一道壓軸題的思考過程、啟發(fā)教學(xué)及拓展

☉山東高青縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 張小川

☉山東高青縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 張媛媛

2017年山東德州中考?jí)狠S題以反比例函數(shù)為載體，將幾何圖形融入坐標(biāo)系中，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，涵蓋了中心對(duì)稱、待定系數(shù)法、圖形與坐標(biāo)、數(shù)形結(jié)合等主要思想方法.問題的設(shè)計(jì)前后關(guān)聯(lián)、層層遞進(jìn)，題目的開口廣、思路多、可拓展性強(qiáng).

本文先詳細(xì)說明多種解法的思考過程和對(duì)教學(xué)的啟示，再將問題拓展到更一般的情形，供參考.

一、問題

（2017年德州中考?jí)狠S題）有這樣一個(gè)問題：

探究同一平面直角坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)y=x與y=k≠0）的圖像性質(zhì).

（2）若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA交x軸于點(diǎn)M，直線PB交x軸于點(diǎn)N，求證：PM=PN.

證明過程如下：

圖1

所以直線PA的解析式為______.

請(qǐng)你把上面的解答過程補(bǔ)充完整，并完成剩余的證明.

（3）當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，k）（k≠1）時(shí)，用k表示△PAB的面積.

試題評(píng)析：本題是一道函數(shù)壓軸題，通過本題不僅可以檢測(cè)學(xué)生反比例函數(shù)、一次函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還能檢測(cè)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解和掌握程度.第（2）問在坐標(biāo)系中求證兩條線段相等，可以從幾何方面用三角形全等解決，也可以用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)坐標(biāo)分別求出兩條線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出PM=PN.第（3）問是在坐標(biāo)系中求三角形的面積，對(duì)于在坐標(biāo)系中“橫平豎直”的三角形，面積容易求，此時(shí)的△PAB不是“橫平豎直”的三角形，可以用割或補(bǔ)的方法解決，這類問題在二次函數(shù)壓軸題中屢見不鮮，此題將三角形面積問題“移植”到反比例函數(shù)中，足見命題人的獨(dú)具匠心.

二、思考過程及解答

（1）B（k，1）.過程略.

（2）原題給出了一部分解答：根據(jù)待定系數(shù)法，求出直線PA的解析式為

關(guān)鍵是接下來怎么做？

目的是求證PM=PN，題目給出的部分解答是求出PA的解析式，求出了直線PA的解析式與證明PM=PN有什么聯(lián)系呢？

可以有以下兩種思路：

圖2

的長(zhǎng).于是，想到過點(diǎn)P作PH⊥MN，這樣就把線段PM放進(jìn)了Rt△PMH中，就可以用勾股定理求出PM.

再用同樣的方法求出PN的長(zhǎng)，即可證明.解：如圖2，過點(diǎn)P作PH⊥MN，垂足為H.

思路2：如圖2，欲證明兩條線段PM和PN相等，可以用三角形全等解決，這也是學(xué)生容易想到的方法.原題給出的部分解答求出了直線PA的解析式，利用這個(gè)條件可以求出M的坐標(biāo)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，根據(jù)點(diǎn)H的坐標(biāo)和點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出線段MH的長(zhǎng)度.同理，再求出NH的長(zhǎng)，若有MH=NH，則可以證明△PMH≌△PNH，此時(shí)有PM=PN.

解：如圖2，由思路1的解法可知M（m-k，0）、N（m+k，0）、H（m，0）.

所以MH=k，NH=k.

所以MH=NH.

因?yàn)镻H⊥MN，所以∠PHM=∠PHN=90°.

在△PMH和△PNH中，

所以△PMH≌△PNH.

所以PM=PN.

（3）欲求坐標(biāo)系中△PAB的面積，但不知道△PAB的形狀，在這樣的前提下，有如下思考：

若不能判斷出△PAB是直角三角形，可以思考用割或補(bǔ)的方法求△PAB的面積，有以下思路1和思路2；

若能判斷出△PAB是直角三角形，則可以求出直角邊長(zhǎng)，用面積公式解答，有以下思路3.

思路1：將△PAB分割成有一條邊平行于坐標(biāo)軸的三角形，可以過點(diǎn)P作y軸的平行線（也可以過點(diǎn)B作x軸的平行線）.

如圖3，PH與AB交于點(diǎn)Q，PQ將△PAB分割成△PAQ和△PBQ，分別求出S△PAQ和S△PBQ，將S△PAQ和S△PBQ相加，即可求得S△PAB.

圖3

解：當(dāng)k＞1時(shí)，如圖3，已經(jīng)知道點(diǎn)P（1，k）、A（-k，-1）、B（k，1）.

當(dāng)0＜k＜1時(shí)，同理可以求得S△PAB=1-k2，讀者可自行補(bǔ)充完整.

思路2：可以將△PAB補(bǔ)成一個(gè)易求面積的規(guī)則圖形，再將補(bǔ)上的部分減去，即可得出△PAB的面積.如圖4，過A、P作x軸的平行線，過A、B作y軸的平行線，交點(diǎn)分別為S、T、R，將△PAB補(bǔ)成矩形ASTR，用SASTR減去S△SPA、S△PTB、S△ARB，即可求得S△PAB的值.

