2017年數學建模B題問題一與問題二解析

張姣麗++楊榮慶++鐘蕓??

摘 要：“拍照賺錢APP”是基于移動互聯網下的一種信息共享平臺，其成功與否與任務發布者的出價密切相關?；诖耍饕芯科涞娜蝿斩▋r問題，采用多元線性回歸模型，借助SPSS軟件處理數據，并通過分析任務所在的經度、緯度、任務完成情況三個影響因素對任務定價的影響。此外，借助插值和擬合模型求出原方案的擬合函數，利用MATLAB計算出定價的理想值，并設計新的定價方案，利用AHP和原方案進行比較，得出新方案優于原方案。

關鍵詞：任務定價；多元線性回歸模型；插值與擬合模型；AHP

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2018.05.085

“拍照賺錢”是一種基于移動互聯網絡的自助式勞務眾包平臺，其成功與否與任務發布者的出價密切相關，因而任務定價成為該平臺的運行核心。

根據數據信息剔除附件一的異常數據，篩選出有效信息。

1 問題一的模型建立與求解

1.1 確定影響因子

分析附件一的數據，任務定價作為因變量，其它因素作為影響因子，即：

（1）任務GPS緯度。

（2）任務GPS經度。

（3）任務執行情況。

利用MATLAB得出圖1。

1.2 模型的建立與求解

多元線性回歸分析一般模型為：

y=β0+β1x1+…+βmXm+εε～N（0，σ2）（1）

式中β0，β1，…βm，σ2都是與x1，x2，…，xm無關的未知參數，其中β0，β1，…βm稱為回歸系數。

利用n個獨立觀測數據（yi，xi1，…，xim），i=1，…，n，n>m ，由（1）得：

yi=β0+β1xi1+…+βmXim+εiεi～N（0，σ2），i=1，…，n（2）

記

X=1 x11 … xim… … … …n1 xn1 … xnm，Y=y1…yn（3）

ε=ε1 … εnT，β=β0 β1 … βmT

表為：

Y=Xβ+εε～N（0，σ2）（4）

其中E為n階單位矩陣。

模型中的參數β0，β1，…βm用最小二乘法估計，即應選取估計值βj，

使得當βj=βj，j=0，1，2，…，m時，殘差平方和

Q=∑ni=1ε2=∑ni=1（yi-β0-β1xi1-…-βmxim）2（5）

達到最小。

利用建立的模型和SPSS專業軟件進行求解，求解出結果為如表1～3所示。

即為問題一項目中的任務定價規律。

根據函數（6）可得：任務完成情況與定價的相關性最強。因此推測出定價的不合理對任務未完成有較大影響。

2 問題二的模型建立與求解

由問題一得出任務定價與GPS 緯度，經度，任務完成情況具有相關性，利用插值與擬合模型將原方案進行優化，建立新的任務定價方案。假設四者間的關系式為：y=a0+a1x1+a2x2+a3x3，利用MATLAB中y=polyval（d，x）進行求解，得出擬合結果為：

a0=16.873，a1=1.656，a2=0.115，a3=1.735（7）

關系式為：

y=16.873+1.656x1+0.115x2+1.735x3（8）

比較新舊方案，建立層次分析模型，計算任務經度，緯度，規定時間，會員位置，會員能力，會員信譽值的權重值。

2.1 評價體系構建

2.2 構建比較矩陣

借助1～9標度法表示所有元素的相對重要性，以其兩兩之比為元素構造比較矩陣：

D=（bij）n×m=b11 b12 … b1nb21 b22 … b2n… … … …bm1 bm2 … bmn（9）

其中bij>0。

2.3 確定權重

運用MATLAB軟件得到比較矩陣D對應的最大特征值γmax的特征向量P，經歸一化后即為同一層次相應因素對于上一層次某因素相對重要性的排序權值。對判斷矩陣的一致性檢驗的步驟如下：

（1）計算矩陣各行各因素的乘積：

ei=Πni=1bij（i=1，2，…，n）（10）

（2）計算n次方根：

Pi=nei（11）

（3）將所得向量P=（P1，P2，…，Pn）T歸一化處理，即為權重向量：

Pi=Pi∑ni=1Pi（i=1，2，…，n）（12）

（4）計算判斷矩陣最大特征值：

γmax=1n∑ni=1（αP）iPi（13）

（5）計算一致性指標CI，并檢驗其一致性：

CI=γmax-nn-1（14）

為計算一致性比例，找出相應的平均隨機一致性指標RI，如表4所示：

當CR≤0.1時，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應對判斷矩陣作適當修正。

設β層包含β1，β2共2個因素，層次總排序權重分別為B1，B2，γ層包含6個因素γ1，γ2，γ3，γ4，γ5，γ6，層次單排序權重分別為Y1，Y2，Y3，Y4，Y5，Y6（當Yi與無Bj關聯時，βij=0），令bi=∑nj=1γijβj，i=1，…，n。

設γ層中與βj相關的因素的判斷矩陣在單排序中經歸一化檢驗，求得單排序歸一化指標為CIj，（j=1，…，m），相應的平均隨機一致性指標為RIj，則γ層總排序隨機一致性比例為：

CR=∑mj=1CIjbj∑mj=1RIjbj（16）

當CR≤0.1時，認為層次總排序結果具有較滿意的一致性并接受該分析結果。

2.4 分析比較矩陣以及權重

根據新的任務定價方案得出比較矩陣，運用MATLAB軟件進行矩陣運算，獲得各個指標權重并進行檢驗，如表5所示。

由表6可以看出，總排序的CR<0.1，認為判斷矩陣的整體一致性是可以接受的。

比較新舊兩個方案同一層次因子的權重值，新方案的權重值普遍高于舊方案，得出新方案優于舊方案。

3 結語

本文中采取的一些方法如AHP對處理部分優化問題有借鑒意義，適用于受多因素控制并具有一定變化規律的變量，可推廣到同類問題的研究。另外要注意到，模型仍有不足之處，比如層次分析法具有一定的主觀性，采用綜合評價，建立模糊評價體系解決此題更具有說服力。因此，我們還需總結經驗、克服不足，將研究引向深入。

參考文獻

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