例談重視問題轉化的思維過程

☉江蘇省張家港市第二中學 郭金芝

眾所周知，數學問題的研究離不開轉化.波利亞在如何解題中說：“數學解題正是以一種復雜形態向一種簡單形態轉換的過程.”我們用一個恰如其分的比喻：水的形態是多樣的，常溫是液體，超過100℃以氣態存在，低于零度又以固態存在，這就是水分子在不同背景下的形態，猶如充分必要條件一般，相互間可以轉換，但卻不改變本質.

現階段對于學生學習最為困難的是知識的靈活運用，通俗易懂一點來說，即如何用學過的知識解決陌生的問題，這就涉及問題的轉化如何與知識銜接.筆者認為，在教學中如果能夠將這個轉化環節演繹好，就能將學生從陌生的情境中抽離出來，重新使其置身于熟悉的知識背景，才是學習最為關鍵的部分.本文結合教學實際案例，談一談如何實現這種轉化的思維過程，不當之處懇請讀者指正.

一、注重數學本質的理解

數學本質是什么？筆者認為主要是數學概念，如函數的概念是否理解透徹？絕對值的概念是否懂其代數本質和幾何意義等.而這一數學概念的深刻理解，需要通過問題的轉換才會理解深刻.

問題1：如圖1所示，記C是線段BD上的一個動點，分別作AB⊥BD于點B，ED⊥BD于點D，連接AC和AC.現給出長度數據：AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x.

圖1

（1）問：AC+CE能否用含有x的代數式進行表達？

（2）當動點C移動到何處時，AC+CE有最小值？

思維：本題所使用的基本知識主要是勾股定理，當完成勾股定理的建構之后，思考如何解決最小值問題.這里對于學生來說，第（1）和（2）問基本能夠獨立完成，但是獨立思考第（3）問恰恰是因為有了前兩問的鋪墊而形成的.這里教師巧妙設計了問題的分解，將問題轉化的思維過程用（1）和（2）兩個小問展示出來，為學生獨立解決整個問題提供了完整的思路.

筆者就學生做過的問題，還進行了數據分析，以筆者任教班級為例：

教師在設計問題的時候，巧妙地將第（3）問解剖為兩個小問題，暴露了代數問題尋求幾何方式的解決方案，將以形輔數滲透到問題解決的思維中，形成理解.

意圖：問題如何轉化？從數學本質的角度去思考、理解，對于問題的轉換是一個重要的方向.為什么筆者將數學本質的理解如此推崇？原因很簡單，每一個數學問題必然是有目的、有針對性地考查知識，而且考查的知識必定屬于核心知識，研究問題的背景，轉換到合理的知識狀態下解決.學生的困擾主要是對式子+的本質意義的理解和缺乏數學建模能力的訓練.

二、注重類比轉化的滲透

不少數學概念都是通過類比得到的，類比成為數學學習的一個重要手段.而類比的能力，學生或多或少都擁有，其從已知知識類比獲取其他知識，這種問題轉化的思維過程，可以通過類比教學來實現.比如說，分式基本性質如何實現教學？這里的問題學生是否能夠理解透徹？觀察圖2.

圖2

研究分式的變形可以從分式的基本性質入手，以具體實際實數為例，學生的感受是相當的直截了當，這里由特殊到一般的數學思想，大大加快了學生問題轉化的思維過程，這種類比轉換的能力是學生亟需培養的.

另一方面，類比轉化的思路帶給我們的不僅僅是某些問題的解決，還給我們帶來了大量的解決思想指導.在幾何學習中，相似三角形的學習過程不正是全等三角形學習的繼續嗎？正方形的相關性質不正是矩形、菱形的進一步拓展嗎？如：通過直線和圓的位置關系去類似轉化思考圓和圓之間的位置關系，如何獲取思維過程？

學生知道，直線和圓的位置關系只有三種：相切、相離和相交.這三種位置關系是如何感知的？顯然從圖形化最直觀的角度即可思考.將問題背景轉化為圓和圓，利用類比直觀感受，獲得位置關系的可能性，體現轉化中的思維過程.

