凸顯思維能力，發展學生數學核心素養

☉安徽省合肥市肥西縣嚴店初級中學 侯守定

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面不可替代的作用.”然而在我們身邊更多教師關注的是學生中考分數，而忽視了對學生數學核心素養的培養.

2014年3月，《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》頒布，明確給出了核心素養的概念——“學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”.邏輯推理是學生數學核心素養的重要方面，是學生要求具備的關鍵能力之一，初中階段學生的思維正處在由形象思維向邏輯思維的過渡時期，對于學習抽象的幾何知識有一定的困難，作為初中數學教師如何組織幾何教學，促進學生思維能力的發展，這無疑是數學教育中的重要課題.現結合本人的教學實踐，談談初中幾何教學中如何培養思維能力，發展學生數學核心素養的幾點嘗試.

一、強化幾何直觀，提升學生思維的主動性

幾何直觀是《課標（2011年版）》的核心概念之一，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.隨著信息技術的不斷發展，有效地改進了教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現實的、探索性的數學活動中去.例如，課堂上運用“幾何畫板”，以其靜態直觀顯示和動態變化呈現相結合的特點，打破了傳統的教學方式，充分調動了學生學習幾何的興趣，有效地提升了學生思維的主動性.

案例1 圓周角定理的探索.

在學習圓周角定理時，傳統的教學方式都是讓學生畫圖、度量，從而猜想結論.由于手工畫圖，有不精確、速度慢等弊端，效果不好.現在用“幾何畫板”進行探索，使問題變得直觀形象.

圖1

首先打開“幾何畫板”，通過菜單命令得到如圖1（1），讓學生比較∠BAC與∠BOC的大小關系.然后任意拖動點A（或點B、點C），改變圓心O與∠BAC的位置關系，再比較∠BAC與∠BOC的大小關系，如圖1（2）、圖1（3）.通過演示，從而直觀上得出：一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半.

在應試教育的環境下，很多教師常常存在重視定理的證明和應用，而輕視定理的探索和發現的過程.學生對定理的理解是一個由具體到抽象的過程，如果將幾何直觀運用到幾何定理的探索和證明中，不但使定理的內容在學生的頭腦中留下深刻的印象，而且還能激發學生學習的熱情，從而能有效地提升學生思維的主動性.

二、強化概念教學，提升學生思維的概括性

概念是獲得思維的一種結果.以“下定義”為例，其中涉及分析該類事物特征，概括這些特征，用語言表述特征，用定義辨識正反例，再修正定義等步驟.數學的任何對象，都是以該對象的概念為出發點，進而探討研究對象的判定和性質的.［3］所以定理、法則和邏輯推導，都是以相關概念為基礎的.如果對于概念教學，教師只是一帶而過，等到學生實際應用時，由于沒有建立概念間的本質聯系，往往會產生思維障礙.

案例2 三角形高的概念.

圖2

三角形的高的概念，由此對于鈍角三角形的高，我們可以按照教科書上去建立概念，如圖2（1），但還應該通過圖2（2）、圖2（3）那樣變式的圖形讓學生進行練習，加深對概念的理解，否則三角形的位置一變，學生就找不到三角形的高了.

問題：等腰三角形一腰上的高與另一腰所夾的角為30°，則它的頂角的度數是_______.

圖3

剛學幾何時，很多學生由于考慮不夠全面，對幾何圖形的陌生，往往只畫出如圖3（1）所示的圖形，得到答案為60°.

教師講解時也會時常提醒學生還有另一種情況，并畫出圖3（2），求出答案應為60°或120°.為什么學生經常會出現類似的錯誤，歸根結底，還是學生對概念的理解不夠深刻.

三、強化變式教學，促進學生發散思維和創新能力的發展

變式教學是我國數學教學的優秀傳統，它是從不同角度、不同層次、不同情形對數學知識進行變式，以揭示不同知識點的內在聯系的一種教學方式.有很多教師都熱衷于“一題多變”、“一題多解”、“一圖多用”等變式教學，這樣能使課堂變得豐富多彩，有利于促進學生發散思維和創新能力的發展.［4］

案例3 平行四邊形的性質應用.

如圖4，在?ABCD中，O是對角線AC的中點，EF經過點O分別與AB、CD交于點F、E.求證：OE=OF.

