論“小題大做”
——基于數學抽象能力培養的例題設計與教學

數學抽象包含數學概念、命題、方法和體系的抽象，是重要的數學核心素養，在數學課堂例題教學中合理地設計數學抽象活動，積累數學抽象活動經驗，這是基于數學核心素養的教學設計的必然要求，也是追求數學育人的必然要求.但是目前課堂教學“三多三少：學生做得多，思考得少；現成資料多，自主設計少；教師講得多，提煉得少”的現象較為普遍.一些公開課上培養核心素養的環節被認為是不可復制的.這樣的矛盾如何破解？我們不妨“小題大做”，即從課堂例題教學設計的小處入手，在培養核心素養的大處立意.

一、概念性例題“小題大做”，用充分的數學過程完成概念的抽象

“學生做得多，思考得少”在概念教學中尤為突出，概念的形成和同化不是一兩句話的問題，更不能用做題來替代，只有在充分的數學經歷之后的數學抽象才是有價值的、高質量的概念抽象.在概念教學中，應精心設計例題，帶領學生從具體問題出發，抽象出一類數學現象的共同屬性或本質屬性，從而形成數學概念，并通過表達、判斷、應用等多種途徑，完成知識遷移、誤區矯正，使最關鍵的“數學抽象”找到強有力的過程支撐，讓學生的數學抽象能力在遞進問題的探索中得到發展，思維在逐層探究中得以豐富.

案例1：在浙教版七上“3.1平方根”這節課中，在給出已知正方形邊長求面積、已知正方形面積求邊長的一些實例的基礎上，與學生共同概括出平方根定義以后，教師給出：

生1：我認為49的平方根是±7.

師：用規范的格式來敘述.

生1：因為±7的平方等于49，所以49的平方根是±7.

師：0的平方根呢？

生2：0乘以任何數都得0，0乘以0也得0.

師：這個答案不怎么行.

生3：因為±0的平方等于0，所以0的平方根是0.

生4：不對，0既不是正數也不是負數.

師：0的前面不加性質符號.

師：剛才我們從互逆運算的角度，先進行平方運算，再逆過來進行開平方運算.這里我有幾個問題：（1）一個正數有幾個平方根？它們有怎樣的數量關系？（2）0的平方根是什么？（3）負數有幾個平方根？

生5：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.

生6：我不同意，正數并不一定有平方根，如10，沒有一個數的平方是10.

師：如果正方形的面積為10，那么它的邊長是多少？這樣的邊長一定存在啊.

師：你已經預習過課本了，我們今天就來學習這個符號.

師：那么負數呢？請說說你的理由.

生8：x2=a中，如果x是正數，兩個正數相乘得正數a；如果x是負數，兩個負數相乘也得正數a，所以負數沒有平方根.

生9：一個數的偶次冪均為非負數，舉個例子：（±4）2=16，一個數的偶次冪不可能是負數，所以負數沒有平方根.

師生共同總結：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.

師：剛才生6的問題非常好，我們熟悉的乘法表中沒有這樣的公式：幾幾得10，所以必須有個新的符號，首先讓我們來了解“”產生、演變的歷史……

例1很短小，但是整個例題教學過程很細致.學生表達不規范時，教師耐心包容地解釋；不同學生有不同的觀點時，教師從不同的層次進行解釋；學生有思維漏洞時，教師及時從不同的維度打補丁，并且反復強調“平方—開方”是互逆運算，強化新概念的邏輯起點和邏輯順序，讓學生感受學習平方根的必要性和思考的合理性.數學課堂教學應該是以這種“邏輯推理”的姿態影響著學生，讓學生一次次糾正自己的漏洞，在行動和思考中變得周全，學生就是這樣成長變化的.這些問題看起來很瑣碎，但是，教學的目的就是教會學生思考，學會學習.

概念課的例題設計和教學應該揭示概念生成的生活背景，了解概念產生的必要性與合理性，讓學生經歷對概念由感性到理性的認識過程，通過典型的實例引導學生對概念的屬性進行分析、比較，充分討論、理解后歸納出共同屬性.一定要讓學生有充分的過程性體驗，讓學生以“發現者”角色經歷概念的發現過程，輔助學生對知識進行同化與順化，促進學生認知水平、抽象能力的發展.