問題2：已知Rt△ABC，D1是斜邊AB的中點，過點D1作D1E1⊥AC于點E1，連接BE1交CD1于點D2；過點D2作D2E2⊥AC于點E2，連接BE2交CD1于點D3；過點D3作D3E3⊥AC于點E3，…，如此繼續，可以依次得到點D4，D5，…，Dn，分別記△BD1E1，△BD2E2，…，△BDnEn的面積為S1，S2，…，Sn，則Sn=______S△ABC.

思維：解決本題的關鍵在于首先分析問題的特殊情形，然后通過第一個三角形的處理分析進而形成知識類比，將問題進行類比解決.過點B作BF1⊥D1E1于點F1，令E2，E3，…，En在BF1上的投影分別為F2，F3，…，Fn，則易知

意圖：以一個具體實例，可以分析問題轉化的途徑，選擇第一種情形下的三角形面積關系——類比第二種情形下的關系——獲得知識本質相似三角形的處理——最終解決問題.在問題實際處理過程中，這種思維不斷提升的過程凸顯了轉化的想法.

三、注重模式識別的策略

模式識別是一種心理學認知手段，其強調學者總在不斷將陌生的問題轉化為自己熟知的知識體系，學者不斷進行匹配，尋找最合適的、最熟悉的模型進行求解.可以這么說，數學問題的解決正是模式識別的一個過程.在這一過程中，筆者認為重要的是如何實現這一思維過程，這遠比解決問題來得重要.

問題3：如圖3所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=DB，AE=CF.求證：DE=DF.

圖3

思維：由△ABC是等腰直角三角形可知，∠A=∠B=45°，由D是AB中點，可考慮連接CD，易得CD=AD，∠DCF=45°.從而不難發現△DCF≌△DAE.

證明：連接CD，因為AC=BC，所以∠A=∠B.因為∠ACB=90°，AD=DB，所以CD=BD=AD，∠DCB=∠B=∠A.因為AE=CF，∠A=∠DCB，AD=CD，所以△ADE≌△CDF，所以DE=DF.

意圖：本題模型應該屬于學生認知結構中的模型，在等腰三角形中，學生知道處理的常規方式即通過頂點向斜邊引中線、角平分線等嘗試，這一思維過程可以體現學生對于等腰三角形模式的正確識別，有了這樣熟悉的問題情境，自然能夠將思維引導到新的問題中，從而獲得解決.本題以C為頂點作斜邊AB的中線，利用全等三角形證明之.

問題4：如圖4所示，已知AB=CD，AD=BC，AE=CF.求證：∠E=∠F.

圖4

思維：連接AC，在△ABC和△CDA中，因為AB=CD，BC=AD，AC=CA，所以△ABC≌△CDA（SSS），所以∠B=∠D.因為AB=CD，AE=CF，所以BE=DF.

意圖：本題模型并不常見，學生往往陷入一種陌生的情境之中.思考要證明角相等的途徑，很自然可以想到全等三角形的知識.問題的關鍵是尋找一條合理的輔助線，經過嘗試不難發現連接AC，這一思維展示成為問題破解的關鍵.這里體現了問題轉化途徑中，模式識別到全等三角形這一知識的重要性，幫助學生思考證明的方式是教師教學的關鍵.

綜上，本文以問題轉化過程中的思維為導向，引導學生在解決陌生情境問題中思考數學知識是如何嫁接成功的！這種嫁接成為教學需要關注和思考的.筆者才疏學淺，懇請讀者指出不足并指正.

1.朱永祥.再談數學思想方法的挖掘和運用［J］.中學數學，2012（2）.

2.金鳳明.庖丁解牛與數學轉化解題［J］.上海中學數學，2015（4）.

3.朱卿.基于高效數學課堂教學的實踐與思考［J］.中小學數學，2013（6）.

4.波利亞，著.涂泓，馮承天，譯.怎樣解題［M］.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?002.H