初等數學各常識凸顯中學數學有一系列重大錯誤

【摘要】中學的集合、數列、區間方面的基本常識凸顯：①5千年無人能識“自然數集”N有最大元Ω且N外有用而不知的“更無理”標準無窮大自然數2Ω>N一切元，使“已非常成熟”的初等數學一直將根本不是N的真子集誤為N的真子集，將N的真子（擴）集誤為N，將無窮多假N誤為N；②2500年（人類發現無理數已有2500多年）無人能識R外還有“更無理”標準實數使初等數學有一系列將兩異點集（包括直線）誤為同一集、將R外數誤為R內數的幾百年重大錯誤——百年病態集論的癥結。

【關鍵詞】N有最大元；“一一對應”概念推翻百年集論；“更無理”數（推翻百年“R軸各點與各標準實數一一對應定理”）；推翻直線公（定）理；貌似重合的偽二重集；直線（段）的伸縮變換；著名數學家朱梧槚

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）50-0107-03

一、導言：不能不重視著名數學家朱梧槚的“超人”發現

百年集論被譽為是“人類最偉大的創造之一”（胡作玄《引起紛爭的金蘋果》27頁，福建教育出版社，1993）?！白顐ゴ髷祵W家”希爾伯特斷言：任何人都不能推翻集合論。然而中國著名數學家朱梧槚教授及肖奚安、杜國平、宮寧生教授卻“超人”地洞察到集論中的“無窮集都是自相矛盾的非集[1]”。這就是說“定義：可與其真子集對等的集稱為無窮集”中的“無窮集”是自相矛盾的非集；換言之，根本不存在可與其真子集對等的無窮集。不少人認為這是與4位數學家身份極不相稱的“怪論”。本文揭示數列最起碼常識和集合起碼常識凸顯真正的無窮集必不可～其任何真子集。集論中的N各元n均有對應標準自然數n+1和2n等等?！翱茖W”共識：數學的公（定）理絕不可能被推翻；認識自然數已有5千多年的數學對自然數絕不可能有絲毫的認識差錯（當然更絕不可能有將N外數n+1>n∈N誤為N內數的極重大錯誤）。5千多年來數學一直未能證明存在標準無窮大自然數>N一切數（歷史上有“非法”使用無窮大、小數的情況），從而一直斷定：絕不可能存在這類數。有一種“凡是”：凡是連“小人物”也談不上的“草根”絕不可能有重大科學發現。挑戰各“絕對不可能”的“反科學”的“超人”發現來自于連文盲都懂的關于“配對”方面的邏輯學起碼常識和數列最起碼常識以及小學常識，故高中生也有能力分辨本文是歪理邪說還是數學有史五千年來的最重大發現？從而也能一下子認識5千年都無人能識的自然數。

二、“一一配對”概念讓5千年都無人能識的無窮大自然數一下子暴露出來推翻百年集論——“N無最大元”違反集合起碼常識

（一）數列最起碼常識讓“深藏”5千年的自然數一下子浮出水面——同是無窮數列，此列的項可多于彼列的項

設A={x}表A各元均由x代表，變量x的變域是A；A={（x，y）}表A是由有序數偶組成的集。任一數集A={x}同時也是數偶集A={（x，x）}=A∪A。由一對對數組成的數列（集）可稱為數偶序列（集）。

數列（集）最起碼常識e（見[2]）：若數列（集）A各數可兩兩配對而B各數不可兩兩配對則A≠B（當暫時規定集內兩相等數是集的兩個元時）。凡違反常識e的“無窮數列（集）”必是不合邏輯根本不能存在的假數列（集）。

變數n取自然數。N={n≥0}由偶數n=2p和奇數2p+1組成，p的變域L={0，1，2，…，p，…}各元p變為一對數2p、2p+1組成數偶序列（集）N={（0，1）（2，3）…（2p，2p+1）…}，N的子數列（集）N+={1，（2，3）（4，5）...}={n≥1}是既有數偶又有“單身”數1的混合序列；“拆東補西”地讓一偶數n與奇數1配對，n的原“配偶”就成一新單身奇數，故N+中偶、奇數無論怎樣重新配對后都保持有一單身奇數從而使N+不能成為數偶序列。為什么？因N+中奇數比偶數多從而使N+各數不可兩兩配對；可見N+一切奇數組成的無窮數列的項多于一切偶數組成的數列的項。所以應有邏輯學起碼常識a：“拆東補西”不能使混合序列變為沒單身項的數偶序列。故由一對對數組成的數偶列（數集）同時也是由一個個數組成的數列（集），但并非各數列（集）都由一對對數組成。