二、相關性例題“小題大做”，用雙向聚斂思維完成命題、方法的抽象

“現成資料多，自主設計少”，顯然數學命題、模型要比數學題目少，數學思想方法比數學命題、題型要少.課堂中應經常將眾多相關、相似的題目，從縱向、橫向兩個思維方向進行組織，運用聚斂思維直達本質，尋找出一類問題最好的解決方法，不斷反思和總結，積累抽象活動經驗，使學生學會學習，從而大幅度減少“刷題”的數量.

案例2：人教版八上數學P17第9題：如圖1，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，求x的值.

圖1

在“三角形角平分線的專題復習”這節課中，教師針對此題進行了基于縱、橫兩個思維方向，指向抽象水平三個層次的設計.

環節1：基于橫向思維設計，指向抽象水平一.

課堂上師生充分交流了各種解題方法.學生的解法主要有三種，方法1是將∠ABC+∠ACB看成整體，分步計算.方法2是分別由△ABC、△GBC的內角和列方程組，消元求解.方法3是利用基本圖形結論.師生小結后，教師拋出了3個變式.

變式1：如圖2，BG平分∠ABC，CG平分∠ACB，探究∠BGC與∠A的數量關系.

變式2：如圖3，BO平分∠DBC，CO平分∠BCE，探究∠A與∠O的數量關系.

變式3：如圖4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACD，探究∠A與∠H的數量關系.

圖2

圖3

從原題到變式1，從特殊到一般，學生唾手可得.對于變式2、3，三種方法均能遷移.學生用的最多的是方法1，但是漸顯頹勢，部分學生表達不規范、思路不清晰.而方法3，基本圖形只有在長期訓練下才能在較短的時間內被發現.幾何問題代數化在幾何中探究數量關系時是通法，用方法2始終清晰明了，教師重點引導，優選方法，歸納結論.

這樣的設計讓學生在具體的數學情境中，通過從特殊到一般，歸納并形成簡單的數學命題，用規范的數學語言表達推理和論證，能夠在相似、相關的問題中感悟問題的通性和通法.

環節2：基于縱向思維設計，指向抽象水平二.

教師引導學生觀察變式1、2、3的共同點，啟發學生運用化歸思想，尋找新的解題方法.如在變式3中，學生作∠ACB的平分線交HB于點G，這時便將問題化歸為變，更快、更簡潔地得出結論，變式2亦是如此.為什么利用化歸思想能夠如此快捷呢？說明彼此之間必然存在內在聯系.因此師生把重點放在探尋三者之間的內在聯系上.學生大膽猜測，而后疊合圖形（如圖5），找出問題的本源是三個變式都是圖5的一個部分.師生共同提煉模型并總結：相似的問題、相關的問題可以運用類比、化歸思想，并善于用聯系的眼光、整體的方法去反思解題.

圖5

在此基礎上，教師從縱向設問，從角平分線變化到角的n等分線時，結論是否發生改變？學生沿用剛才的方法得出結論.

這樣的設計讓學生能夠理解和構建相關問題之間的聯系，抽象數學模型，提煉出解決一類問題的數學方法，理解其中的數學思想，將已知數學命題推廣到更加一般的情形.

環節3：基于橫向思維設計，指向抽象水平三.

教師進一步問學生：你想進一步探究相關的哪些問題？學生們紛紛提出四邊形、六邊形甚至n邊形，并一起合作，模仿環節1、2進行進一步的研究，驗證環節2中發現的結論和方法在四邊形中是否成立，并根據這些結論和方法快捷地解決一些復雜的問題.

例2 如圖6，四邊形ABCD的內角∠ABC、∠BCD的角平分線交于點N，探索∠A、∠D與∠N之間的數量關系.

變式1：如圖7，四邊形ABCD的內角∠ABC、∠ADC的角平分線交于點N，探索∠N與∠A、∠C之間的數量關系.

