中、新初中數學教科書中“反比例函數”的比較研究

☉浙江師范大學教師教育學院 孫雨琴

☉浙江師范大學教師教育學院 朱 哲

教科書是引起學生差異的一個關鍵因素，對學生成績存在著潛移默化的影響.通過對不同國家教科書內容的比較，可以更好地了解學生適合什么樣的教學安排.反比例函數是初中數學函數中的一種函數，對學生應用數學模型解決問題能力的培養有很大的幫助，且在中學階段具有重要的地位和作用.近年來，新加坡學生在國際數學測試中的優秀表現，一直受人矚目，比如2015年的PISA測試結果顯示新加坡排名第一.PISA主要從科學、閱讀、數學三個領域來測試，而新加坡在數學領域的平均分是564，在參與測試所有國家中成績最高，可見新加坡在數學領域的教育值得我國學習和借鑒.因此，筆者選取中國上海教育出版社2011年出版的初中數學教科書《數學》（以下簡稱《數學》）與新加坡Shinglee Publishers PteLted出版，Dr Joseph Yeo等主編的2013年出版的數學教科書New Syllabus Mathematics（以下簡稱NSM），對兩種教科書中的“反比例函數”部分進行具體的比較和分析.

一、研究方法和內容

本文主要采用文本分析法研究兩國教科書的異同.研究的對象不是整本教科書的內容，但希望通過章節安排、呈現方式，以及例題和習題設置三個方面對其中“反比例函數”部分進行比較，得到相關結論和啟示，從而為我國教科書的編寫提供一些建議.

1.章節編排上的比較

《數學》將反比例函數安排在了八年級（上冊）第十八章“正比例函數與反比例函數”中的第二節，NSM則安排在第三冊第五章“函數圖和圖形解決方案”中的第二節，即反比例函數圖.兩種教科書都沒有單獨安排為一章，但前者在篇幅上較后者多.

以下是筆者所作的兩種教科書在反比例函數這一章的章節結構圖（表1）.可以看出，兩種教科書雖然都涉及反比例函數這個知識點，但在學習的側重點上具有很大的差異性.比如，《數學》和NSM在這一節內容上的標題不一樣，前者標題直接是反比例函數，NSM則是反比例函數圖.除此之外，《數學》在反比例函數這一節里設置了兩小節內容，分別是反比例函數的概念和反比例函數的圖像與性質.而NSM則是y=的圖形和y=的圖形.

表1 章節結構

總體而言，《數學》和NSM在本章的編排中都具有較強的系統性和邏輯性，各有側重.《數學》重視知識的整體性和綜合性學習，NSM則重視知識的應用性和操作性學習.

2.呈現方式的比較

“過程與方法”是三維目標中的一個目標，而知識的呈現方式是這個目標有效落實的一個重要步驟.眾所周知，相對于結果，過程更能反映每個學生的發展變化，體現出學生成長的歷程.數學內容在教學過程中離不開對知識的呈現，而這就關聯到什么樣的呈現方式能更好地幫助學生深入理解知識.若教科書的編寫只注重結果的理解和運用而忽視了教學過程，則學生的思維能力難以提高，數學素養也將無法落實.所以，教科書中知識的呈現方式關乎學生未來的發展.下面就知識的引入、知識的展開、性質的探究過程和知識的鞏固進行具體的比較分析.

（1）知識的引入.

《數學》的前言部分：在現實生活中，有各種各樣的的數量問題.一個問題中常有處于變化狀態的多個數量，而且這些數量間相互聯系、相互影響.例如，在汽車勻速行駛過程中，如果車速v不變，那么行駛的路程s隨著行車時間t的變化而變化，關系式s=vt反映了路程隨時間變化而變化的規律.

函數是描述變化過程中的數量關系的工具，我們在本章將以研究數量問題為起點，以正比例函數與反比例函數為載體，學習函數的初步知識.

前言從生活中常見的例子引入，然后逐步導向與本節課內容相關的問題，引發學生思考，最后引出“本章將以研究數量問題為起點，以正比例函數與反比例函數為載體，學習函數的初步知識”.這樣設計，不僅使數學更加貼近生活，同時激發學生探索數學的熱情和動力.

NSM的前言部分：一篇報紙文章指出，社交網絡成員數量的增長在其運營的第一年就顯著增加了.指數增長意味著什么？如何在圖表上表示這些信息？

學習目標：

在本章結尾處，您應該能夠：_________________；

畫出冪函數y=axn的簡單圖形，其中n=3，2，1，0，-1和-2；

畫出指數函數y=ax的圖形，其中a是一個正整數；

通過繪制切線估計曲線的梯度；

解釋和分析數據表格和圖表，包括距離-時間和速度-時間圖.

前言也由實際問題引入，但其明確列舉出學習本章需要達到的學習目標，使學生有的放矢，從而提高學習效率.可見，NSM引入的目的性更明確，使學生對學習方向的把握更準確，從而學生學習效果更佳.

（2）知識的展開.