混合序列N+各數n≥1變為n-1∈N使N+變為J={0，（1，2）（3，4）…}各數不可兩兩配對，而N各數可兩兩配對，據常識eN={n≥0}≠J={n-1≥0}。包含J的N≠J說明N中必至少有一J外標準無窮大自然數Ω>無窮數列J一切數。5千年都無人能識此Ω使初等數學一直將N的真子集J誤為N，使自有無窮數列、函數概念幾百年來數學一直不知：某類無窮數列（有首項，可由數組和單身數組成）各數不能兩兩配對；從而將兩異級數（數列）誤為同一級數（數列）。詳論見[2]。

N各數n變為其后繼y=n+1>n形成后繼序列（集）H={（1，2）（3，4）…（2p+1，2p+2）…}中各數可兩兩配對且其偶數與奇數一樣多，而N+各數不可兩兩配對且其偶數與奇數不一樣多，故H≠N+。因N+各元n≥1均是n-1∈N的后繼∈H故H？勱N+，包含N+的H≠N+說明H中必至少有一N+外自然數y=n+1>n大于N一切數n。人類由認識自然數到發現這類數竟須歷時5千多年！但獲此發現的依據是常識e。不識這類自然數使中學一直將N外數誤為N內數從而將H誤為N的真子集N+。

（二）集合起碼常識a讓5千年無人能識的N最大元等自然數一下子暴露出來推翻百年集論——小學常識否定康脫的“最偉大創造”凸顯N不可～其真子集

h定理1（改偶定理）（見[3]）：各x與各y一一配對成一無窮“夫妻”有序數偶集F={（x，y）}內“男、女”雙方中有“人”改配偶（新配偶必是F中人）使有的人變成“單身”后，一方出多少個單身，對方也只能出多少個單身；故各單身必可一一配對。否則必至少有一F外人“混進來”參與新配對。故若新配對使一方保持無單身而另一方出現單身那就勢必有數學一直未能察覺的外人“混進來”了。endprint

證：F中任一非“單身”改與另一非單身配為新“夫妻”各自的原“配偶”就成一對可配對的單身，一單身 “再婚”就或使對方一單身也再婚或拆散一對夫妻而生一與再婚者同一方的新單身，沒別的可能。故每產生一對新夫妻的同時必生一對可配對的單身。定理得證。

左框框內相等的兩數均配成數對。現上N各非0數n（≥1）∈N+均改與（位于其左斜下方）比其小的n-1（≥0）∈下N 配對（所有新配偶n-1∈下N的全體是上述的J={0，1，2，…，n-1≥0，…}？哿下N）；這新配對使上N中的0變成單身，據改偶定理下N也必有一單身Ω，這J（？哿下N）外的Ω∈下N顯然是下N的最大數而與1∈下N相隔無窮多自然數∈下N。

集合起碼常識a：無窮數集A的元x與B=A的元y必可一一配對成一對對數使A=B各元x同時或不同時均可有“配偶”y∈B=A，各對數（x，y）中的x與y之間的關系不受任何限制，例沒規定y只能=x等等，y與x只要均是“單身”就可配對。

證：據改偶定理無窮數偶集（數集）F={（x，y=x）}中：有y任意改與≠自己的數x配為（x，y≠x）后各x、y還必可一一配對。兩個數才可配對，由一對對數組成的數集F各數（不是各元）可兩兩配對。F中：有x任意改與≠自己的數∈F配對后出現新的數偶和可能出現單身數，一切新（舊）數偶和單身組成的數集還=由一對對數組成的F， 故各單身必可兩兩配對，因F=A∪B中的B=A故A出多少個單身x，B=A就必出多少個單身y——說明A各數x必可有配偶y（可≠x）∈B=A。有無窮多支筆（有的是鋼筆有的是鉛筆）和無窮多個人，文盲都知若筆和人一樣多則不論如何配對，各人都必能配到一支筆，只不過各人所配筆并非都是鋼筆罷了。可見連文盲都懂的邏輯學起碼常識說明無窮集A的元與B=A的元能否一一配對只與A和B是否分別包含一樣多個元有關而與配對的方式方法完全無關。這說明常識a成立。證畢。

