基于“課標(biāo)要求”的“用字母表示數(shù)”課例及分析

☉浙江寧波市寧波大學(xué)附屬學(xué)校 葉元劍

一、背景介紹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中課程內(nèi)容的教學(xué)要求（以下簡稱“課標(biāo)要求”）是課堂教學(xué)活動的指南，也是教學(xué)評價的尺度和標(biāo)準(zhǔn).但在以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級上冊第四章第1節(jié)“用字母表示數(shù)”為載體的“多人同課異構(gòu)”式的研修活動中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍與“課標(biāo)要求”存在較大偏差.網(wǎng)上查閱同類課例發(fā)現(xiàn)也有類似的現(xiàn)象.鑒于此，筆者在重復(fù)式觀課與反思基礎(chǔ)上，對該課的教學(xué)進行重建，改進后的教學(xué)過程與效果得到了同仁的認可.現(xiàn)將其整理出來，以饗讀者.

二、教學(xué)實錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷回顧并提出問題的過程——明確研究問題.

師：在小學(xué)，我們學(xué)過用數(shù)表示具體的量，知道數(shù)能簡明地表示不同意義的量和數(shù)量關(guān)系，并且數(shù)可以參與運算，能給研究數(shù)學(xué)和解決問題帶來方便.在小學(xué)，我們也學(xué)過用字母表示數(shù).例如，用字母表示未知量，用字母表示圓的面積公式：S=πr2，用字母表示路程、時間、速度的關(guān)系：S=vt，用字母表示加法交換律：a+b=b+a……用字母表示數(shù)有何意義？本節(jié)課就來研究這個問題.（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：經(jīng)歷產(chǎn)生含有字母的式子的過程——滲透用字母表示數(shù)的意義.

師：中國工程院院士袁隆平研究的超級雜交水稻，以單季畝產(chǎn)1138kg創(chuàng)世界紀(jì)錄.問：

（1）若某人種3畝這樣的水稻，總產(chǎn)量是多少？你是怎樣計算的？

（2）若某人種10畝這樣的水稻，總產(chǎn)量是多少？你是怎樣計算的？

（3）一般地，可以提出怎樣的問題？

師（稍停頓后）：誰來解答（1）？

生1：因為總產(chǎn)量＝畝產(chǎn)×種植畝數(shù)，所以種3畝這樣水稻的總產(chǎn)量=1138×3=3414（kg）.

師：好的.你用的是從一般到特殊的思想.誰來解答（2）？

生2：因為總產(chǎn)量＝畝產(chǎn)×種植畝數(shù)，所以種10畝這樣水稻的總產(chǎn)量=1138×10=11380（kg）.

師：好的.誰來解答（3）？

生3：若某人種n畝這樣的水稻，總產(chǎn)量是多少？

師：不錯.類似地，能計算種n畝這樣水稻的總產(chǎn)量嗎？

生3：因為總產(chǎn)量＝畝產(chǎn)×種植畝數(shù)，所以種n畝這樣水稻的總產(chǎn)量=1138×n（kg）.

師：這里“1138×n”表示什么？

生3：它表示種n畝這樣水稻的總產(chǎn)量.

生4：它表示計算種這樣水稻的總產(chǎn)量的式子.

生5：當(dāng)n取不同數(shù)時，它表示一個會變化的數(shù)值.

師：了不起！能給“1138×n”作出多種解釋.它是算式“1138×3，1138×10……”的抽象概括，一般化地、簡明地表達了種這樣水稻的總產(chǎn)量與畝產(chǎn)及種植畝數(shù)的關(guān)系，其數(shù)學(xué)意義是1138與n的乘法運算，其實際意義是種n畝這樣水稻的總產(chǎn)量.

師：為何1138與表示種植畝數(shù)的n可以一起參與運算？

生6：因為數(shù)可以參與運算，而n表示數(shù)，所以1138與表示數(shù)的n可以一起參與運算.

