初中生數學推理能力的調查研究*

☉甘肅省酒泉第四中學 徐玉慶

一、問題提出

推理是數學的基本思維方式，也是人們在學習和生活中經常使用的思維方式，2001年全日制義務教育《數學課程標準（實驗稿）》中明確提出，初中生在學習的過程中，發展學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念、應用意識、推理能力六大能力.［1］歷經十年，2011年義務教育《數學課程標準》中對這六大能力進行了全新的闡釋和補充，在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數學分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創新意識十大能力，其中對推理能力也提出了更加明確的要求.推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推理某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算.［2］那么初中的推理能力的現狀如何？是否達到新課程標準的要求？不同水平學校的學生在推理能力方面是否存在差異？學生的推理能力與數學成績之間是否存在相關性等問題的研究就十分必要.

二、文獻述評

英國心理學家瑞文設計了一種非文字測驗，稱為瑞文標準推理測驗，簡稱SPM，適用于5、6歲到75歲的人群.在SPM的基礎上，又編制了兩種推理測驗，分別簡稱為CPM和APM.CPM是適用于兒童的彩色推理測驗，APM是適用于高智力水平的高級推理測驗.這三種測驗中最常見的是SPM.SPM由60個題目構成，分為五部分：圖形辨別、圖形類比、圖形組合、圖形套合和圖形位置關系、圖形變換.前蘇聯的教育心理學家克魯捷克茨基將“連續而有節奏的邏輯推理能力”、“從正向思維序列轉向逆向思維序列”、“對典型推理模式的概括和記憶能力”歸為中小學數學能力的一部分.國內20世紀80年代，鄭和均、陳聘美、鄧京華選用全國青少年思維研究組編制的推理測驗材料滿分為50分，對分別來自不同學校的初一、初三、高二的中學生進行測試，2011年沈陽師范大學周靜在總結已有研究的基礎上將推理能力歸納為三個方面：猜想數學事實—合情推理；證明數學命題—演繹推理；交流推理過程—內語外化.［3］以上研究主要是對推理能力從理論分析層面進行，為了對初中生推理能力的現狀及其特點進行深入研究，本研究通過自編測試卷對初中生的推理能力進行定量與定性的分析，為初中生推理能力的培養提供一定的參考.

三、研究設計和過程

1.研究對象及工具

本研究選取酒泉市H和L兩所初中進行問卷測試.H校選取初二、初三年級各一個班，共108人，學校整體發展水平較高，文中稱水平較高學校；L校也選取初二、初三各一個班，共120人，學校整體發展水平處于同類學校中間，文中稱水平一般學校.共計發放測試卷228份，全部收回.樣本中男生102人，女生126人；初二118人，初三110人.

結合文獻與沈陽師范大學周靜編的試題，自編了測試卷，測試卷由10道題組成，其中前4道題目是合情推理，第5道題目是演繹推理，第6、7、8道題目是內語外化，第9道題目是演繹推理和內語外化的綜合題，包含兩道小題.

2.研究方法及程序

本研究主要采用了質性與量化的研究方法.質性的研究方法是結合文獻及初中生數學推理能力形成的重要性進行理性分析；量化的研究方法是在質性分析的基礎上自編測試卷探尋高中生推理能力現狀的差異性與關聯性.核心是編制測試題，難點是測試成績的確定.

本研究的程序包括三步，第一步是測試卷的編制、修訂、試測、完善等過程.依據表1編制試測題，隨機選取一個班級進行試測，根據試測的結果對試卷進行修訂、完善.第二步是實施測試、打分，對所選擇的樣本進行測試、評分.第三步是數據統計分析.為了方便定量分析，對測試卷進行編碼，H校共抽取108人，依測試卷按S01，S02，S03，…，S108進行編號（字母H代表學校，數字表示序號），L校也依此處理.將其測試的成績數據按不同變量輸入SPSS17.0漢化版中，采用描述統計對樣本總體進行統計分析，采用獨立樣本T檢驗對各變量與高中生推理能力之間的差異性進行分析.［4］～［7］

四、調查結果與討論

通過對所選研究對象的測試，經中學高級教師、研究者分別閱卷，兩者成績相同者即為確定分，不同者，經協商、研究確定分，根據得分情況，發現了如下結果.

1.初中生推理能力的總體狀況

首先，研究228個樣本同學測試成績的總體情況，得到表1所示的結果.

表1 樣本總體的數據統計表

由表1可知樣本的標準差為13.086，說明樣本總體測試成績比較穩定，平均成績為70.33，極差為60分.若按60%及格率計算，及格人數為195人，為總人數的85%.所選取的兩所學校都屬于城區學校，說明近80%的初中生推理能力已經達到了新課標的要求，相對于其他學者在2010年至2012年在部分地方測試的成績偏高，說明在新的課程標準實施期間，各個地方更加重視學生的核心素養的培養，重視學生能力的提升，取得了一定的效果.

其次，分不同類型學校研究初中生的推理能力現狀，得到表2所示的結果.

表2 水平較高中學與水平一般中學的數據統計表

由表2可知，水平較高中學學生的平均成績比水平一般中學高9.05分，說明兩類學校之間初中生的推理能力相差較大.水平一般中學的標準差比水平較高中學較小，說明水平較低中學的學生比水平較高中學的學生推理能力測試成績較穩定.

