的.

例8：證明拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函數滿足如下條件：（ⅰ）函數在閉區間上連續；（ⅱ）函數在開區間上可導. 則在上至少存在一點，使得.

證明：構造函數. 容易驗證，函數在區間上滿足羅爾（Rolle）定理的條件，從而在上至少存在一點，使得.

本命題的證法是通過構造輔助函數，將原命題化歸為新命題“在上至少存在一點，使得”，這是羅爾定理的結論. 本命題構造的輔助函數也可以定義為. 構造兩個不同的輔助函數，都能夠實現命題的證明. 兩個輔助函數在上都滿足羅爾定理的條件，只是其中的條件“區間端點的函數值相等”的“函數值”不同，從幾何直觀上可以看出其中的差異，目的和結果完全一樣.

例9：證明“不存在處處連續又處處不可導的函數”的論斷是錯誤的.

證明：數學家魏爾斯特拉斯（Weierstrass）舉出了一個著名的反例：，其中，且. 雖然在上處處連續，但卻處處無導數.

在數學分析的發展歷史上，數學家們一直猜測：連續函數在其定義區間中，至多除去可列個點外都是可導的. 但這一猜想是錯誤的，1872年魏爾斯特拉斯給出了以上的構造反例. 本題的證法也可稱為反例構造法，通過構造反例達到命題的證明. 在有關否定命題的證明中，往往使用這種方法，它證明了“某命題不成立”為真，反例達到“四兩撥千斤”的功效.

例10：證明聚點定理：實軸上的任一有界無限點集至少有一個聚點.

本題的證法（證明略）可以通過構造區間套，利用區間套定理來證明，也可以通過構造開覆蓋，再利用有限覆蓋定理證明.

（四）反證法

反證法又稱背理法，是一種常見的論證方式. 反證法首先假設在原命題的題設下，結論不成立，然后推理出與已知條件或已知定理明顯矛盾的結果，從而下結論說假設不成立，原命題得證. 反證法與歸謬法相似，數學分析中并沒有給予嚴格區分.

例11：證明：若函數在上連續，且，則.

證明：假定不成立，即存在某，使得，由連續函數的局部保號性，存在的某鄰域，使在其上有. 由定積分的性質推知. 這與已知條件相矛盾，所以.

本題的證法是在假設結論不成立的前提下，推導出與已知條件“”相矛盾的結果.

例12：設，證明不存在優級數.

證明：假定在上存在優級數，取，則，根據比較原則，由收斂得知，這與已知的調和級數發散矛盾，因此不存在優級數.

本題的證法是在假設結論不成立的前提下，推導出與已知的結論“調和級數發散”相矛盾的結果.

三、結語

數學分析中的命題證明方法花樣繁多，錯綜復雜，證明過程中也含有豐富的數學思想和方法技巧. 除了文中提及的證法，還有課程中較少使用的數學歸納法、解釋性證法以及幾種方法的結合，等等. 某一命題可能有多種證法，而一種證法也不一定教條化地歸結為某類證法. 文中例8的證法也可以看作是引用性證法. 證法的分類只是一種模式化的簡單概括，沒有指定哪個命題一定要用哪種方法去證明的，只有真正掌握各種證明方法的本身，才能靈活地證明數學分析中的各種命題.

【參考文獻】

[1]杜君花，王立，王洪艷. 關于幾種數學證明方法的研究[J]. 高師理科學刊，2016，36（11）：59-62.

[2]張寅生. 證明方法與理論[M]. 北京：國防工業出版社，2015.endprint