巧用三角函數定義解題

摘 要：三角函數的定義是三角函數中最基本的概念，在教材中起承前啟后的作用，是三角函數其他知識的出發點。由三角函數的定義可導出三角函數的具體內容：三角函數線、定義域、三角函數的符號、值域、同角三角函數關系、誘導公式、三角函數的圖像和性質。

關鍵詞：三角函數；中學數學；解題思路

其應用非常廣泛，具體表現在以下幾個方面：

一、 求任意角的三角函數值

例1 已知角α的終邊上一點P（3t，4t），t≠0，求sinα，cosα，tanα，

的值。

解∵x=3t，y=4t，∴r=（3t）2+（4t）2=5t。當t>0時，r=5t

∴sinα=4t5t=45，cosα=3t5t=35，tanα=4t3t=43

當t<0時，r=-5t，因此sinα=4t-5t=-45，cosα=3t-5t=-35，

tanα=4t3t=43。

評注：這類題目是直接用定義解題，求r時要注意分類討論。

二、 確定角所在的象限

例2 已知P={θ|sinθ>0}，N=θ|1+tan2θ=1cosθ，求P∩N的角θ所在的象限。

解：∵sinθ=yr>0∴y>0，又∵1cosθ=rx>0∴x>0由x>0，y>0知P∩N的角θ在第一象限。

三、 證明三角不等式

例3 已知α為第一象限角，求證：sinα+cosα>1

證明：設P（x.y）是角α的終邊上異于原點的一點，則x+y>r>0

（三角形兩邊之和大于第三邊）∴sinα+cosα=yr+xr=x+yr>1。

四、 化簡求值

例4 已知sinα+cosα=13，求tanα+1tanα的值。

解：設P（x，y）是角α的終邊上的一個點，則r=x2+y2，由任意角三角函數的定義知，sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx（x≠0，y≠0）

由sinα+cosα=13，得yr+xr=13，兩邊平方得y2r2+x2r2+2xyr2=13

化簡，得xyr2=-13，所以tanα+1tanα=yx+xy=y2+x2xy=r2xy=-3。

五、 證明三角等式

例5 求證：cosα1-sinα=1+sinαcosα

證明：設P（x，y）是角α的終邊上的一個點，則r=x2+y2，由任

意角三角函數的定義知，sinα=yr，cosα=xr（x≠0）。

則左邊=xr1-yr=xr-y=x（r+y）（r-y）（r+y）=r+yx=1+yrxr=1+sinαcosα=右邊

所以左邊=右邊，因此等式成立。

評注：靈活應用三角函數定義解題思路清晰，解法簡單、直觀。

三角函數的定義是學好三角函數的關鍵，其基礎性和應用的廣泛性決定了它的重要性。它不僅可以幫助學生更加深入理解函數這一基本概念，更重要的是它又為平面向量、解析幾何等內容的學習做了必要的準備。

作者簡介：

莊云，山東省淄博市，淄博四中。endprint