把握函數(shù)定義，透析圓類問題
——以三角函數(shù)與圓的幾何題為例

☉江蘇蘇州市第十六中學(xué) 沈萍華

三角函數(shù)和圓是初中數(shù)學(xué)的重要知識，也是整個數(shù)學(xué)體系的重要組成部分.近幾年中考涉及圓的綜合題，常將三角函數(shù)知識和圓放在一起來考查.對于該類問題，要充分認(rèn)識三角函數(shù)與圓的聯(lián)系，并結(jié)合幾何性質(zhì)作答.

一、真題解析，試題點(diǎn)評

1.真題呈現(xiàn).

（2017年四川廣安中考數(shù)學(xué)第25題）如圖1，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E在⊙O之外，作直線AE，且∠EAC=∠D.

（1）求證：直線AE是⊙O的切線；

圖1

圖2

3.試題點(diǎn)評.

本題目為三角函數(shù)與圓的幾何題，主要考查圓、三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)知識.第二問求線段的長，求解過程充分利用圓弧與圓周角的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)建相似三角形，然后利用相似三角形的邊長比值特性，實現(xiàn)待求量的間接求解，對于給定的三角函數(shù)值則巧妙利用其基本定義將其放置在直角三角形中，利用直角特性和函數(shù)公式來轉(zhuǎn)化條件，最終實現(xiàn)了問題的解決.對于涉及三角函數(shù)與圓的幾何問題，要充分利用圓的特性，建立相關(guān)線段與三角函數(shù)值的關(guān)系，緊密聯(lián)系圓內(nèi)、外的三角形，巧借幾何性質(zhì)求解.

二、試題鏈接，思路推廣

2.試題解析.

分析：（1）略；（2）求圓內(nèi)線段BF的長，可以通過證明△DFB∽△AFC，列關(guān)于邊長的比例式，可得BF=，則只需分別求出AC和BD即可.因AB是⊙O的直徑，可發(fā)現(xiàn)∠BCA和∠BDA均為直角，則可以利用相應(yīng)的余弦值及勾股定理來求邊長，進(jìn)而求得BF的值.

解：（2）連接BD.如圖2，因為∠BDC、∠BAC對應(yīng)的弧均為（，則∠BDC=∠BAC.又因為∠BFD=∠AFC，則

對于三角函數(shù)和圓的幾何問題，可將上述解題策略推廣，具體思路為：在圓內(nèi)、外構(gòu)建直角三角形，利用三角函數(shù)的定義，建立邊長與角度的關(guān)系，然后結(jié)合幾何性質(zhì)求解.利用三角函數(shù)的便利性是解決問題的關(guān)鍵，也是實現(xiàn)條件轉(zhuǎn)換的重要方式，該解題思路在歷年的中考題中均有體現(xiàn).

試題1：（2016年宜賓市中考數(shù)學(xué)第23題）如圖3，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分線，以O(shè)為圓心、OA為半徑作圓交AE于點(diǎn)G.

圖3

圖4

（1）求證：直線PE是⊙O的切線；

（2）在圖4中，設(shè)PE與⊙O相切于點(diǎn)H，連接AH，點(diǎn)D是⊙O的劣弧A（H上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交PA于點(diǎn)B，交PE于點(diǎn)C，已知△PBC的周長為4，tan∠EAH=，求EH的長.

分析：（1）略；（2）求線段EH的長，可以利用三角形相似原理△EGH∽△EHA，將其轉(zhuǎn)為求EH=，結(jié)合△PBC的周長為4，tan∠EAH=，可以求得2EH=EA，然后在直角三角形AEP中，利用勾股定理，通過解方程的方式求EH.

解：（2）連接OH、GH，如圖5，因為OA為⊙O的半徑，∠PAE=90°，則PA與⊙O相切于點(diǎn)A.又因為PE與⊙O相切于點(diǎn)H，則PA=PH.同理BA=BD，CD=CH.

C△PBC=BC+PB+PC=4，所以PA=PH=2.

圖5

試題2：（2016年樂山市中考數(shù)學(xué)第24題）如圖6，在△ABC中，AB=AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，ED、AC的延長線交于點(diǎn)F.

圖6

圖7

（1）求證：EF是⊙O的切線；

分析：已知sin∠CFD和EB求圓的半徑及AE，可以利用△ODF和△AEF均為直角三角形的特殊性，用邊長比值表示sin∠CFD的值，即，假設(shè)OD=3x，則可以利用幾何性質(zhì)用含有x的未知數(shù)表示相應(yīng)的邊長，通過解方程的方式即可求解.