設A一部分元均由x代表另一部分元均由x′代表，“A各元x、x′均有配偶∈B=A”是說：A一部分元x均有配偶∈B=A的同時A其余元x′也必均有配偶∈B=A；斷定B無單身與x′配對顯然是違反集合起碼常識a的錯誤。據常識aN各元均可有配偶∈A=N故N={0，1，2，…，n，…}各非0元n≥1均有配偶y=n-1（≥0）∈A=N（所有配偶y=n-1∈A=N組成上述的J={0，1，2，…，n-1≥0，…}）的同時N其余元0也必可有配偶y=Ω∈A=N，這J外的Ω∈A=N顯然是N的最大自然數而與1∈N相隔無窮多自然數∈N。斷定J={y=n-1}=A=N即斷定A=N無“單身”Ω與N的0元配對顯然是違反集合起碼常識a的重大錯誤：說A=N的元與N的元不一樣多。

凡違反集合起碼常識a的“無窮集”顯然“都是自相矛盾的非集[1]”。顯然Ω和Ω±1等等均是標準分析一直用而不知的標準無窮大自然數，顯然其倒數<任何有窮正數ε是用而不知的無窮小正數?！盁o窮集A=B但A每一元x并非均可有配偶y∈B（y可≠x）”中的A=B因違反集合起碼常識a從而確是根本不能存在的“自相矛盾的非集[1]”。

據集合起碼常識a A=N各奇、偶數均可有配偶∈N，故A=N各偶數n=2p均有配偶p∈N（所有配偶p∈N組成上述的L ={0，1，2，…，p，…}）的同時A=N各奇數n=ni也必可有配偶yi（ni）∈N，這L 外的無窮多yi（i=1，2，3，…）∈N顯然均是無窮大自然數∈N；5千年不識這類數使中學一直將N的真子集L誤為N。斷定L=N即斷定N無單身yi與A=N各奇數ni配對，顯然是違反常識a的錯誤。高等數學是研究變量的，而凡變量必有變域，變數必可遍取其變域的一切數。區間Q=[0，p]∪（p，2p]∪（2p，2p+1]中的變數p≥0由0→∞遍取L一切數p時Q的子區間[0，p]由0→∞地變長而長到包含L一切數p∈[0，p]。據中學區間概念在各[0，p]（p的變域為L）之外還有偶數2p和2p+1∈N。可見如[3]所述被限制只能在各[0，p]內取值的p不可遍取N一切數使其變域L≠N。人類由…到發現L外數∈N竟須歷時5千多年！但若擔心熟悉區間概念的億萬中學生不能認識這類數那就是污蔑其是弱智群體了。R所有非負元x≥0組成R+各元x均有對應標準實數x+1和x/2以及x2和2x等等。若用變域為N（R+）的n≥0（x≥0）替換區間Q中的p則如[4]所述據區間概念在N（R+）之外還有標準自然數（正實數）。

h定理2（見[5]）：無窮集C的任何真子集B？奐C都不可～C，換言之，若A～C則A必≠B？奐C。

證1：見[5]。證2：C各元x變為y（x）組成A={y（x）}～C而有x？圮y=y（x）。假設“～C的A=B？奐C”成立，則C中B？奐C各元均由x代表的同時也均可由y（x）∈A=B？奐C代表（因A={y（x）}=B={x}？奐C）。于是：⑴據起碼常識aC各元x均可有配偶∈W=C，故C中B？奐C各元y（x）∈A=B均有配偶x∈W=C（x？圮y=y（x））的同時C其余（在B？奐C以外的）元也必可有配偶∈W=C，矛盾！因W=C～A各元x均已有配偶y（x）∈A=B而無“單身”可與C其余元配對。故假設不成立即A≠B？奐C。這說明B？奐C各元x并非也均可由y（x）∈A代表即A中必有數y在B？奐C外。⑵A～C各元y（x）均有配偶x∈C后再令A方各元y（x）改與=自己的數y（x）∈B（=A）？奐C配對從而A方保持無單身，據改偶定理C方也只有0個單身，然而事實上C？勱B中B=A各元y（x）與A=B方各元y（x）配對就將A方的元配光了，從而使C？勱B其余元即C中在B外的元x∈C都不可有配偶∈A而成單身。故假設不成立即A≠B？奐C。證畢。

