淺論數學哲學

【摘要】數學哲學是一切數學領域的最根本的成分，它本身也是一門基本的哲學學科分支之一。數學哲學的研究會涉及到數學中的最原始的概念與定義。在這篇論文中，我們將從一個具體的物理學定律——牛頓第一定律——的數學與歷史的描述，去嘗試討論數學哲學中的一些最基本的概念的數學與哲學內涵。

【關鍵詞】數學哲學；牛頓第一定律

【作者簡介】肖堯文，成都市實驗外國語學校西區。

一、牛頓第一運動定律的數學描述

數學家柯朗與羅賓在合著的名著《數學是什么？》中曾經寫到：“對于有學問的人和對普通人一樣，要回答‘什么是數學這個問題，只能通過在數學中的切身體驗，而不靠什么大道理。”

事實上，這個問題屬于數學哲學范疇的問題，它是一切數學領域的根本成分，它本身也是一門基本的哲學學科。數學哲學的研究會涉及數學中的一些最基本的概念與定義，在這篇論文中，我們便嘗試著從一個具體的物理學定律的角度，去切身體驗數學哲學中的一些最基本的概念。

這一節中，我們首先簡單地回憶并評論我們這篇論文中最核心的主題——牛頓第一運動定律。

牛頓第一運動定律，又簡稱為牛頓第一定律。又稱為慣性定律、惰性定律等。常見的完整表述如下：任何一個物體都要保持勻速直線運動，或者靜止狀態，直到有外力迫使它改變自己本來的運動狀態為止。

英國數學家、物理學家艾薩克·牛頓于1687年，在其不朽的巨著《自然哲學的數學原理》里，第一次系統性地提出了運動定律的嚴格數學表述，特別地，牛頓第一運動定律就是其中的一條定律。并且牛頓第一定律與牛頓第二、第三定律一道構成了牛頓力學的完整體系。

首先，牛頓第一定律第一次準確地給出了慣性系的概念。并且，牛頓第二、第三定律以及由牛頓運動定律建立起來的質點力學體系只對慣性系成立。因此，牛頓第一定律是不可缺少的，它是完全獨立的一條重要的力學定律。這條重要的物理學定律，用嚴格的數學語言表示如下：

二、牛頓第一運動定律的歷史動機

在這一節中，我們從歷史的角度，簡單地梳理牛頓第一運動定律的歷史動機。

公元前5世紀，哲學家伊壁鳩魯、德謨克利特就曾經有過如下的猜測：“當原子在虛空里被帶向前進，而沒有東西與他們碰撞時，它們一定以相等的速度運動。”

公元前4世紀，古希臘偉大的哲學家亞里士多德也在他的著作《物理學》中也曾經歸納到：力是維持物體運動的原因，有力就有運動，沒有力就沒有運動。

公元6世紀，希臘學者菲洛彭諾斯對亞里士多德的運動學說持批判態度。與亞里士多德的觀點迥異的是，他認為拋體本身具有某種動力，推動物體前進，直到耗盡才趨于停止，這種看法在歷史的進程中緩慢地發展，一直到公元14世紀左右，原始的想法成熟地發展為了“沖力理論”。具體地說，在那時，以布里丹、阿爾伯特、奧里斯姆等科學家提出“沖力理論”，他們認為：推動者在推動某一物體運動時，便對它施加了某種沖力或者某種動力。速度越大，沖力越大；當沖力耗盡時，物體就停止運動。