解：如圖7，連接OD.

2OD=6x，AF=AO+OF=8x，EB=3，則AE=6x-，則=

上述解題過程都充分利用了三角函數(shù)的定義建立了圓內(nèi)線段的相互關(guān)系，并結(jié)合幾何性質(zhì)實現(xiàn)問題的解答.試題1利用正切函數(shù)的公式，結(jié)合相似三角形的邊長性質(zhì)，利用勾股定理建立方程來求解；試題2則是利用同角直角三角形，結(jié)合正弦函數(shù)建立方程來求解.解題的關(guān)鍵都是提取直角三角形，提取的方式有：利用切線定義提取，利用圓的直徑構(gòu)建直角三角形.

三、解后反思，教學(xué)思考

1.關(guān)注三角函數(shù)，充分認(rèn)識定義.

初中對于三角函數(shù)的介紹是圍繞直角三角形，借助勾股定理來計算的，同時三角函數(shù)定義是初中的基礎(chǔ)知識，也是連接初、高中相關(guān)知識的紐帶.在教學(xué)中，教師要充分把握三角函數(shù)的教學(xué)要求，引導(dǎo)學(xué)生深刻體會利用三角函數(shù)解決問題的便利性，強(qiáng)化學(xué)生對于函數(shù)公式的認(rèn)識，并結(jié)合題目具體體現(xiàn)三角函數(shù)的應(yīng)用價值，例如，三角函數(shù)與圓的幾何題，要緊密圍繞直角三角形，利用函數(shù)定義針對性講解，通過拓展解題的方式強(qiáng)化學(xué)生對知識的認(rèn)識.

2.聚焦基礎(chǔ)圖形，捕捉構(gòu)造幾何.

上述題目均是通過對性質(zhì)的提取，構(gòu)建直角三角形來求解的，充分體現(xiàn)出圖形捕捉、構(gòu)造的重要性.反思解題過程可知，對于幾何教學(xué)，要重視幾何性質(zhì)的講解，充分引導(dǎo)學(xué)生掌握圖形捕捉、構(gòu)造的思路，使其可以準(zhǔn)確地從繁雜的圖形中識別基本性質(zhì)，獲得解題思路.同時可以結(jié)合習(xí)題教學(xué)，使學(xué)生深刻理解圖形捕捉、構(gòu)造的重要性，增強(qiáng)圖形構(gòu)造和聚焦圖形的意識，從而培養(yǎng)學(xué)生基本的空間幾何觀.

3.重視思想方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)學(xué)的解題過程都是對數(shù)學(xué)思想的充分體現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心也應(yīng)該充分聚焦到思想方法上.知識是解題能力的基礎(chǔ)，能力則是對知識的升華，而數(shù)學(xué)思想則是解題的靈魂.上述幾何題的解題過程充分體現(xiàn)了構(gòu)造思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和方程思想，這些思想是數(shù)學(xué)的精髓，也是提升學(xué)生解題能力的關(guān)鍵所在.因此在習(xí)題教學(xué)中，要注重解后反思，關(guān)注解題方法的提煉，重視學(xué)生解題思想的培養(yǎng)，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為最終目的.

四、寫在最后

對于三角函數(shù)和圓的幾何題，要充分利用三角函數(shù)的基本定義，結(jié)合幾何性質(zhì)，提取特殊圖形，實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到簡單求解的目的.在教學(xué)中，教師要圍繞直角三角形，使學(xué)生充分認(rèn)識三角函數(shù)；聚焦幾何圖形，使學(xué)生深刻理解捕捉、構(gòu)造圖形的意義；提煉解題的思想方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

1.張青云，劉翥遠(yuǎn).遵循問題的本源，提高教師的素養(yǎng)——2016年廣州市數(shù)學(xué)中考第25題思維突破與教學(xué)啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

2.秦怡.回到概念，讓解題念頭“自然生成”——從一道幾何難題的思路突破說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（4）.

3.韓菲菲.無中生圓，圓滿解題——由一競賽題所聯(lián)想到的［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（2）.

4.薛雯.矩不正，不可為方；規(guī)不正，不可為圓——初中數(shù)學(xué)解題規(guī)范的透視與探析［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（20）.