分析：要證OE=OF，只須證出△COE≌△AOF（ASA或AAS）即可.

學生完成證明后，教師提出：在上題條件不變的情況下，變化圖形，分別如圖5和圖6，結論是否仍然成立？

圖5

圖4

圖6

學生通過觀察、分析，發現盡管圖形在不斷變化，但證明OE、OF相等的條件始終沒變，所以OE=OF仍然成立.通過“一題多變”，能有效地讓學生體會到問題之間的本質聯系.

案例4 等腰三角形的性質與判定.

問題1：如圖7，已知AB=AD，CB=CD.求證：∠B=∠D.

圖7

圖8

分析：連接AC，證△ABC≌△ADC（SSS）即可.

此題的證明使學生易產生單一的思維方式，從而影響其他同類問題的解決，“一圖多用”可以展現新舊問題“形似質異”的特點，從而為清除單一思維創造條件.

問題2：如圖8，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC.求證：BC=CD.

分析：思維單一的學生仍然連接AC，以為可以像上題一樣證明△ABC≌△ADC，但實際上是行不通的，因為“邊邊角”不能保證兩三角形一定全等.

正確解法：連接BD，由AB=AD，得到∠ABD=∠ADB，從而得出∠CBD=∠CDB，然后用“等角對等邊”得出BC=CD.

通過問題1、問題2的對比、反思，培養學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法.通過這樣的訓練，學生以后會根據不同情況，從多角度思考問題，擺脫單一思維，突破不利的思維定勢，從而促進學生發散思維和創新能力的發展.

四、強化數學問題解決，促進學生逆向思維的發展

培養學生的各種數學能力都離不開解題，數學能力是伴隨解題過程逐步形成和發展起來的.數學問題解決中，順向思維和逆向思維是最常用的兩種思維方法，而逆向思維可算是一個較好的思維方法，對于培養學生的創新性而言有著重要作用.逆向思維的具體方法有很多，如反證法、反例、逆推求解等.利用這種思維方法，能有效地幫助學生處理初中各式各類的幾何問題，可以巧妙地解決一些常規思維不能解決的問題，或者在解題思路上另辟蹊徑，找出便捷的解題方法.數學中有的定理是不可逆的，但有許多定理是可逆的，如平行線的性質與判定、勾股定股理及其逆定理等.在教學中，對某些重要定理的可逆性進行探討，有利于學生加深對知識的理解，有利于學生逆向思維能力的提

圖9

案例5 勾股定理及其逆定理.

如圖9，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13.求四邊形ABCD的面積.

讓學生充分思考，怎么求出四邊形ABCD的面積呢？

分析：四邊形ABCD的面積不能直接求出，根據已知條件∠B=90°，若連接AC，可得Rt△ABC.對于Rt△ABC易求出，但如何求出

△ACD的面積呢？

學生通過運用勾股定理，求出AC=5，因而得到AC2+CD2=AD2.這樣，運用勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，從而求出四邊形ABCD的面積.

初中數學教材中運用逆向思維處理的內容較少，多數幾何問題由綜合法即可解決，導致學生的逆向思維較差.因此，在實際教學中，我們要有意識地引導學生學會從反方向思考問題，由因索果，逆推求解，找到解題途徑，這樣可以有效地促進學生逆向思維的發展.

五、結束語

美國著名數學教育家G·波利亞指出：“數學教學的目的在于培養學生的思維能力，培養良好的思維品質的途徑是進行有效的訓練.”這句名言道出了數學教育的意義所在，作為一名數學教師，我們應該結合教學實踐，不斷探索培養學生思維能力的有效方法，發展學生的數學核心素養.如果我們僅僅局限在傳授給學生數學知識的層面上，搞題海戰術，而不教給他們數學的思想方法、思維方式，不提高他們的思維能力，發展數學核心素養，那么學生走向社會一旦遺忘了數學知識，他們就什么都沒有了.

1.章建躍.章建躍數學教育隨想錄［M］.杭州：浙江教育出版社，2017（6）.

2.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2011.

3.李建才，連四清.基礎教育現代化教學基本功——中學數學卷［M］.北京：首都師范大學出版社，1997.

4.吳巖.初中幾何教學中的一圖多用［J］.中學數學教學參考（中），2013（1/2）.H