知識的展開環節中，《數學》由兩個問題導入，分別是問題1和問題2，且這兩個問題都是與變量之間的關系有關.在這兩個問題研究的基礎上得到“反比例”，并通過例題展示進一步得到“如果兩個變量成反比例，那么其中一個變量是另一個變量的函數”，再基于前一節所學的正比例函數來研究一般意義下的反比例函數，從而給出反比例函數的概念及解析式y=k≠0），最后舉例分析.

而NSM的知識展開環節中設有的模塊包括“調查研究”“思考時間”“例題與詳解”“小組討論”“課堂練習”.其通過問題給出讓學生自我去調查研究、尋找答案，再給出結論.由此可見，NSM側重于學生自我探究能力的培養.另外，安排小組討論，讓學生組建小團隊去探究并解決問題，這又體現了NSM具有團隊意識培養的思想理念.而這恰恰是我們學生所欠缺的一種品質，且《義務教育數學課程標準（2011版）》（以下簡稱《課標》）里也寫到，“義務教育階段的數學課程是培養公民素質的基礎課程，要體現社會發展的時代性.”［1］而當今是一個倡導“合作共贏”的時代，為了與時俱進，響應《課標》的號召，我國教科書編寫的內容也應體現“團隊合作”的思想理念，以促使《課標》真正地落實到教學中去，從而促進學生團隊意識的培養.

（3）性質的探究過程.

中、新兩種教科書在反比例函數性質的探究方式上既有差異性又有共同性.差異性體現在《數學》倡導學生用列表、描點、連線畫函數圖像，NSM則提倡讓學生使用制圖軟件繪制不同的圖像.共同性體現在問題的思考上，都讓學生通過觀察法探究問題，從而得到結論.而在具體問題的設問方式上又有一定的差異性，例如，《數學》中給出以下幾個問題：兩個函數圖像位于哪幾個象限？每一個象限內，函數圖像上的坐標是如何變化的？圖像每支無限延伸，會與坐標軸相交嗎？NSM則讓學生討論常數a＞0和a＜0時，圖像位于哪個象限？觀察圖形是否旋轉對稱以及是否會與兩坐標軸相交？前者更綜合化，后者則更碎片化.

另外，《數學》在反比例函數的圖像上給出了3個操作性例題、2個想一想、1個思考及4個練習，而在反比例函數的性質上列舉了2個例題和3個練習，可見《數學》用了大量的篇幅來講解反比例函數的圖像與性質，且講解的比較深入，但對圖像操作的要求較低.相比而言，NSM則相對簡單，首先讓學生用制圖軟件繪制一個反比例函數圖像，給出3個問題讓學生思考，從而得出有關反比例函數的性質，接著給出相同類型的2個問題讓學生思考，并讓學生舉例分析，最后給出5個練習.NSM中性質應用所占的篇幅不多，更側重圖形繪制，習題類型單一.

總之，《數學》更側重訓練學生數學整體性、系統性學習的能力，NSM則強調學生基礎性知識和信息技術整合運用能力的培養.

（4）知識的鞏固.

NSM中在章節的最后一部分設置了相應的習題，且分為幾個不同層次，比如有回顧練習、修訂練習等.NSM首先通過回顧練習環節中的習題來檢測學生對前面所學知識是否掌握，再通過修訂練習環節的習題來幫助學生對掌握不夠的知識進行補充.這樣一種查漏補缺的方式促進了學生對知識的理解，從而使學生打下扎實的基礎.也正是基于這樣基礎下，新加坡在PISA的測試結果中取得優異的成績.反之，《數學》在本章節后面并沒有單獨給出習題，而是設置了一個學生活動環節，安排學生在課外時間探討這個活動.這種設計雖然可以培養學生的自主探究能力，但具有一定的難度.因此，對于大多數水平一般的學生來講都算難題，而且活動問題在很大程度上并沒有牢固學生的基礎知識.比如2015年PISA的測試結果中中國的平均分是518，排名第十，而其中被測試的城市就有上海.相比之下，可看出上海教科書在某些環節的設置還是值得向新加坡學習的.

3.例題和習題設置的比較

本文擬從例題、習題的類型及對應的數量兩個維度對兩種版本教科書的例題和習題設置進行比較分析，統計數據見表2.

表2 兩種版本教材中“反比例函數”例題與習題類型及對應的數量統計表

從表中可知，《數學》和NSM在函數圖像與性質這個知識點上習題量最高，可見兩種版本教科書都重視函數圖像與性質的知識點；但在求解析式和反比例函數這兩個知識點上兩者明顯不同，NSM在這兩個知識點都沒有設置對應的習題.由此表明在此章節上我國教科書更注重綜合知識的應用，而新加坡教科書則側重于基礎知識和基礎技能的訓練.

而且NSM對例題的設置具有鮮明的特色，主要體現在以下幾個方面：一是例題涉及的知識明確，目標性強，每道例題旁邊都標注有該題涉及的知識信息；二是例題的解題步驟清晰，有利于學生的模仿；三是小節后有同類型的習題，供學生鞏固練習，有利于促進學生對新知識的理解和運用.

例如，《數學》18.3“反比例函數”的例題與練習如下：

例題2 已知y是x的反比例函數，且當x=2時，y=9.

（1）求y關于x的函數解析式；

（3）當y=5時，求x的值.