解：當(dāng)k＞1時(shí)，如圖4，點(diǎn)S（-k，k）、T（k，k）、R（k，-1）、A（-k，-1）.

圖4

當(dāng)0＜k＜1時(shí)，同理可以求得S△PAB=1-k2，限于篇幅，詳細(xì)過程在此不再贅述.

思路3：若△PAB是直角三角形，則可以求出直角邊長(zhǎng)，直接應(yīng)用面積公式來求△PAB的面積.

△PAB是直角三角形嗎？

我們需要做出判斷，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，可以根據(jù)勾股定理的逆定理，也可以用幾何方法證明PA⊥PB，還可以根據(jù)直線的斜率計(jì)算兩條直線的夾角是否為90°.

解法1：如圖3，已經(jīng)知道點(diǎn)P（1，k）、A（-k，-1）、B（k，1）.

因?yàn)镻A2+PB2=4（k2+1），AB2=4（k2+1），所以PA2+PB2=AB2，所以△PAB是直角三角形，∠APB=90°.

S△APB=·PA·PB=×（k+1）×（k-1）=k2-1.

解法2：如圖3，由P（1，k）、A（-k，-1）、B（k，1），用待定系數(shù)法求出直線PA的解析式為y=x+k-1，直線PB的解析式為y=-x+k+1.

因?yàn)橹本€PA的解析式為y=x+k-1，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1-k，0）.

因?yàn)橹本€PB的解析式為y=-x+k+1，可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1+k，0）.

所以MH=NH=k.

因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，k），所以PH=k.

所以MH=NH=PH=k，所以∠APB=90°.

S△APB的求法，同解法1.

解法3：如圖3.由解法2知道：

直線PA的解析式為y=x+k-1，直線PB的解析式為y=-x+k+1.

因?yàn)橹本€PA和直線PB的斜率乘積為-1，所以PA垂直PB.

S△APB的求法，同解法1.

三、啟發(fā)教學(xué)

壓軸題的題干本身文字量大，題意較為復(fù)雜，可能讓學(xué)生產(chǎn)生畏懼心理，在教學(xué)壓軸題時(shí)，教學(xué)起點(diǎn)可以低一些，一點(diǎn)一點(diǎn)讓學(xué)生體驗(yàn)成功，樹立信心.前文詳細(xì)說明了各種解法的來龍去脈，怎樣從條件出發(fā)一步一步得出最終的結(jié)果.在解題教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主分析問題，經(jīng)過嚴(yán)格有序的訓(xùn)練，相信可以提高學(xué)生的解題能力，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維.

數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要能解答具體的問題，還要幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)的思維方式，這就要求教師在課堂上能從一道題出發(fā)，從不同的角度對(duì)題目進(jìn)行變式或拓展，幫助學(xué)生掌握方法，提升能力.教學(xué)完這個(gè)壓軸題后，不妨以此為素材，讓學(xué)生計(jì)算圖3中S△PMN的值.

還可以將這個(gè)壓軸題進(jìn)行下面的拓展，以加深學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解.

四、拓展

當(dāng)k＞0時(shí)，圖1中，第一象限內(nèi)，P是雙曲線上不同于B的任意一點(diǎn)，連接PA、PB，有PM=PN.繼續(xù)思考，當(dāng)在第一象限內(nèi)，雙曲線上有2個(gè)不同于點(diǎn)B的點(diǎn)時(shí)，連接PA、PB，又會(huì)有什么結(jié)論呢？

拓展1：如圖5，P、Q是雙曲線上不同于B的兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)P、Q在點(diǎn)B的同側(cè)時(shí)，會(huì)有什么結(jié)論？

圖5

解：如圖5，由前文題目中的（1）可以知道PM=PN，QC=QD.

所以∠PMN=∠PNM，∠QCD=∠QDC.

因?yàn)椤螾MN是△MAC的外角，所以∠PMN-∠MCA=∠PAQ.又∠MCA=∠QCD，所以∠PMN-∠QCD=∠PAQ.

因?yàn)椤螾NM是△BND的外角，所以∠PNM-∠QDC=∠DBN.又∠DBN=∠PBQ，所以∠PNM-∠QDC=∠PBQ.

所以∠PAQ=∠PBQ.

當(dāng)有P、Q、R三個(gè)點(diǎn)在雙曲線上，且都在B的同側(cè)時(shí)，還有類似的結(jié)論；

當(dāng)有n個(gè)點(diǎn)在雙曲線上且都在B的同側(cè)時(shí)，仍有類似的結(jié)論.

拓展2：如圖6，P、Q是雙曲線上不同于B的兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)P、Q在點(diǎn)B的異側(cè)時(shí)，會(huì)有什么結(jié)論？

解：如圖6，由前文題目中的（1）可以知道PM=PN，QC=QD.

圖6

所以∠PMN=∠PNM，∠QCD=∠QDC.

∠PMN是△MAC的外角，所以∠PMN-∠MCA=∠PAQ.又∠MCA=∠QCD，所以∠PMN-∠QCD=∠PAQ.

因?yàn)椤螾NM是△BND的外角，所以∠PNM-∠QDC=∠DBN.

所以∠PAQ=∠DBN.

因?yàn)椤螪BN+∠PBQ=180°，所以∠PAQ+∠PBQ=180°.

1.趙士元.導(dǎo)問 讓解題教學(xué)更有效［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（8）.