基于“數學核心素養”的課時創新解讀與整體設計*
——以蘇科版八上“6.2一次函數之正比例函數”為例

☉江蘇省無錫市新吳區教師發展中心 浦敘德

一、提出問題

前段時間擔任某區骨干教師招聘的評委時，要求一位擔任多年初三教學的數學骨干教師談談對“用一元一次方程解決問題（1）”這一課時的教材認識，本以為該教師會談到“一元一次方程是初中方程知識體系的起始章，它為后面學習的系列方程不僅提供了知識基礎，更提供了重要的數學思想和學習方法；而用一元一次方程解決問題是建立方程模型運用方程知識解決實際問題的奠基工程.”然而該教師的回答是：“因為用一元一次方程解決問題在初三中考中幾乎不考，所以覺得這一課時也沒有特別重要的作用”.顯然這樣的認識等同于初三中等學生的水平，令人非常的震驚.聯想到部分初三學生在新課學習時往往成績比較優秀，而從第一輪中考復習開始，成績明顯退步的現象，不得不思考這樣的問題：究竟是什么原因讓教學這么多年的老師對數學的認識只停留在知識的顯性與局部層面，而沒有形成數學思想方法的隱性與整體性認識呢？如果對數學的認識只停留在知識的顯性與局部層面，那么，作為學生終身發展必須的思維品質和關鍵能力等具有整體性的數學學科核心素養將成為空中樓閣.

二、原因分析

現行的蘇科版初中數學教材按照“代數、幾何、統計、概率”數學知識的發展體系從簡單到復雜、螺旋上升進行編排，四個板塊按先后順序交叉呈現；代數板塊按照“數、式、方程、不等式、函數”依次呈現，相互關聯、逐級提升；每一課時按照這一課時所要學的顯性知識為基本邏輯框架呈現.這樣編排把微觀（點）、中觀（線）、宏觀（面）進行了有機結合.我們還知道，數學知識是相互聯系形成結構，雖然每一章、每一課時是局部呈現，縱橫交錯，但局部之間有章可循，整體聯系.就像初中代數中的方程體系，按照“一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程、一元二次方程”體現關聯和結構；再拿一元一次方程來看，按照“一元一次方程的定義、解法，用一元一次方程解決問題”的邏輯順序體現關聯和結構.可以說，這樣圍繞數學知識內部邏輯結構的“點線面”編寫體系特點，既有利于課時教學的實施，又有利于形成初中數學的整體認識.

現行的課堂教學是按照教材的課時編排來實施，按照點、線、面逐步達成課時目標、單元目標、學段目標、課程目標，這樣的教學符合學生的認知規律.如果僅按照教材中課時顯性知識為核心進行教學，師生認識就會停留在數學中微觀的“點”上.要使師生對數學有中觀宏觀的“線面”形成整體認識，教學必須“以課時內容”為圓心，圍繞此圓心前后左右聯系地教、整體地教，才能有學生聯系地學、整體地學，才能把每一課時學習穿“點”成“線”連成“面”，使學生對整個數學形成整體認識，提高關鍵能力，從而達成數學核心素養的目標.

從以上敘述可以看出，教材編寫的整體性與課時教學的局部性是現實中無法回避的矛盾，它也是師生能否形成對數學整體認識，進而培養學生數學核心素養的關鍵.如果教師能夠形成“在整體框架中全面認識局部，在局部教學中處處關聯整體”的教學意識，相信數學核心素養的養成必定會落到實處.下面以蘇科版“6.2一次函數之正比例函數”為例，基于數學核心素養視角，談談對這一課時的創新解讀.

三、創新解讀

在蘇科版現有教材中要找一課時不僅可以說明“在整體框架中全面認識局部，在局部教學中處處關聯整體”的例子不是很容易.而蘇科版“正比例函數”這個內容，可以作為一個典型的案例.教材中“正比例函數”是作為特殊情形包含在“一次函數”這一課時的，但我們可以把“正比例函數”從“一次函數”這一課時中分離出來，把它作為一個完整的課時來創新解讀，事實上，人教版教材就是把“正比例函數”作為單獨一課時來呈現的，這就說明這樣的認識不僅可行，而且必要.

我們知道，初中函數知識板塊包括一般函數與特殊函數（正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數）兩大塊.在初中函數起始章“第6章一次函數”的“6.1函數”中，分幾課時分別介紹函數的定義、函數的表示方法、函數的圖像及其性質、函數的應用等，這為正比例函數的整體認識打下了基礎.從“一般函數”到“正比例函數、一次函數”是從一般到特殊，而學完了“正比例函數”再利用類比與對比學“一次函數”，又是從特殊到一般，正好完成了“從一般到特殊，又從特殊走向一般”的認知循環.從特殊的正比例函數學到的具體的函數知識、思想、方法可以直接服務于學習相對正比例函數來說是一般的一次函數，同時又為后面的反比例函數、二次函數的對比類比學習奠基.

正比例函數是最簡單、最特殊的函數，在一般函數知識學習的基礎上，把正比例函數這個局部知識利用一課時作為整體來教學完全可行.具體可以從正比例函數的定義抽象研究出發，從數的角度研究自變量的取值范圍、函數值、函數表達式、待定系數法；再從“形”的角度研究函數的圖像；接著利用數形結合獲得其性質；最后利用正比例函數的定義、圖像、性質解決數學問題和實際問題，整體框架性設計如下.