N各元n變為一對數2n（偶數）和2n+1組成N′={（2n，2n+1）}，n=Ω時，2n=2Ω>Ω是N外數∈N′使N′是N的真擴集。同理…。據h定理2N′={2n}∪{2n+1}中的{2n}～N和{2n+1}～N都不是N的任何真子集。endprint

h定理3：有最?。ù螅┰臒o窮數集A各元x若均有對應數y（x）>（<）x則各y（x）并非均∈A。

證：①有最小元x=i的U各數x與V的數y配對：相等的兩數配成一對（x，y=x）；無窮多對（x，y=x）組成{（x，y=x）}中各x改與比其大的y>x配對就使（x=i，y=i）中的y=i變為不可配對的單身，因新配對法規定各x都只與比其大的y配對，而y=i是最小數而不可比任何一個x大從而不可與任何x配對。將“最小”用“最大”替換，將…改為…，同樣就有配不出去的最大數。

設有最小元x=i的A各元x有對應y（x）>x。A各元x與B=A各元y一一配對成F={（x，y=x）}=A=B中各x改與>x的y（x）>x配對從而x方保持無單身但卻使F中的y方（假設各y（x）∈F=A成立）至少出現一單身y=i，據改偶定理假設不成立即各y（x）并非均∈F=A而必至少有一y>x在A外。同樣：

②設有最大元x=j的A各元x有對應y（x）

有最小元的N各元n變為y=n+1>n組成H={y=n+1}～N，據h定理3各y=n+1并非均∈N而必至少有一y在N外，據h定理2H～N不是N的任何真子集——說明≠N的H各元y=n+1>n并非均∈N而其中必有N外自然數y0=n0+1>n0∈N“更無理”地突破了N的“框框”而在N外，式中n0=Ω∈N顯然是N的最大元，因其后繼y0在N外。按證明存在Ω的證法易證無窮數列A={ah}中的序號數h=0，1，2，…的變域必有最大元使A有末項，從而使相應的級數有末項。所以須重新認識級數論。

去掉數偶序列（集）N∪N={（0，0），（1，1），（2，2）…}中的一個0得N+∪N={（，0），（1，1），（2，2），（3，3）…}中：各（）內逗號右邊的數0，1，2，…∈N均變為1，左邊的數1，2，3，…∈N+均變為-1，“，”均變為“+”得級數x=（+1）+（-1+1）+（-1+1）+（-1+1）+...（-1和1是兩個項）=1+0=1而絕不可=0的原因是什么？學過負數的小學生都知原因是式中1比-1多（N有多少個數x中就有多少個1，N+？奐N有多少個數x中就有多少個-1）——說明N+？奐N的元少于N的元從而使N+不可～N。說：通過重新配對，x中的-1和1能一一配對（使所有±1的代數和=0）就是說N各數與N+各數能一一配對；若此康脫“定理”成立則x=1就不能成立，因“定理”表示x不可是一確定的數。所以人們在實際的計算推理時肯定x=1這一小學常識的正確性就是不自覺、無意識地否定了康脫的“最偉大創造”。故“x中的-1都改與其左鄰括號內的1配對就能使x變為y=（-1+1）+（-1+1）+…=0”是被“拆東補西”術迷惑，殊不知拆東補西地讓（-1+1）中-1與單身的+1配對，（-1+1）就變為（+1）從而使y中總有（+1）——從而使y=0+1。可見數學使人推斷存在海王星，小學常識和邏輯學起碼常識a使人推斷y的各（-1+1）后面存在唯一的（+1）從而使y各項不可兩兩配對。沒思維望遠（顯微）鏡從而目光太短淺的“肉眼”數學一直被無窮對象中的假象迷惑，就如幼稚小孩以為魔術師真能無中生有那樣。人有邏輯推理能力，科學“慧眼”能洞察y中有肉眼不能察覺的末項（+1）。

“真理都是很樸實的”。那些違反真正科學常識的“高深”理論必是對科學危害極大的病態理論。

5千年不識Ω使自有數集（列）和函數概念幾百年來數學一直不知：有胡子的不一定是爹，由偶數2g =0，2，4，…和2g+1組成的集不一定是N而有可能是N的真子（擴）集。從而使中學將根本不是N的真子集誤為N的真子集，將N的真子（擴）集誤為N，將無窮多似是而非的假N誤為N。區間[0，1]表示0與1及0與1之間所有數組成的集，但要注意下節表明[0，1]與[0，1]？奐R等，是不同的區間。