練習18.3（1）

2.下列函數（其中x是自變量）中，哪些是反比例函數？哪些不是？為什么？

3.已知y是x的反比例函數，且當x=4時，y=7時.

（1）寫出y關于x的解析式；

（2）當x=5時，求y的值.

4.已知長方形的面積為20平方厘米，它的一邊長為x厘米，求這條邊的鄰邊長y（厘米）關于x（厘米）的函數解析式，并寫出這個函數的定義域.

以上三個習題從整體上看都用到了反比例函數概念的知識，但是細看并不屬于同類題.NSM中也有習題練習，但都在例題和解答后呈現，學生模仿習題即可解答.

用1厘米的刻度分別表示x軸上的一個單位和y軸上的5個單位，畫出y=-5≤x≤5，x≠0）的圖像.

（1）當x=1.4時，求y的值；

（2）當y=-8時，求x的值.

練習2 用1厘米的刻度表示x，y軸上的1個單位，繪制y=-5≤x≤5，x≠0）的圖像.

（1）當x=2.5時，求y的值；（2）當y=-1.2時，求x的值.

通過上面比較可以看出《數學》給出的問題比較宏觀，跨越度大，學生在學習上有一定的難度，強調訓練學生數學的綜合能力；而NSM給出的問題更常規化，只需讓學生演示解題步驟即可.反映出NSM對數學基本知識、基本技能的重視.

三、結論與啟示

1.研究結論

通過以上比較分析可知，在內容呈現方面，《數學》和NSM在知識的引入上都由前言的生活情境切入，但NSM還明確列舉出學習本章需要達到的學習目標.且NSM在知識的展開環節中更注重團隊合作學習.內容設置方面，《數學》側重于掌握反比例函數的概念，函數解析式的求解，以及函數圖像與性質，知識間的聯系更系統化、綜合化.NSM則側重于函數圖像的繪畫以及根據函數解析式求解兩個變量的值，并且，NSM提倡使用制圖軟件繪制函數圖像.在例題習題方面，《數學》的例習題比較宏觀，跨越度大，強調訓練學生數學的綜合能力；NSM的例習題則更常規化，只需讓學生演示解題步驟即可.

2.對我國教科書編寫的啟示

通過以上比較分析，發現我國教科書仍存在一些不足之處，而新加坡教科書在某些方面是值得我國借鑒學習的.

（1）學習目標明確.

目標是指引學生學習的方向，明確的學習目標可以使學生抓住學習的重點和難點，有的放矢.《數學》前言部分雖然通過問題將學生帶入新課的學習中，但是并沒有明確指出學習目標.而NSM中的前言部分值得我們學習和借鑒，其設置在每章節最前面的目標導引，不僅可以在學生學習完本章后對照目標，查漏補缺，進行歸納，這對于學生初學和復習梳理都是非常有幫助的.

（2）堅持鞏固“雙基”，保持傳統優勢.

新加坡教科書的大部分題目起點低，易于學生嘗試去解決.另外，新加坡教科書中的習題有一個特點，將一個復雜問題分解成若干小問題解決，教科書處理習題更加注重層次化、碎片化.且其例題對應一種習題類型，便于學生的模仿，從而使學生對基礎知識掌握的更扎實.可見新加坡的數學課程更重視對基礎知識和基礎技能的熟練運用.而《數學》更注重習題的綜合化、模塊化，對學生綜合能力的要求相對較高，且例題對應的習題類型也是多樣化，這使得學生在學習上有一定的困難.我國《課標》也強調“雙基”，但是我們應該在“雙基”的教學中，擯棄盲目的重復練習等無意義的機械操練，既重視教學的過程，也重視教學的結果，兩者相輔相成.所以新加坡教科書對于習題的處理方面值得中國教科書借鑒.

（3）提倡信息技術與數學課程的整合.

《標準》在基本理念中指出：“現代信息技術的發展對數學教育的價值、目標、內容，以及學與教的方式產生了重大的影響.數學課程的設計與實施應重視運用現代信息技術，特別要充分考慮計算器、計算機對數學學習內容和方式的影響，大力開發并向學生提供更為豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力工具，致力于改變學生的學習方式，使學生樂意并有更多的精力投入到現實的、有探索性的數學活動中去.”［1］而NSM以追求信息技術與數學課程的整合為特色，在反比例函數這節中就倡導學生使用制圖軟件繪制函數圖像，這使得學生能更簡潔直觀地觀察函數圖像的變化形態，也有助于激發學生的學習興趣，使得學生學習的主動性提高，并且信息技術的使用突破了數學學習在時間與空間上的限制，學生可通過互聯網隨時隨地進行數學學習和實踐.將信息技術融入課堂，可創設自主探究、合作交流的學習環境，激發學生的學習興趣，實現個性化學習.但如何將信息技術合理地應用到學生的學習中，應該是我們目前關注的焦點，充分借鑒他國的成功經驗，以期為我國的信息技術與數學課程整合做出有效的改進.

1.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2011.

2.九年義務教育課本.數學八年級第一學期（試用本）（2011年版）［M］.上海：上海教育出版社，2011.

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