豎式運算在高中數學復數教學中的應用

水小強

【摘 要】豎式運算在小學數學計算中的出現幫助小學生提高了運算效率，是小學數學教師的法寶。然而，豎式運算中學數學教材中卻悄然消失。筆者在教學過程中發現豎式運算在復數四則運算中有著更好的作用，能夠大大提高復數計算的效率。

【關鍵詞】復數的四則運算；豎式運算

豎式運算在小學數學計算中的出現幫助小學生提高了運算效率，是小學數學教師的法寶。然而，豎式運算中學數學教材中卻悄然消失。筆者在教學過程中發現豎式運算在復數四則運算中有著更好的作用，能夠大大提高復數計算的效率。

復數的四則運算在人教[A]版教材中為文科選修1-2第三章第二節和理科選修2-2中第三章第二節內容。教材中基于第一節《數系擴充和復數的概念》規定了復數的加法與減法法則：

設z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）是任意兩個復數，那么

（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；

.

類比于實數的豎式運算，我們可以得出復數加法與減法的豎式運算法則：

復數加法豎式運算法則

復數減法豎式運算法則

例1.計算

解：

∴

復數運算的乘法法則：

設是任意兩個復數，那么它們的積

.

其實就是把兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把i2換成-1，并且把實部與虛部分別合并。兩個復數的積仍然是一個復數。

因為復數是由實部和虛部構成的，即實部+純虛數，所以兩個復數相乘每兩項的乘積若為實數則在豎式運算中寫在前邊，乘積為純虛數則寫在后邊。

復數乘法豎式運算法則：

例2.計算

解：原式

例3.

解：原式

復數的除法運算其實質是分子分母同時乘以分母的共軛復數，從而實現分母的實數化。即：

∴=.

根據除法法則其實質是分子分母分別進行乘法運算。分母中根據公式（a+bi）（a-bi）=a2+b2直接可得，從而只需進行分子的乘法計算。

例4.計算.

豎式運算在復數的四則運算中的應用，一方面提高了學生的運算效率，另一方面是對實數豎式運算的延伸，拓展了學生應用能力和類比推理能力。尤其是除法豎式運算，掌握起來難度較大，再加上不理解豎式的本質，很容易在計算的時候出現錯誤。豎式計算是指人們在處理數目較大的數字時，由于口算比較困難，而采用的豎式筆錄形式，使整個計算過程變得格式化與順序化，有效提高計算速度。而在豎式長期發展的過程中，也形成了一定的格式，對于加減來說，相同的位數要對齊，從個位數算起；對于乘法也是如此；而除法則要從最高位開始除。這樣教師在教學的過程中，就應該注意不僅要使學生知其然，還要使他們知其所以然，以為后續的學習做好鋪墊。

豎式是一種筆錄計算的形式，歷經千年已形成其固有的計算格式與順序。這種格式與順序是隨著歷史的發展而形成的統一認識，絕不是簡單的規定。因此，豎式教學應該讓學生經歷豎式的再創造歷程，理解“規定”背后的“道理”。

數學技能作為一種程序性知識可以有兩種存在形式，一是“技術的知識”，表現為言語表述的操作要訣，解決“知道怎樣做”的問題；二是“實踐的知識”，表現為實際操作的方式，解決了“會做”的問題。一般認為，數學技能的學習過程，是“技術的知識”向“實踐的知識”轉化，并最終統一的過程。正是基于這樣的認識，筆算教學一般更傾向先向學生傳授豎式的書寫格式、算理以及計算順序，在明白怎樣做的基礎上進行技能的訓練。

先“教”后“練”似乎成了筆算教學的一般模式。在這種理念下的豎式教學，教得枯燥，學得乏味，更多地是考驗學生的模仿力與記憶力，學到了技能卻喪失了探究的意識與能力。因此，豎式教學絕不僅僅是技能的習得，需要經歷豎式的再創造過程，在探究過程中理解豎式原理，積累數學基本活動經驗，增強分析問題和解決問題的能力。學生“眼中”的豎式計算順序，不應該是局部的點與點的相乘，而是若干個一位數乘多位數積的疊加。所領悟的也不再是豎式的外部形式，而是其本質內涵。學習者對所學習的對象能在心理上組織起有效的認知結構，并使之成為個人內部知識網絡的一部分，才會產生理解。endprint