整體換元法在解題中的應用

陳卓序

摘要：數(shù)學是高中課程中的重要學科，數(shù)學作為一門邏輯思維很強的學科，在解題方法與解題步驟中，往往需要借助許多方法。其中，整體換元法是解答數(shù)學題的重要方法，整體換元法在數(shù)學解題過程中有著十分廣泛而全面的應用。本文立足于整體換元法的相關(guān)概念及理論，淺述整體換元法在解題中的應用，為數(shù)學這一學科的學習與數(shù)學習題的解答提供更加科學有效的方法。

關(guān)鍵詞：整體換元法；數(shù)學；解題；應用

一、整體換元法概述

1、整體換元法的概念。換元法是數(shù)學學科中的一個重要解題方法，它是指在解題過程中，將幾個變量或者一個關(guān)系式用一個新的變量表示出來，化繁為簡。其中，整體換元法是換元法中的重要類型，是指將幾個變量關(guān)系或者一個復雜的關(guān)系式用一個新的變量表示出來，從而將一些復雜的關(guān)系式簡便化，也將一些有關(guān)聯(lián)的變量聯(lián)系起來[1]。

2、整體換元法的意義。首先，從運算過程來講，整體換元法的意義在于，簡化運算過程，有利于運算過程的簡便化[2]。在解題過程中，有些復雜的關(guān)系式在計算和書寫的過程中，十分繁瑣困難，如果運用整體換元法，設一個新的變量，用該變量表示關(guān)系式，就能使得運算過程更加簡便化、標準化；另一方面，從解題思路來講，整體換元法有利于將分散的、有一定聯(lián)系的變量聯(lián)結(jié)起來，有利于將復雜繁瑣的數(shù)量關(guān)系整理為較為清晰、易于思考的關(guān)系。從這個意義上來說，整體換元是利用新引進的變量來等價替換原有的復雜變量，在思考與解題的過程中，始終將這些復雜變量當成一個整體，有利于思維的擴展與變量間關(guān)系的梳理[3]。

二、整體換元的類別

整體換元有許多類別，在高中數(shù)學的解題過程中，整體換元思想也有著十分廣泛且深入的應用。這里例舉幾種高中數(shù)學課本中較為常見的整體換元的類別，從而更好地研究整體換元思想，為學好高中數(shù)學理清思路。

1、局部換元。局部換元法是整體換元法的重要組成部分，它是指在一個復雜的關(guān)系式當中，引進一個新設變量（通常用字母表示）來代表原關(guān)系式中出現(xiàn)多次的關(guān)系式，從而簡化解題過程，使得解題思路與解題過程更加簡便又標準。例如，在解答不等式：4^x +2^x -2≥0時，通過對不等式的觀察之后，可以先設2^x =t（t>0），然后代入原不等式方程，就能輕松且正確地解答[4]。

2、三角換元。三角換元法在解答三角函數(shù)問題時有著十分重要的作用。在一個三角函數(shù)問題中，有較為復雜的根號形式，則可以引用新的變量來等價替換該根號形式的變量，或者用新的變量來等價替換滿足三角函數(shù)關(guān)系的變量，從而借助三角換元法進行三角函數(shù)問題的思考與解答。例如，當變量x與變量y滿足x2+y2 =r2（r>0）時，可以設x=rcosθ、y=rsinθ，從而解答三角函數(shù)問題。

3、均值換元。均值換元法是整體換元法中的另一種重要應用，是指在整體換元思想中，用新的變量形式來替換原有的數(shù)量關(guān)系，使得替換前的數(shù)量關(guān)系與替換后的數(shù)量關(guān)系是等價均值的。例如，當變量x與變量y滿足x+y=2S條件的時候，可以設x= S+t，則y=S-t，降低解題難度[5]。

三、整體換元法在解題中的應用

1、因式分解。整體換元法在解答因式分解題型時最為常見，由于因式分解題型中，關(guān)系式較為復雜，所以整體還原法是解答因式分解題的重要方法，例如在分解因式x4-x2-3=0中，可以設y=x2，從而將因式變形為y2-y-3=0。這就是整體換元法在因式分解中的簡單應用。

2、不等式。在解答不等式問題的過程中，常常運用整體換元法來解決復雜的數(shù)量關(guān)系。例如，在一元二次不等式f（2x-3）=x2+5x-3中，通過對題目的觀察后，可以設變量t=2x-3，則原方程式可以表達為x=（t+3）/2 ，因此f（t）={（t+3）/2}2+5（t+3）/2-3。這就是整體換元法在解決不等式問題中的簡單應用。

3、用驗證法求數(shù)列通項。在高中數(shù)學課本中，關(guān)于數(shù)列的問題，多數(shù)都涉及求解數(shù)列通項公式的問題。然而，許多數(shù)列中復雜的變量與關(guān)系式，會給思考與解題的過程增添許多麻煩與難度。因此，在用驗證法求解數(shù)列通項時，常常會運用整體換元的方法，將數(shù)列中復雜的關(guān)系式用一個新設變量表示，從而簡化解題過程。下面以一道用驗證法求解數(shù)列通項的題型為例進行分析：

四、結(jié)語

綜上所述，整體換元法是解答數(shù)學題中的重要方法，在數(shù)學解題過程中有著十分廣泛而全面的應用。研究整體換元法的意義在于更便捷化、標準化地解答不同類型的數(shù)學問題。作為高中生來說，數(shù)學學科是一門重要的學科，我們必須在日常的學習生活中，多思考、多練習，不斷開拓思維，善于用不同的方法與思路解決數(shù)學問題。另一方面，我們應該在刻苦學習的同時，善于觀察規(guī)律、總結(jié)規(guī)律，養(yǎng)成良好的數(shù)學分析能力與邏輯能力。

參考文獻

[1] 施鵬飛.例談解題中應用換元法策略[J].數(shù)理化解題研究：初中版，2010（12）：22-23.

[2] 黃慧.淺談?chuàng)Q元法及其應用發(fā)展思維能力[J].數(shù)理化解題研究：初中版，2015（11）：15.

[3] 鄔虹萍.整體換元法幾例[J].上海中學數(shù)學，2009（11）：13-15.

[4] 羅燦，方厚良.用換元法使三角函數(shù)的學習“活”起來[J]中小學數(shù)學：高中版，2016（1）：106-107.

[5] 于志洪.三角函數(shù)換元法在代數(shù)中的應用[J].數(shù)學大世界：教學導向，2000（2）：67.endprint