師：有道理.字母和數(shù)一樣可以參與運算.但數(shù)和表示數(shù)的字母相乘，或字母和字母相乘時，乘號可以省略不寫，或用“·”來代替.數(shù)和字母相乘，在省略乘號時，要把數(shù)寫在字母的前面.例如，1138×n可以寫成1138n或1138·n，但不能寫成n1138.

師：奶粉每罐200元，橘子每千克6元.問：

（1）若買2罐奶粉和3千克橘子，則共需多少元？

（2）若買3罐奶粉和5千克橘子，則共需多少元？

（3）一般地，可以提出怎樣的問題？

師（稍停頓后）：誰來解答（1）？

生7：因為購買物品的應(yīng)付款＝物品的價格×購買物品的數(shù)量，所以買2罐奶粉和3千克橘子的應(yīng)付款=200×2+6×3=400+18=418（元）.

師：好的.你用的是從一般到特殊的思想.誰來解答（2）？

生8：買3罐奶粉和5千克橘子的應(yīng)付款＝200×3+6×5=600+30=630（元）.

師：不錯.誰來解答（3）？

生9：若買a罐奶粉和b千克橘子，則共需多少元？

師：不錯.類似地，能計算買a罐奶粉和b千克橘子共需多少元嗎？

生9：買a罐奶粉和b千克橘子共需（200a+6b）元.

師：你不但計算正確，而且書寫規(guī)范.用字母表示數(shù)的結(jié)果是加減運算時，如有單位，要將式子用括號括起來.

師：這里“200a+6b”表示什么？

生10：它表示買a罐奶粉和b千克橘子所需要的錢數(shù)，也表示200×a+6×b.

生11：當(dāng)a、b取不同數(shù)時，它表示一個會變化的數(shù)值.

師：不錯.它是算式“200×2+6×3，200×3+6×5……”的抽象概括，一般化地、簡明地表達了應(yīng)付款與奶粉的價格、購買量及橘子的價格、購買量的關(guān)系，其數(shù)學(xué)意義是200×a+6×b，其實際意義是買a罐奶粉和b千克橘子所需要的錢數(shù).

師：長方體的體積=長方體的長×長方體的寬×長方體的高.問：

（1）若一個長方體包裝盒的長是70cm，寬是50cm，高是30cm，則它的體積是多少？

（2）若一個長方體包裝盒的長是90cm，寬是60cm，高是20cm，則它的體積是多少？

（3）一般地，可以提出怎樣的問題？

師（稍停頓后）：誰來解答（1）？

生12：因為長方體的體積＝長×寬×高，所以它的體積=70×50×30=105000（cm3）.

師：你運用了從一般到特殊的思想.誰來解答（2）？

生13：因為長方體的體積＝長×寬×高，所以它的體積=90×60×20=108000（cm3）.

師：好的.誰來解答（3）？

生14：若一個長方體的長是acm，寬是bcm，高是ccm，則它的體積是多少？

師：它的體積是多少？

生14：它的體積是abccm3.

師：這里“abc”表示什么？

生15：它表示長方體的體積，也表示a×b×c.

生16：當(dāng)a、b、c取不同數(shù)時，它表示一個會變化的數(shù)值.

師：好的.它是算式“70×50×30，90×60×20……”的抽象概括，一般化地、簡明地表達了長方體的體積與其長、寬、高的關(guān)系，其數(shù)學(xué)意義是a×b×c，其幾何意義是長為acm、寬為bcm、高為ccm的長方體的體積.

環(huán)節(jié)3：參與用字母表示數(shù)的活動——體驗用字母表示數(shù)的意義.

師：下面請大家依次回答下列問題.

問題1：下列表述中，字母表示什么？

（1）正方形的面積為a2.

（2）七年級（1）班有男生20人，全班共有（20+a）名同學(xué).

（3）買20千克西瓜需20s元.

（4）底面積為50cm2的長方體的體積為100hcm3.

師（稍停頓后）：誰來回答這個問題？

生17：（1）中的a表示正方形的邊長；（2）中的a表示七年級（1）班的女生人數(shù)；（3）中的s表示西瓜的價格；（4）中的h表示長方體的高.