三、集合起碼常識讓“深藏”2500年的標準無窮小（大）正數一下子浮出水面——推翻直線公（定）理

R軸即x軸各點x沿軸平移變為點x′=x+△x=0.5x生成元為點x′的x′=0.5x軸，可將其記為0.5R軸；即x軸收縮變換為x′軸疊壓在x軸上。中學幾百年函數“常識”：“0.5R軸=R軸；[0，2]？奐R各元x的對應數y=x/2=0.5x的全體是[0，1]？奐R”其實是違反起碼常識a地將兩異集誤為同一集。理由：①直線段M=[0，2]？奐x軸各點x變為點x′=0.5x∈D′生成元為點x′的D′（～M）=[0，1]？奐0.5R軸。將3斤重的一包餅干A壓縮成壓縮餅干B使B的體積遠小于A的體積，有人以為B是A的一小部分而將其一下子吃光，結果…。這是致命錯誤。同樣，據h定理2（此理成立的依據是起碼常識a）D′～M不是M的子部D=[0，1]？奐M即線段M收縮成D′～M不能成為M的一部分D，中學的D′=D是使康脫誤入百年歧途的重大核心錯誤。②有最大元的T=（0，2]？奐R各元x均有對應y=0.5x

用h定理檢驗知中學課本類似這樣將兩異區間誤為同一區間的幾百年重大錯誤比比皆是（對此，作者另有已在“預印本”上公布的長文論述），從而使康脫推出錯上加錯的病態理論。真正建立在此重大錯誤之上的理論必是錯上加錯的更重大錯誤。但限于篇幅本文只能掛一漏萬了。真正的無窮集D′≠D。

有最小元的R+各元x≥0均有對應y=x+1>x，據h定理3各y并非均∈R+而必至少有一正數y在R+外而>R一切數。故R軸各點x沿軸平移變為點y=x+1>x生成元為點y的y=x+1軸≠R軸。故直線A沿本身伸縮或平移后就≠A了。所以初中幾何的“直線公理（有書“證明”這是定理）：過空間兩異位置點有且只能有一條直線”其實是將無窮多各異直線誤為同一線的“以井代天”的“井底”誤區。

四、為偉大科學家使用無窮大、小數光輝實踐正名

可見中學數學各常識使標準分析一直用而不知的N內、外標準無窮大自然數及其倒數以及R外標準無窮?。ù螅┱龜?（>）R一切正數一下子暴露出來推翻集論立論的論據：中學的：N無最大元，D′=D。否定無理數使數學自相矛盾，否定“更無理”數使初等數學出現違反中學數學各常識的尖銳自相矛盾。數學史表明沒無窮數就沒高等數學?！皻W拉毫不猶豫地承認無窮小的數和無窮大的數都是客觀存在的，并且如此純熟地應用這些概念……[6]”。萊布尼茨：“雖然人們經常使用的只是通常的數，并沒有引進任何無限小或分母無限大的數，但它們卻是同時存在的[7]?！卑倌陿O限論之前的二千多年數學一直“非法”使用無窮大、小數進行計算推理從而取得一系列輝煌成就（“實踐是檢驗真理的標準”），但對這類“數”一直無力實現由感性認識到理性認識的飛躍而一直解不開為何“用‘不存在的‘數進行推理計算竟能使歐拉、萊布尼茨及數學得到一系列正確結果”謎團，正如西醫無法解開：人體“不存在”經絡系統，但經千百年實踐檢驗的中醫的經絡學說卻為何行之極有效這一謎團一樣。偉大科學家的太偉大實踐往往超前理論千百年。因中醫學還處于理論上還說不清的唯象論階段故有人說其是偽科學。備注：本文已在“預印本”上公布。

參考文獻：

[1]朱梧槚、肖奚安、杜國平、宮寧生.關于無窮集合概念的不相容性問題的研究[J].南京郵電大學學報（自然版），2006（6）

[2]黃小寧.證明數偶集{（1，2）（3，4）…（2n-1，2n）…}有最大數元——反復論證集有奇、偶型之分糾正課本重大錯誤[J].科技視界，2014年（24）：362

[3]黃小寧.數列、集合、邏輯學起碼常識暴露課本一系列重大錯誤——數列起碼常識否定5千年“常識”：無最大自然數[J].科技視界，2015（32）

[4]黃小寧.憑中學數學常識發現數學課本一系列重大錯誤——

讓中學生也能一下子認識2300年都無人能識的直線段[J].數理化解題研究，2016（24）：19

[5]黃小寧.真正科學常識否定5千年“常識”：沒最大自然數——證實龐加萊百年前偉大科學預見推翻百年集論[J].科技信息，2011（27）

[6][美]愛德華著，張鴻林譯.微積分發展史[M].北京：北京出版社：1987：368

[7][美]魯濱遜著，申又棖等譯.非標準分析[M].北京：科學出版社， 1980：30endprint