四、整體設計

1.關于定義的設計

問題：（1）已知數b是數a的3倍，如何用數學方式來表達？數a與數b之間成什么關系？

（2）已知汽車以100km/h的速度勻速行駛，汽車行駛的時間為t（h），汽車行駛的路程為y（km），怎樣表示y與t的關系？它們是函數關系嗎？

（3）已知長方形的長為b，寬為a，長是寬的5倍，怎樣表示b與a的關系？它們是函數關系嗎？

（4）上述問題（2）與（3）構成的函數有什么共同特點？請你給這類函數起個名稱.

（5）一般地，符合什么形式的函數叫做“正比例函數”？它的函數表達式怎樣表示？自變量的取值范圍如何？

設計意圖：問題（1）主要是回顧小學里學過的“正比例”關系，“想前”的目的是為問題（4）“正比例函數”的名稱奠基；在6.1函數中已經學習了函數的定義，問題（2）與（3）主要是從“變化”的函數視角看問題，說明兩個變量之間構成函數；問題（4）與（5）主要是歸納與抽象“正比例函數”的定義，函數表達式為y=kx（k≠0），自變量x的取值范圍為一切實數.

2.關于圖像與性質的設計

（2）通過對上述圖像的觀察進行歸納，由此得出正比例函數y=kx有什么性質？

設計意圖：在6.1函數中，已經介紹了函數的圖像，問題（1）主要是通過列表、描點、連線的方法畫圖像，并進一步強調畫函數圖像的步驟，從而得出y=kx是經過原點（0，0）的一條直線，可以通過（0，0），（1，k）來畫最為簡單，通過k＜0與k＞0的分類討論，歸納正比例函數的增減性質及圖像所在象限.

3.關于解析式的設計

問題：（1）在y=3x中，當x=2時，y=？當y=2時，x=？

（2）在正比例函數y=kx中，當x=2時，y=6，求這個正比例函數的表達式.

（3）在正比例函數的圖像上有一點（2，6），求這個正比例函數的表達式.

設計意圖：在6.1函數中已經學習了自變量取值與函數值，問題（1）與（2）是從“數”的角度認識正比例函數、函數值、函數表達式；問題（3）是從“形”的角度利用“待定系數法”求函數表達式.

4.關于解決問題的設計

問題：（1）正方形的周長為L，邊長為x，用函數表達式表示兩個變量之間的關系，并指出構成的是什么函數？

（2）高速列車以300km/h的速度駛離A站，求列車行駛的路程y（km）與行駛的時間t（h）之間的函數表達式，并畫出該函數的圖像.

設計意圖：學以致用是數學學習的主要目的之一，正比例函數跟一般函數一樣，從生活中來，到生活中去，問題（1）主要是在生活問題中強化正比例函數的定義，問題（2）在強調定義和圖像的同時，讓學生明白實際問題的函數圖像需要同步考慮自變量取值范圍的變化，進而影響到圖像.

五、后續思考

正比例函數這一課時的內容，正好是在前面分幾課時學習了“一般函數”所有知識基礎上，從一般走向特殊的一種情況，從局部來看可以看成是一個微觀“點”，它是最特殊、最簡單的函數，從整體來看，它又可以通過一課時完成“從生活問題出發——抽象出正比例函數的定義——研究函數表達式——研究函數圖像——研究函數性質——回歸到生活問題”完整知識鏈，而后面在特殊的正比例函數基礎上的一般的一次函數、反比例函數、二次函數，都必須分幾課時方能完整學習.在整個初中階段數學四大板塊中能夠用一課時完成整體性認識的內容少之又少，絕大部分內容都是分幾個課時才能有一條完整的知識線或整體的知識結構，這就是師生學完局部內容后缺乏整體認識的根本原因.

數學核心素養是著眼于學生未來與長遠的思維品質與關鍵能力，數學教學的問題性、過程性、整體性是數學核心素養培養的必由之路.如何能夠在每一課時的局部認識中提高整體認識？這就要求我們數學教師在解讀教材、教學設計、課堂實踐的時候，每一堂新授課都要找到知識的源頭及走向，即按照“知識從哪里來，知識怎么形成，知識向哪里去”的整體思路去構建課堂框架，每一堂復習課都要注重知識的前后關聯，即按照“點聯成線，線聯成面”的邏輯發展去構建知識體系.如果我們的教學能做到顯性的知識“在整體框架中全面認識局部，在局部教學中處處關聯整體”，并且不斷遷移隱性的數學思想和方法，那么，數學學科核心素養落到實處就指日可待.

1.浦敘德，謝潔紅.從知識整體性視角設計主問題引領課堂教學［J］.中學數學（下），2014（8）.

2.浦敘德.初中代數“用…解決問題”課時的解讀與設計——以蘇科版教材七（下）“11.5用一元一次不等式解決問題（1）”為例［J］.中學數學（下），2016（7）.

3.浦敘德.初中數學教材解讀的幾個視角［J］.中學數學教學參考（中），2016（11）.

4.浦敘德.數學課堂教學：基于教材解讀，成于教學設計［J］.教育研究與評論，2017（1）.H