如切 如磋 如琢 如磨
——管窺教學中自我糾錯的方式

☉浙江省湖州市第四中學 陳孝鳳

一、問題起源

問題：如圖1，在Rt△AOBy中，∠OAB=90°，OA=6，OA為x軸的正半軸，OB、OA分別與雙曲線y=（k≠0），y=（k≠120）相交于點C和點D，且BC∶O CO=1∶2，若CD∥OA，則點E的橫坐標為（ ）.

圖1

分析：本題是2016年湖州二模中的一道選擇題，閱卷時令筆者驚訝的是，竟然有不少學生沒有求得正確選項A.觀察圖像，由BC∶CO=1∶2，可以得到xC=4，結合圖形檢驗顯然xE＞4.為什么會有相當一部分學生出現這樣的錯誤呢？值得筆者深深的思考.

思考：縱觀當下初中數學學習，我們不難發現，學生在遇到煩瑣的運算時往往依賴計算器或者各種APP，這樣的手段加快了作業效率，但是也帶來了自主運算能力的下降，這與2016年新課程標準提出的重視數學科核心素養之一數學運算素養背道而馳.面對錯誤，學生往往以“粗心”為借口，殊不知這種“粗心”背后真正的原因是什么？更不知道如何解決這一困擾.筆者認為，要實現解題的正確性，既要重視本身的運算能力的培養，也要注重檢驗手段的輔助，兩者相輔相成，幫助學生實現自我糾錯能力的提高.

二、切磋琢磨

自我糾錯是指學習者在解題過程中，根據自我監控，對自己出現的錯誤進行改正.通常包括兩個方面的內容：一是對所得的解的檢驗.例如，是否有多解、丟解或錯解.二是對解題過程的檢驗.例如，已知數據是否看錯、用錯或遺漏、圖形是否畫錯等，已知條件是否全用上、有否錯用條件、有否亂用法則、推理是否步步有依據，運算是否正確、數據有沒有看錯或抄錯，解題格式是否有錯、步驟是否完整、表述的語言是否達意等.但很多學生往往忽視了檢驗的重要作用，做完題目后不認真檢驗，甚至不檢驗，導致出現很多不應該的錯誤，也影響了學生對知識的掌握.

具體的檢驗途徑和方法是多種多樣的，我們熟知的常用的檢驗方法有：基本概念、法則、公式來檢驗；常識檢驗；數形結合檢驗；等價檢驗；整體檢驗；直接檢驗；回顧檢驗；逆運算檢驗；代入檢驗；精確作圖檢驗等.筆者依據在一線教學多年的經驗，反思歸納，根據不同的數學試題特征，以及數學知識的內部聯系出發，在下文中討論幾種既靈活又簡便的自我糾錯方法，以實現學生糾錯能力的提升.

1.估算檢驗法

根據題中條件，先粗略估計正確結果的取值范圍，如計算結果不在此范圍之內，說明解答有誤.一切客觀事物，各自都有一定的量的規定性.如果有關的數據極大地超出了相應的數值范圍，那么人們對它的真實性就會產生這樣或那樣的懷疑.當解題過程是否等價變形難以把握時，可用估算的方法進行檢驗，以避免忽視充要條件而產生邏輯性錯誤.估算能開拓思維，培養和提高分析能力和實際應用能力.在中學數學中，主要可以借助學生的自我經驗和圖形手段實現.

（1）經驗估計檢驗.

經驗估算是以人們的生活實踐經驗，去估算答案的真實性.例如，人的高度不可能達到5米以上；在解速度應用題時，人的速度不可能大于每秒20米；在工程問題中，合作完成所需時間必少于單獨完成所需時間等.一般說來，命題是以客觀事物的數量指標為背景的，所以在通常情形下，經驗估算是一種簡便易行的檢驗方法.為了用好這種方法，在生活實踐中，必須注意觀察周圍事物，熟悉它們的量的規定性.

（2）圖形估計檢驗.

幾何題目常常需要根據圖形來求解，但在平時的練習中，不可能也不需要每個題目都畫精確圖來求解.此時根據題意畫出草圖，可估算出答案的大致范圍，以便快速的檢驗.如求y=3x+2與y=x-2的交點坐標時，根據草圖可得它們的交點在第三象限，如此解的范圍就有了，明顯的錯誤答案馬上可以排除.另外在其他的幾何作圖中（如作軸對稱、平移、旋轉變換等），我們同樣可以先估算出像的大致位置，以提高作圖的正確率.

