理解幾何新定義，利用性質探究題
——以圖像類新定義題為例

☉浙江寧波市四眼碶中學 張丹燕

近些年中考新定義題層出不窮，其中的圖形類新定義題是其中較為常見的題型.該類題集探究性、拓展性、應用性于一體，充分體現了中考大綱對于學生“觀察、實踐、探究、驗證、歸納”的核心素養的考查要求.對于該類題型，需要從題型結構、解題策略等方面來學習.

一、真題解析，試題點評

1.真題呈現.

（2017年中考紹興卷第22題）定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫作等腰直角四邊形.

（1）如圖1所示，等腰直角四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°.

圖1

圖2

①如果AB=CD=1，AB∥CD，求對角線BD的長；

②如果AC⊥BD，求證：AD=CD.

（2）如圖2所示，矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點P是對角線BD上一點，且BP=2PD，過點P作直線分別交AD、BC于點E、F，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長.

2.試題解析.

分析：（1）略；（2）如果EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，可推出四邊形ABFE不是等腰直角四邊形，不符合條件.如果EF不與BC垂直，則存在兩種情形，當AE=AB時，四邊形ABFE是等腰直角四邊形；當BF=AB時，四邊形ABFE也是等腰直角四邊形，然后可分別求解.

解：（2）如果EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，四邊形ABFE不是等腰直角四邊形，不符合題意.如果EF不與BC垂直，①當AE=AB時，如圖3，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，AE=AB=5；②當BF=AB時，如圖4，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，BF=AB=5，因為DE∥BF，可推知DE∶BF=PD∶PB=1∶2，所以AE=6.5.綜上所述，滿足條件的AE的長為5或者6.5.

圖3

圖4

3.試題點評.

本題目為中考熱門的幾何新定義題，涉及了四邊形、正方形和全等三角形的判定和性質等幾何知識，主要考查學生分析理解定義、幾何知識轉化應用的能力.上述題目定義了等腰直角四邊形，從中可提取等腰直角四邊形的性質，即有一組鄰邊相等，且夾角為直角；對于第（2）問，則采用分類討論的方式，針對上述定義，利用相關幾何知識進行求解.整個過程對于定義的理解內化是解題的前提，實現定義的數學語言的細致表達是解題的關鍵，合理運用相關知識是實現問題解答的重要條件.該類題型在歷年中考中都有出現，對其解題思路可進行推廣使用.

二、試題鏈接，思路剖析

圖形類新定義題是幾何新定義題的一種，主要特點為：特征突出、概念新穎、探究為主、體現應用.對于該類題型，首先需要學生內化幾何定義，基于概念提取關鍵信息，然后利用定義的核心來探究幾何性質，最后應用性質實現問題的解答.

試題1：（2016年中考舟山卷第23題）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫作“等鄰角四邊形”.

（1）概念理解：請你根據上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；

（2）問題探究：

如圖5，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD、BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P，連接AC、BD，試探究AC與BD的數量關系，并說明理由.

（3）略.

分析：（1）略；（2）根據PE、PF分別是AD、BC的垂直平分線可得對角相等，利用角之間的相互關系可得∠APC=∠DPB，利用SAS可得△APC和△DPB全等，進而可得AC=BD.

圖5

圖6

解：（2）連接PD、PC，如圖6，因為PE、PF分別是AD、BC的垂直平分線，則PA=PD，PC=PB，∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB.又因為∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠APC=∠DPB，則△APC?△DPB，因此AC=BD.

試題2：（2016年中考臺州卷第23題）定義：有三個內角相等的四邊形叫三等角四邊形.

（1）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范圍；

（2）如圖7，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點E、F分別落在邊BE、BF上的點A、C處，折痕分別為DG、DH，求證：四邊形ABCD是三等角四邊形；

（3）略.

分析：（1）略；（2）由四邊形DEBF為平行四邊形可得∠E=∠F，并且∠E+∠EBF=180°，利用等角的補角相等可判斷∠DAB=∠DCB=∠ABC，根據定義可知四邊形ABCD是三等角四邊形.

解：四邊形DEBF為平行四邊形，則∠E=∠F.

又因為DE=DA，DF=DC，所以∠E=∠DAE=∠F=∠DCF.

圖7

上述兩道題均為幾何新定義題，根據幾何性質分別定義了特殊的四邊形，試題1定義了等鄰角四邊形，解題中利用垂直平分線的性質，結合三角形全等實現了問題的解答；試題2則定義了三等角四邊形，證明四邊形為三等角四邊形時利用了平行四邊形的性質、等角的補角相等等幾何性質.解題思路的核心均為“概念理解，性質結合”.

三、解后反思，教學思考

1.重視閱讀，提升能力.

新定義題一般用簡練的話語概括一個新的定義，并結合圖形、例子來闡釋該定義，因此解該類題型的關鍵是理解定義的概念，實現定義的數學語言的轉化，對于定義的每一個字符，圖形的每一個特征，都需要深刻理解，充分把握定義的幾何特性.新定義題強調閱讀理解，閱讀是解題的基本保障，因而在教學中要引導學生學習閱讀定義題的基本思路，掌握基本閱讀技巧，努力提升學生的閱讀理解能力和審題能力.

2.注重關聯，知識遷移.

新定義題雖然有著新穎的外表，但在結構上與教材習題有著相同之處，它是對初中數學相關概念的延伸，主要體現在概念本質、性質探究及應用拓展等方面，因此發現和使用性質的關聯性是打開解題思路的關鍵.在教學中，教師要在扎實學生基礎的前提下引導學生關注知識的聯系性，培養學生的知識遷移能力，依托學生現有知識，探尋學習新知的切入點，促進新知的初步生成和發展，為學生后續學習打下基礎.

3.歸類題型，思路形成.

對于新定義題的學習，應根據題型的結構特點進行歸類劃分，例如，上述題型均為圖形類新定義題，都是基于基礎圖形進行的定義，在中考中也有針對點、邊進行的定義，因此對于題型的定義劃分、區分結構的“同與不同”成為學習該類題型的關鍵.在學習過程中，可以基于同類題進行分析比較，概括結構特點，總結解題方法，提煉解題思想，形成具體、系統的解題思路，做到“解一題，學一類題”，從解題探究發展為策略探究，從而促進自身數學能力的深入發展.

四、寫在最后

中考新定義題是以“理解—探究—應用”的命題思路來開展的，對于該類題型，需要以探究的方式來學習，基本思路為結合幾何圖像理解、轉化定義的概念，然后結合幾何性質來解決實際問題.在教學中，教師要引導學生掌握審題方法，培養學生的閱讀能力；注重知識的關聯性，培養知識遷移能力；歸類新定義題，區分結構特征，形成系統的解題思路，發展學生的解題能力.

1.于杰.理解定義關聯概念，解后反思走向教學——一道新定義考題的思路突破與教學思考［J］.中學數學（下），2017（4）.

2.徐建兵.一道幾何新定義中考題的命制思考［J］.中學數學（下），2016（9）.

3.石小江.初中數學“圖形與幾何”中的合情推理研究［J］.數學教學通訊，2017（8）.

4.費云標.一道初中幾何試題的命制過程［J］.數學教學通訊，2017（20）.