再次，對兩類學校學生的推理能力是否存在顯著性差異進行了獨立樣本T檢驗.見表3.

表3 水平較高中學與水平一般中學獨立樣本T檢驗

由表3可知，通過方差齊性檢驗，發現p=0.18＞0.05，說明兩組樣本方差差異不顯著，采用第一行數據分析，t=5.546，p=0.000＜0.05，表明水平較高中學與水平一般中學學生的推理能力測試成績存在顯著性差異.反映出同一地區不同水平的學校總體的教學質量存在差別，學生的推理能力有著明顯的不同，水平一般的學校學生的推理能力并沒有得到很好的發展.

2.初中生推理能力與各性別間的相關性狀況

樣本中男女生測試成績平均分、標準差見表4.

表4 樣本全體男女生測試成績平均分、標準差

由表4發現，女生的平均分高于男生1.2分，男生的標準差小于女生的標準差，說明男生總體發揮比較穩定，同時對全體男女生進行了獨立樣本T檢驗，得到表5.

表5 樣本全體男女生獨立樣本T檢驗

通過方差齊性檢驗發現p=0.542＞0.05，采用第一行數據分析，t=0.693，p=0.489＞0.05，數據表明初中生推理能力不存在性別差異.

3.初中生推理能力與年齡之間的相關性情況

表6 兩個年級測試成績平均分、標準差

由表6可知，九年級學生測試的平均分高于八年級，九年級學生測試成績的標準差小于八年級，說明九年級學生測試發揮更加穩定，同樣對樣本全體八年級和九年級學生進行了對立樣本T檢驗，如表7所示.

表7 兩個年級測試成績獨立樣本T檢驗

由表7可知，通過方差齊性檢驗，p=0.361＞0.05，采用第一行數據分析，t=-4.005，p=0.000＜0.05，表明兩個年級的測試成績存在顯著性差異.通過對測試數據的統計分析，得到關于初中生推理能力方面的如下研究結論：一是大部分初中生的推理能力已達到了課標的要求；二是水平較高中學與水平一般中學學生的推理能力存在顯著性差異；三是初中生推理能力不存在性別差異；四是初中生推理能力存在年齡的差異.

五、研究啟示

1.加強對教學水平一般的學校的提升與改造

學生的推理能力也是一種解決問題的態度和價值觀念，是為了得到更好發展的一種潛在價值，現在許多國家都在提核心素養，如何讓中學生在學校獲得相應的數學素養，是一線教師努力的方向，學生的推理能力也是體現數學素養的重要方面.對于教學水平一般的學校，其主要并不是教學設備之間的差距，而是教師的綜合素質的差距，教師的專業能力的差距，教師的教育觀念的差距，教師對于職業認同感的差距，教師對于學生數學素養理解的差距.如何縮小這之間的差距，提升教師隊伍的整體素質，關系到新課程理念的實踐.關系到學生未來適應社會的需要.所以應該對教學一般學校的教師給予更多的培訓和自我發展的機會，改變他們的教育價值觀念，提升他們的職業幸福感，讓他們能夠真正在教學一線上發揮他們的作用.

2.培養學生推理能力，是一個改變的過程

隨著社會的不斷發展，社會對于人才的需求也在不斷地發生改變，現在社會更加需要具備綜合能力的創新型人才，需要在復雜環境中具備良好心理素質的人才，需要在競爭激烈的國際環境中敢于挑戰的人才，需要能夠在各種環境中解決問題的人才.于是學校課程也發生了很大的變化，課程理念也提出了對中學生的要求，希望通過這樣的課程實施，能夠讓大部分學生在學校的教學過程中達到一定的價值觀念、品質、知識、技能、理解、態度，能夠讓他們適應更為復雜的社會環境.許多學校并沒有理解新課程的真實意圖，表面上在進行課程改革，而實質上還是像歐洲大工業時代學校的教育特征，以班級為單位進行理論的課程知識傳授，學生并沒有以一種創新的思維去思考所學的知識和所處的環境，學校和社會更是一種割裂的狀態.學生的能力更是在一種實踐的環境中逐漸培養的，并不是靠某種類似于運動的形式而培養的，而是一種在理念和環境的共同作用下培養而成的，是一種成長性經驗，是一種主動獲得的經驗，這種經驗將伴隨學生終身.

1.汪鳳炎，燕良軾.教育心理學新編［M］.廣州：暨南大學出版社，2006.

2.（美）波利亞（Polya）.數學與猜想［M］.北京：科學出版社，2003.

3.周靜.初中生數學推理能力的調查研究［D］.沈陽師范大學，2011（5）.

4.張定強，蔣會兵，王旭陽.高中生推理能力現狀調查及教學啟示［J］.數學教育學報，2016（2）.

5.韓富萬，李善明.合情推理的地位與功能［J］.北京教育學院學報，2000（02）.

6.武錫環，李祥兆.中學生數學歸納推理的發展研究［J］.數學教育學報，2004（03）.

7.徐成華.初中數學教育中的合情推理能力培養初探［D］.華中師范大學，2006.H