2.對稱原理檢驗法

對稱，顧名思義，就是兩個事物（或同一事物的兩個方面）相對而又相稱.如果A、B是具有對稱性的兩個事物（或同一事物的兩個方面），那么把A、B交換順序，其結果不變.對稱原理不僅是中學數學內容中一個重要的概念，更是一種重要的思想方法.對稱的條件勢必導致結論的對稱，利用這種對稱原理可以對答案進行快速檢驗.

比如，因式分解（ab+1）（a+1）（b+1）+ab=（ab-b+1）·（ab+a+1）.結論顯然錯誤.左端關于a、b對稱，所以右端也應關于a、b對稱，正確答案應為（ab+1）（a+1）（b+1）+ab=（ab+b+1）（ab+a+1）.

3.特殊值檢驗法

要證明一個判斷是假的，只要指出使這個判斷成立的一個必要條件不具備就可以了.特例檢驗正是基于上述思想，是用適合題意的某些特殊數值、特殊條件或特殊圖形，來確定答案是否錯誤的一種檢驗方法.

比如，在學（a+b）2=a2+2ab+b2時，很多同學經常把2ab遺漏.其實，只要把a=1，b=2代入所求的式子，很快就可以得到等號的左右兩邊是不相等的，從而得知公式用錯了.在選擇題的處理中，筆者常常引導學生用特例去尋找正確選項，這種方式既有助于數學程度較弱的學生獲得正確答案，也提高了這些學生的自我糾錯能力.

4.條件檢驗法

解答數學題，關鍵在于充分利用題設條件與結論或條件與問題的內在聯系.條件檢驗是從數學題的條件入手，全面檢查已知條件是否充分利用，題解的各個環節與已知條件是否矛盾的檢驗方法.題解的錯誤和無法求解，常常來自忽視了隱含條件.因此，在進行條件檢驗時，要在觀察和分析題中的隱含條件上多下功夫.

比如，現有一凸多邊形，最小內角∠A=120°，其他各內角的度數依次為∠B=125°，∠C=130°，∠D=135°，…，求這一凸多邊形的邊數.

解答如下：設多邊形的邊數為n，則其內角和為（n-2）180°.根據題意可得n［120°+120°+5°（n-1）］=2×180°（n-2）.整理后得n2-25n+144=0，解得n1=9，n2=16，即這是9邊形或16邊形.

思考：上述解答似乎無懈可擊，但細察題中條件，這是一個凸邊形，依據定義，它的任一內角都應小于180°，而當n=16時，最大的內角為120°+（16-1）×5°=195°＞180°.這就表明，n=16是不合題意的，應當舍去.條件檢驗是一種重要的檢驗方法，不僅可以排除錯誤，而且還可以幫助我們發現正確的解題途徑.因此，解決問題過程中時時觀察條件的影響，有助于我們提高問題解決的效率，往往可以“柳暗花明又一村”.

三、方得始終

教學是一門值得教師深入研究的藝術，本文從一個問題的錯誤中，筆者思考了學生對于問題解決過程中常常犯的錯誤，如何引導學生去自我審視、自我發現、自我糾錯，成為教學更為高效的有效補充.本文中筆者從教學一線的實踐中，通過“切、磋、琢、磨”列舉了一些常用的、符合學生視角的檢測方式，旨在努力提升學生的糾錯能力.

最后，筆者想說自我糾錯是給出正確題解的一個重要環節，自己檢驗答案不僅能糾正錯誤，還能有效培養思維的嚴謹性、靈活性、深刻性，提高元認知水平，從而提升學生的自主學習能力.養成自我糾錯的習慣，減少解題時的失誤，讓數學學習變得有效和高效，從而讓學生的數學學習變得“方得始終”.

1.徐曉紅，黃加衛.習題解答的檢驗方法述評［J］.中學數學月刊，2007（9）.

2.王鵬飛.檢驗數學題解的常用方法［J］.中學數學教學參考，2015（2）.

3.丁曉山.中國學生學習法（中學數學版）［M］.北京：大眾文藝出版社，2005.

4.沈恒.采菊東籬下悠然見南山——課堂教學行走在“兩極”之間［J］.中學數學（下），2016（6）.H