樹立模型意識，轉化圖形求解
——以圓為背景求陰影面積的幾何題為例

☉廣東深圳實驗學校 徐 楓

面積是圖形的一種固有屬性，學習和掌握圖形的面積求法具有重要的現實意義，中考中也相應地出現了求陰影部分面積的幾何題，通常待求圖形的形狀復雜、不規則、復合性強，難以通過面積公式直接求解，需要運用思想方法加以分析，通過問題轉化的方式求解.

一、真題解析，試題點評

1.真題再現.

（2017年長沙市中考卷第23題）如圖1，AB與⊙O相切于C，OA、OB分別交⊙O于點D、E，CD=CE.

圖1

（1）求證：OA=OB；

2.試題解析.

分析：（1）連接OE，通過證明△AOC和△BOC相似來證明OA=OB；（2）求陰影的面積可轉化為：陰影的面積=△BOC的面積-扇形COE的面積，利用（1）的條件可求OB、BC及∠BOC，利用面積公式即可求解.

解：（1）OC⊥AB.

易得△OCD?△OCE，則∠COD=∠COE.

（2）分析可知S陰影=S△BOC-S扇形COE.由（1）得BC=AC=AB，在直角△BOC中，OB=4，BC=2，OC=2，S=

△BOC

3.試題點評.

本題目為以圓為背景求陰影部分面積的幾何題，第（1）問證明邊長相等，實際上也是為第（2）問的陰影面積求解作鋪墊，主要考查扇形的面積計算，以及學生的圖形觀察和綜合計算能力.陰影部分為不規則圖形，無法用已知的面積公式計算，上述解題過程采用圖形割補法，采用“補”的方式將陰影部分轉化為三角形和扇形的面積之差.其中滲透的模型思想和轉化思想是解決該類題重要的思想方法，明確目標圖形，巧用方法轉化問題是求解不規則圖形面積問題的思路，可對其推廣使用.

二、試題鏈接，思路剖析

求不規則陰影部分的面積可采用割補法，對問題的條件和結論進行轉化，使之變為規則圖形的條件和結論.解題時需要樹立基本圖形的模型意識，明確求解目標；然后利用轉化思想，探究解決問題的有效途徑，其中以圓為背景的幾何面積題，扇形的面積公式是解題的基礎知識.

試題1：（2016年四川巴中市中考卷第28題）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，以點O為圓心的圓分別交x軸的正半軸于點M，交y軸的正半軸于點N.劣弧MN的長為x+4與x軸、y軸分別交于點A、B.

圖2

（1）求證：直線AB與⊙O相切；

（2）求圖中所示的陰影部分的面積（結果用π表示）.

分析：（1）求證直線AB與⊙O相切，可作△AOB斜邊上的垂線OD，只要OD=R⊙O，即可證明，求OD的長可以在△AOB中使用等面積法；（2）利用（1）的結論，分析可知：陰影部分的面積=△AOB的面積-扇形MON的面積，先分別求出△AOB的面積和扇形MON的面積然后作差.

圖3

（2）陰影部分的面積=△AOB的面積-扇形MON的面積，即S=S-S.S=·OA·OB=6，S=

陰影△AOB扇形MON△AOB扇形MON

試題2：（2015年江蘇南通市中考卷第24題）如圖4，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，∠ACB=60°.

（1）求∠P的度數；

（2）若⊙O的半徑長為4cm，求圖中陰影部分的面積.

圖4

圖5

分析：（1）∠P可以看作四邊形AOBP的內角，根據PA、PB分別與⊙O相切可知另外兩個內角為90度，∠AOB=2∠ACB，可求∠P的度數.（2）求陰影面積可采用割補法，連接OP，先將陰影分割成以OP為對稱軸全等的兩部分，然后補面積，則S陰影=2（S△AOP-S扇形AOP），結合面積公式即可求解.

解：（1）連接OA、OB，如圖5，PA、PB分別與⊙O相切，則∠PAO=∠PBO=90°，四邊形AOBP的內角為360°.又∠AOB=2∠ACB=120°，則∠P=60°.

（2）連接OP，則△OAP?△OBP，則∠AOP=∠BOP=60°，∠APO=∠BPO=30°.分析可知S陰影=2（S△AOP-S扇形AOP）.

上述試題從整體上來看均為求不規則陰影部分的面積題，第（1）問無論是求直線與圓相切，還是求角的度數，都是為第（2）問的面積計算作基礎，求陰影面積均采用了模型思想和轉化思想，利用割補法將不規則的圖形轉化為基本圖形的面積作差.試題1利用等面積法求三角形斜邊上的高，同時將陰影面積轉化為三角形和扇形面積之差；試題2則是利用內角和求關鍵角，采用先“隔”后“補”的方式對陰影面積進行轉化，從而化“不規則”為“規則”，達到化難為易的解題效果.

三、解后反思，教學思考

1.強化基礎知識，掌握解題方法.

上述求不規則陰影部分的面積實際上是對基本圖形面積計算的考查，其中涉及的弧長計算、切線判定、三角形全等等知識均為初中數學的基礎知識，因此基礎知識的學習強化是解決問題的前提，在教學中應以“扎實學生基礎”為教學重點.求解陰影部分面積的方法有很多，割補法只是其中的一種，解題的關鍵在于引導學生掌握解題的方法策略，靈活變通，有針對性地分析，讓深層思考成為學生的一種思維習慣.

2.關注知識聯系，提升綜合能力.

陰影面積問題實際上是幾何綜合問題，涉及眾多的幾何知識，例如，三角形全等的判定及性質、弧長計算、等面積求高等，正是對知識的綜合運用才實現了問題的解答.學習知識間的聯系性是初中數學的重點內容，也是構建知識體系必不可少的環節，對于學生數學能力的提升有著重要的意義.在教學中應在鞏固學生基礎的前提下開展知識融合性教學，結合實際問題引導學生體驗綜合問題的解題思路，學習知識綜合運用的技巧，促進學生綜合能力的提升.

3.反思解題過程，學習思想方法.

求陰影面積的過程中首先是通過對不規則圖形的

分析，明確了圖形的結構特點，確立了解決問題的目標，然后利用割補的方式將圖形轉化為基本圖形，其中滲透著模型思想和轉化思想，正是對上述兩種思想的靈活使用，才找到了解決問題的基本策略.解題的目的不在于解題本身，而在于學習其中的解題方法，然后將其上升到思想高度，獲得思想層面的提升，因此在教學中教師有必要引導學生反思解題過程，提煉解題思想，讓學生在數學思想的引導下探尋解題策略，如此良性循環，使學生獲得思想上的提升.

四、寫在最后

解決“陰影部分面積”的方法很多，割補法只是其中一種，靈活運用可通過基本圖形來求解不規則圖形的面積，“樹立模型意識，明確目標圖形；采用轉化思想，探究解題方法”是該類題的基本解題思路.在教學中要引導學生注重基礎知識，關注知識間的聯系性，掌握解題方法，學習知識綜合運用的技巧；反思解題過程，提煉解題思想，促進學生數學素養的提升.

1.程自順.背景熟悉，方法常規，突出考查能力——2015年陜西中考數學第25題評析［J］.中學數學（下），2016（1）.

2.袁麗華.例談數學解題研究的幾個視角［J］.中學數學（下），2017（3）.

3.吳正東.建立數學模型，強化學生解決問題的能力［J］.數學教學通訊，2017（25）.

4.丁堅鋒.剝開表象認本質，幾何直觀助析題——從一道幾何題的解決說起［J］.數學教學通訊，2017（23）.