師：恭喜你，全對！一般地，表示數(shù)的字母可以表示什么？

生17：表示數(shù)的字母可以表示不同意義的量.

師：不錯.你運用了歸納思想.字母可以表示不同意義的量，還可以一般化地表示數(shù).

問題2：（1）若長方形的長是a米，寬是3米，則它的面積是多少？周長是多少？

（2）若小明每小時走v千米，則1.5v表示什么？tv表示什么？

（3）若練習(xí)簿的單價為a元，則100本練習(xí)簿的總價是多少？

（4）某產(chǎn)品前年產(chǎn)量是n件，去年產(chǎn)量是前年產(chǎn)量的m倍，則去年產(chǎn)量是多少？

師（稍停頓后）：誰來回答？

生18：（1）它的面積是3a平方米，它的周長是2（a+3）米；（2）1.5v表示小明走1.5小時的路程，tv表示小明走t小時的路程；（3）100本練習(xí)簿的總價是100a元；（4）去年產(chǎn)量是nm件.

師：太好了，能脫口而出.一般地，含有字母的式子能表示什么？

生18：含有字母的式子能一般化地、簡明地表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系.

師：好的.含有字母的式子還表示某些運算.

問題3：字母還可以表示數(shù)學(xué)規(guī)律.例如，加法交換律：a+b=b+a；乘法結(jié)合律：（ab）c=a（bc）；等.能再舉幾個用字母表示數(shù)學(xué)規(guī)律的例子嗎？

生19：數(shù)a的相反數(shù)可用-a表示，數(shù)a（a≠0）的倒數(shù)可用表示.

生20：分配律可用a（b+c）=ab+ac表示，數(shù)a的立方根可用表示.

……

師：這說明含有字母的式子還能一般化地、簡明地表示數(shù)學(xué)規(guī)律.

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動——內(nèi)化用字母表示數(shù)的意義.

師：由于字母可以表示不同意義的量，所以含有字母的式子可以有多種解釋.能賦予“3a”不同的意義嗎？請大家給出盡可能多的解釋.

生21：3a表示3×a，當(dāng)a取不同數(shù)時，3a是一個會變化的數(shù)值.

生22：a可以表示數(shù)量，如葡萄的價格是3元/千克，則3a表示買a千克葡萄的金額.

生23：a可以表示長度，如一個正三角形的邊長為a千米/時，3a表示這個正三角形的周長.

生24：a可以表示速度，如一個人行走的速度為a，3a表示這個人走3小時的路程.

……

師：了不起！能從數(shù)學(xué)意義、實際意義、幾何意義、物理意義等角度，賦予“3a”不同的意義.這進一步說明表示數(shù)的字母可以表示不同意義的量，表示數(shù)的字母可以與數(shù)一起參與運算，含有字母的式子能一般化地、簡明地表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)規(guī)律，并且同一個含有字母的式子具有不同的意義，即一個含有字母的式子可以看成許多實際問題的數(shù)學(xué)抽象.課后請大家繼續(xù)賦予“”

不同的意義.評價標(biāo)準(zhǔn)：給出2種解釋為合格，給出4種解釋為良好，能至少給出5種解釋為優(yōu)秀.