變式2：如圖8，凹四邊形ABCD的內角∠ABC、∠ADC的角平分線交于點N，求∠N與∠A、∠C之間的數量關系.

變式3：如圖9，在六邊形ABCDEF中，∠FAB、∠ABC的角平分線交于點N，求∠N與∠C、∠D、∠E、∠F之間的數量關系.

環節3讓學生能夠在有序多級的情境中抽象出數學模型，使之更具普適性，針對具體問題運用或創造數學方法解決問題，并進行高度概括.

這節課以一個課本題為載體，將問題從橫、縱兩方面加以探究，通過問題間的相關性、相似性，循序漸進將問題遷移，學生從特殊到一般，進行合情猜想、類比、化歸，層層遞進，通過“小題大做”，系統有序地設計抽象過程的不同階段的活動，讓學生充分有序地經歷數學抽象過程，通過及時反思和遷移，積累了數學抽象活動經驗.

三、領域性例題“小題大做”，借整體性設計完成系統的抽象

“教師講得多，提煉得少”，教師往往就題講題，但數學知識系統之間往往是有關聯的，對于例題設計和教學，考慮不同的局部知識系統之間的關聯，應把已經建立的知識系統及其學習經驗應用于新的內容的學習.

案例3：在函數學習中，我們從一次函數、反比例函數，到二次函數，應研究研究函數過程的共性，發現研究函數性質的共性，抽象研究函數的思路和方法，類比研究函數的思路和方法，確定函數領域的共同邏輯基礎，從系統性的角度抽象學習的過程，并程序化（如圖10），為后續的函數學習打下堅實的基礎.如例3，中考數學經常考新定義型函數問題：

圖10

（1）若矩形的兩邊長分別是2和3，當這兩邊長分別增加x和y后，得到的新矩形的面積為8，求y與x之間的函數關系式，并判斷這個函數是否為“奇特函數”.

（2）如圖11，在平面直角坐標系中，點O為原點，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（9，0）、（0，3）.點D是OA的中點，連接OB、CD交于點E，“奇特函數”y=的圖像經過B、E兩點.

圖11

向上平移_______個單位就可得到①中所得“奇特函數”的圖像.過線段BE的中點M的一條直線l與這個“奇特函數”的圖像交于P、Q兩點，若以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形的面積為，請直接寫出點P的坐標.

學生如果通過與研究函數的思想方法類比，從整體到部分、從粗略到精細、從定性到定量，運用函數問題研究的常用策略：（1）研究函數按圖像-性質-應用的途徑；（2）先運用特例研究，再歸納一般；（3）畫圖，歸納對稱性、最值、特殊點、增減性等性質，必定可提升宏觀的數學視野，不會再對此類問題心存恐懼.

因此，凡是能提升學生學習效率，提升學習和研究數學的水平，提升數學思維能力，發展核心素養的例題，就有必要“小題大做”.反之，應盡量避免.

在浙教版八上“5.1常量和變量”這節課中，有這樣一道習題：

圓周長C與圓的半徑r之間的關系式是C=2πr，其中常量是_____，變量是_____.

這里的常量是2π還是2、π呢？要不要在課堂上談論呢？概念是思維的基本單位，為什么要學常量和變量？“5.1常量和變量”為什么是函數的起始課？課標是這樣敘述的：“探索簡單實例中的數量關系和變化規律，了解常量和變量的意義.”常量和變量是為函數學習所準備的概念，它服務于函數，離開具體函數談常量和變量是毫無意義的.因此結合大量的生活中的、數學中的問題，讓學生站在函數視角研究常量、變量，即在充分體驗現實生活、數學問題、其他學科中各種量與量之間的變化規律和數量關系中，引導學生抽象出變量和常量的概念，才是本節課的重中之重.不能拋開核心素養的培養，糾結于這些細碎的有爭議的問題，那真的是小題大做了.

1.吳增生.數學抽象的認知機制及其教學策略［J］.中國數學教育，2017（4）.