神秘的非歐幾何

鵬飛：“幾何學以點、線和面為研究對象，它的歷史和人類的文明一樣古老?！?/p>

浩天：“歐幾里得就是幾何的化身，《幾何原本》中明晰的公理、公設和嚴謹的定理證明是人類理解時空的最佳途徑。古希臘人已經將幾何學構建得如此完善，證明過的定理就再也無法推翻，幾千年來人們都在研習歐幾里得幾何。無法超越的感覺令人窒息，好郁悶！”

鵬飛：“歐幾里得在《幾何原本》中構建了人類有史以來第一座演繹推理的宏偉大廈，它是如此精巧、嚴謹、完美。但歐幾里得并沒有將幾何學大廈完全封閉，他在這座大廈的某處還留了一條縫呢！”

浩天：“他故意留了條縫？那這條縫在哪兒呢？”

鵬飛：“《幾何原本》后面定理的證明都是依據前面的定義、公理和公設推理而來，是無懈可擊的，要找它的縫，只能到前面來找?！?/p>

浩天：“定義就是合理的人為規定，這沒有什么可挑剔的；公理說的是大家都認可的道理，似乎也沒有什么縫可鉆。公設有幾條？”

鵬飛：“公設有5條：

1. 兩點之間可作一條直線段；

2. 直線段可以無限延長；

3. 以任意一點為中心及任意的距離可以作一個圓；

4. 所有直角都相等；

5. 若一條直線與另外兩條直線段相交，且使一側的內角之和小于二直角的和，則該側兩條直線段無限延長后必相交。

如果這里還沒有縫可鉆，那么幾何學很可能在2000多年前就封閉嚴實，變成死水一潭了?！?/p>

浩天認真地思索著：“這里確實還有可探討的地方。1、2兩條公設為什么不合在一起，說成‘過兩點可作一條直線呢？還有第5公設是所有公理和公設當中最長的一條，感覺比較繁瑣，似乎可以通過其他公理和公設證明出來，干嗎要單獨列出來呢？”

鵬飛：“人們糾結的地方就在這兒，不如直接去問問歐幾里得本人吧！”浩天帶著疑問跟著鵬飛一起到電腦的虛擬幻境中再次拜訪歐幾里得。瞬間，他們穿越時空，來到公元前300多年的亞歷山大城。他們很快找到了歐幾里得的工作室。浩天迫不及待，直接敲門：“歐幾里得先生，開門！”

門開了，一位神情憂郁的老人出現在他們面前：“請進。有什么問題嗎？”浩天心想，眼前的人已經不像我們以前看到的青年歐幾里得，那時他精力旺盛，顯得那么自信。

“先生，您好！請問您的第1、2公設為什么不合起來說：過兩點可作一條直線。這樣不是更簡潔嗎？”

歐幾里得看著已被幻化成古希臘學生模樣的浩天，憂郁地搖了搖頭：“直線是無限延伸的，長度是無窮的?？烧l也無法真正看到無窮長的線。我盡量避免無窮的出現，所以我只承認過兩點可作直線段，但直線段可以無限地延伸下去。唉！不可避免還是出現了無窮，這也正是我煩惱的地方?！?/p>

浩天知道，我們現代人把這種可無限延伸叫做“潛無窮”，而整條直線則是“實無窮”。浩天緊接著問：“另外您的第5公設，看起來不像其他公設那樣簡潔明了，可以由其他公理和公設證明出來嗎？”

歐幾里得顯得更憂郁了：“對這一公設我也沒有十分的把握，我用多種方法都沒能由其他公理、公設證明出來，也沒找到比這更直觀的等價公設來代替它?！?/p>

“那不如改成‘過直線外一點能且只能作一條此直線的平行線，這樣不是更簡明嗎？”浩天一著急把現代教科書上的話說了出來，但他立刻想到這樣不妥，“噢！我忘了，您是不想用直線這一涉及無窮的概念，只能說如果同側內角之和小于兩個直角之和，則這兩條線段不斷延伸后一定相交。”浩天的理解使歐幾里得興奮起來。“那大于兩個直角之和呢？”浩天的思維發散開來，“不是也相交嗎？”

“是的。”歐幾里得解釋道，“那是在另一側相交，敘述起來更顯繁瑣?！?/p>

“如果等于兩個直角之和呢？是不是一定不相交？”

歐幾里得的臉又陰沉了：“誰也無法判定將這兩條直線無限延伸下去會不會相交，所以我也沒說等于兩直角之和時不相交?！?/p>

一直在旁邊靜聽的鵬飛這時插話進來：“如果同側兩內角之和不等于但接近兩直角之和，是不是就一定會相交？”

歐幾里得看了一眼鵬飛，陷入了沉思，臉上陰云密布。

浩天解圍道：“無限接近兩直角之和，跟等于兩直角之和這種情況一樣，也不好驗證，而且那兩條直線段延伸下去也不一定相交，先生您說對嗎？”

歐幾里得將臉轉了過去，無限惆悵。

“老師再見！”鵬飛拉起浩天就走，邊走邊小聲說，“你這是要逼瘋歐幾里得?。∧愕恼f法不是直接否定了他的第5公設嗎？”

“可是……確實……唉！麻煩的第5公設！”endprint