三、教學(xué)分析

從具體的量過渡到抽象的數(shù)，這是數(shù)學(xué)發(fā)展史中的第一次飛躍；從具體的數(shù)過渡到用字母表示數(shù)，并與數(shù)一起參與運算，這是數(shù)學(xué)發(fā)展史中的又一次飛躍.盡管學(xué)生在小學(xué)階段接觸過用字母表示數(shù)，但學(xué)生在小學(xué)階段對用字母表示數(shù)的意義的認識是非常膚淺的.“用字母表示數(shù)”的“課標(biāo)要求”是“理解用字母表示數(shù)的意義”.這條課程目標(biāo)可以分解為：能知道表示數(shù)的字母和數(shù)一樣可以表示不同意義的量，表示數(shù)的字母可以與數(shù)一起參與運算；能知道含有字母的式子與相應(yīng)算式的關(guān)系，表示數(shù)的字母可以取不同的數(shù)，當(dāng)字母取不同的數(shù)時，其相應(yīng)的含有字母的式子表示一個會變化的數(shù)值；能知道含有字母的式子能一般化地、簡明地表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)規(guī)律；能體驗含有字母的式子可以從數(shù)學(xué)意義和實際意義的角度作出多種解釋；能體驗用字母表示數(shù)能給研究數(shù)學(xué)和解決問題帶來方便.但目前許多教師對“理解用字母表示數(shù)的意義”的理解沒有達到一定的“深度”，導(dǎo)致該課的實踐方式達不到“理解用字母表示數(shù)的意義”的要求.例如，在“產(chǎn)生含有字母的式子”的教學(xué)中，有些教師只用單一的情景直接列出含有字母的式子，并且列出含有字母的式子之后反思過程缺失，導(dǎo)致失去了學(xué)生感悟從特殊到一般思想、數(shù)學(xué)抽象思想、函數(shù)思想等的機會，也沒有滲透用字母表示數(shù)的意義.在“用字母表示數(shù)”的教學(xué)中，大多數(shù)教師只要求學(xué)生回答給定的問題，而沒有回答問題之后的“舉三反一”的抽象概括過程，導(dǎo)致學(xué)生對用字母表示數(shù)的意義的理解沒有達到一定的“深度”.在“回顧與思考”的教學(xué)中，大多數(shù)教師沒有引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“舉一反三”解釋含有字母的式子的過程，導(dǎo)致失去了發(fā)展學(xué)生發(fā)散性思維能力的機會，也不能滿足學(xué)生體驗含有字母的式子的意義的需要.

本課例在“精致化”分析基礎(chǔ)上，將其教學(xué)立意定位于“體驗意義、感悟思想、積累經(jīng)驗”，并以有價值的題材為載體，從學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗出發(fā)，運用從特殊到一般、從具體到抽象的思維策略和教師價值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了完整的認知過程.在“回顧并提出問題”的教學(xué)中，既有回顧用數(shù)表示量的意義和列舉小學(xué)用字母表示數(shù)的例子，以激活新知識的“生長點”，又有提出問題的過程，以建立新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在“產(chǎn)生含有字母的式子”的教學(xué)中，既有從列算式到列含有字母的式子的過程，以產(chǎn)生含有字母的式子，又有產(chǎn)生含有字母的式子之后的反思，以獲得用字母表示數(shù)的一些事實.在“用字母表示數(shù)”的教學(xué)中，既有學(xué)生自主思考基礎(chǔ)上的交流，以明確給定問題的答案，又有解答問題之后的“舉三反一”的抽象概括，以進一步明確表示數(shù)的字母可以表示不同意義的量，含有字母的式子能一般地、簡明地表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)規(guī)律.在“回顧與思考”的教學(xué)中，既有引導(dǎo)學(xué)生“舉一反三”解釋含有字母的式子的意義的過程，以明確一個含有字母的式子具有數(shù)學(xué)意義、實際意義、物理意義、幾何意義等，又有教師總結(jié)性講解，以進一步顯化用字母表示數(shù)的意義和感悟其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想.

參與研修的教師普遍認為，本節(jié)課遵循了體驗學(xué)習(xí)的基本規(guī)范，體現(xiàn)了過程教育和以學(xué)為中心的思想，能實現(xiàn)“理解用字母表示數(shù)的意義”的課程目標(biāo).因此，一般地，實現(xiàn)過程性目標(biāo)要經(jīng)歷“滲透、顯化、強化、內(nèi)化”的過程，并要把教學(xué)的側(cè)重點放在“產(chǎn)生對象”和“解決問題”之后的反思上，以幫助學(xué)生體驗對象的意義、感悟所蘊含的數(shù)學(xué)思想、體會對象從哪里來和往何處去等.

1.中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.范良火.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（七年級上冊）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.