巧用物理方法解決幾何問題

摘 要：高考在物理學科中要求學生具備“五大能力”，其中“運用數學工具解決物理問題”這一項要求，對學生的理科素養提出了更高層次的要求，因此我們在學生的日常應考訓練中，經常教育學生要能夠將部分物理問題轉化為數學問題，如電學中電流輸出功率與內外電阻的函數極值關系；數學中的圖象法、極值法、解析函數等幾種常見的數學方法。特別是用圖象和函數的思想，研究和解決物理問題，可使問題變得簡明、直觀。數學在物理學科上的應用常常起到有力的輔助作用。然而，在有些問題中，物理知識的合理應用也可以巧妙地解決數學問題。本文就在處理物理題目中發現了一個幾何問題，通過構建物理模型，成功地將該問題予以解決。

關鍵詞：高中物理；物理方法；幾何問題；物理與數學

【例】 如圖1所示，一質量為m的小球套在光滑豎直桿上，輕質彈簧一端固定于O點，另一端與該小球相連。現將小球從A點由靜止釋放，沿豎直桿運動到B點，已知OA長度小于OB長度，彈簧處于OA、OB兩位置時彈力大小相等。在小球由A到B的過程中（ ）

A. 加速度等于重力加速度g的位置有兩個

B. 彈簧彈力的功率為零的位置有兩個

C. 彈簧彈力對小球所做的正功等于小球克服彈簧彈力所做的功

D. 彈簧彈力做正功過程中小球運動的距離等于小球克服彈簧彈力做功過程中小球運動的距離

這是一道功能關系的綜合題目，難度屬于中等偏上，每一個選項都值得我們深思。

首先挖掘題目中的關鍵信息：“OA長度小于OB長度，彈簧處于OA、OB兩位置時彈力大小相等”告訴我們處于OA的彈簧一定處于壓縮狀態，處于OB的彈簧處于拉伸狀態。這樣，我們很容易在AB之間將彈簧所處的幾個特殊位置確定出來，如圖2所示（為了能清晰表示彈簧處于不同狀態的位置，我們將圖中的彈簧都用直線代替，如線段OA表示處于OA狀態的彈簧）：

OA是小球釋放時彈簧的壓縮狀態；

OC是彈簧壓縮最短的位置，此時彈簧水平；

OD與OA關于OC對稱，即彈簧處于OD位置的壓縮量與OA相同；

OE是彈簧處于原長的位置；

OB是彈簧處于壓縮的狀態，形變量與OA相同。

由以上分析可知，加速度等于重力加速度g的位置有兩個，即水平位置OC和原長位置OE，故A對；彈簧彈力功率為零的位置有三個，即OA、OC和原長OE位置，故B錯誤；彈簧對物體做正功，彈簧彈性勢能減少，彈簧對物體做負功，彈簧彈性勢能增加，彈簧處于OA和OB兩位置（即初末位置）時，形變量相同，故彈簧彈性勢能相同，即彈簧在該過程中對物體所做的正功和負功在數值上相等，故C對。

D選項涉及做功時的距離，故需要分段看。對小球下落過程分析很容易判斷出：

WAC<0 WCD>0 WAC=-WCD WDE>0 WEB<0

即AC段負功與CD段正功數量相等，故要比較AB段做正負功所走距離大小，只需要比較做正功的DE段與做負功的EB段長度大小。由于OD與OA關于OC對稱，故OD位置的壓縮量與OB位置的拉伸量一定相等，因此有如下的幾何線段關系：

OB-OE=OE-OD

我們可以將該問題抽化成如圖3的幾何模型：

已知在三角形ODB中，OB-OE=OE-OD，比較DE與EB的大小關系。

在這個幾何問題中，我們可以借助平面幾何關系或代數中的向量知識予以化解，但過程都比較繁瑣，對于學生來說不容易思考。這時我們可以通過一個很簡單的物理模型將該幾何問題巧妙解答。過程如下：

如圖4所示，一根輕繩跨過光滑的定滑輪，左端連接著水平面上可視為質點的小物體M，右端吊著物體m。外力F作用在M上，使M沿著水平面勻速向右運動。設E點和D點是M運動過程中的兩個位置，且滿足tBE=tED，E′和D′是物體m對應的兩個位置。由關聯速度知識可知，物體m的速度可以表示為vcosα，其中α角為滑輪左側繩子與水平面的夾角。因為α角的不斷增加，可以知道在M向右勻速直線運動過程中，m在做減速運動。故對于m的運動過程可以得出：XB′E′>XE′D′

即線段關系：OB-OE>OE-OD

故在△ODE中，當DE=EB時，線段滿足OB-OE>OE-OD；推理可得，當OB-OE=OE-OD時，E點必定向靠近B點方向移動少許，此時DE>EB。

回到例題中的D選項，借助于剛才模型中得到的結論可知，“彈力做正功過程中小球運動的距離大于小球克服彈簧彈力做功過程中小球運動的距離”，故D項錯誤。

構建物理模型巧妙解決幾何問題、數學問題，這是一個嶄新的思路。老師和同學們平時在做題過程中，只要勤于思考、善于發現，一定還可以發現更多的成功案例，從而更進一步加強物理學科和數學學科的緊密協作，綜合提升高中學生的理科素養。

參考文獻：

[1]張業金.新課程標準下物理教學中滲透數學思想方法的探究[D].上海師范大學，2009.

[2]張國明.巧用數學知識，妙解物理極值問題[J].中國校外教育中旬刊.

作者簡介：

栗高龍，河北省張家口市，河北省張家口市宣化第一中學。endprint