經過大約三百年左右幾乎停滯的研究，運動學在中世界后期得到了突破性地進展。在公元17世紀，意大利著名的物理學家與實驗學家伽利略，在自己的著作中多次提出了類似于后來的慣性原理的說法。他分別于1632年和1638年，在《關于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》和《關于力學和運動兩種新科學的談話》（簡稱《兩門新科學》）兩部著作中詳細地記錄了他的理想斜面實驗，并由此推想得到他的結論：“假設物體沿光滑斜面落下，并沿著另一斜面向上運動，那么物體將不受斜面傾角的影響，仍將達到和原來同樣的高度，只是需要的時間不同而已。” 伽利略得到的結論，打破了自遙遠的古希臘時代的科學傳統的奠基人亞里士多德以來，近一千多年間關于受力運動的物體地物理描述，當外力停止作用時，運動的物體便歸于靜止的陳舊觀念。伽利略的思想無疑地比他的前輩們前進了一大步，某種意義上說，他的結論已經非常接近慣性定律。但是伽利略本人還沒有完全徹底地擺脫亞里士多德的影響，所以在科學史上，科學哲學家們還不能定義伽利略發現了慣性定律。

幾乎在同一個時代，公元1644年， 著名的法國哲學家笛卡爾在他的《哲學原理》一書中彌補了伽利略的不足。他明確地指出，除非物體受到外因的作用，否則物體將永遠保持其靜止或者運動狀態。并且笛卡爾還特別地聲明，作慣性運動的物體將永遠不會使自己的運動軌跡趨向于曲線運動，而只會保持在直線上運動。笛卡爾嘗試把這條基本原理表述為兩條定律：1.每一個單獨的物質微粒將繼續保持同一運動或者靜止的狀態，直到它與其他的微粒相碰撞而被迫改變這一狀態為止；2.所有的運動，其本身的運動軌跡都是沿著直線運動的。雖然笛卡爾的描述，在嚴格的數學科學語言的層面上，已經遠遠超出了伽利略對運動物體的基本原理的直觀的物理科學語言描述，然而笛卡兒并沒有嚴格地建立起他試圖建立的那種能完備地演繹推理出各種各樣自然現象的科學體系，并且，從嚴格的數學科學語言的層面上，其中許多描述是錯誤的。不過他的思想對于牛頓綜合一切實驗現象以及已有的運動物體的基本運動原理，產生了一定的影響。值得一提的是，笛卡兒的偉大貢獻在于他是第一位認識到力是改變物體運動狀態的原因。

公元1687年在科學史上是一個值得紀念的年份。在這一年，英國數學家、物理學家牛頓在笛卡爾、伽利略等前輩或者同輩的科學家的工作的基礎之上，撰寫了偉大的著作——《自然哲學的數學原理》。在這本不朽的科學著作中，牛頓擺脫了一切舊觀念的束縛。他把慣性定律作為第一原理第一次以一種最準確、嚴格的數學科學語言，正式地提了出來：一切物體總保持勻速直線運動狀態或者靜止狀態，除非作用在它上面的外力迫使它改變這種狀態為止。同樣的，牛頓指出了保持勻速直線運動狀態和靜止狀態是物體的固有屬性的觀點，以及從中發現了慣性參照系的概念。

三、定理，定律，公理——數學哲學中的基本概念

通過以上對牛頓第一運動定律的數學與歷史的描述，我們可以發現，牛頓第一運動定律是一個通過大量的實驗，而進行演繹推理得出來的結論。對于它的數學表達式，是通過數學建模而得出的經驗公式，它并非一個可以通過已有的數學與物理公式，經過邏輯推導而得出來的結論。

我們也不難從中得出，數學定律是一種通過對自然現象進行數學歸納，而得出的一類經驗公式；而另一方面，定理是通過公理體系和已有的結論進行邏輯推導的結果；定律是可以推翻的，它不可通過邏輯推導嚴格地證明的；而定理就像公理一樣，是不可推翻的，而能夠進行嚴格地證明的。

更進一步地說，在數學哲學層面上，關于定理，定律，公理，他們的區別如下：定理是建立在公理體系之上的，在公理體系的假設基礎上，經過嚴格的邏輯推理和證明而得到的結論。定律是一種理論模型，它用以描述特定情況、特定尺度下的現實世界，在其它尺度下可能會失效或者不準確。而公理是經過長期實踐后被公認為正確的命題。公理的正確性不需要用邏輯推理來證明，而定理的正確性則需要邏輯推理來證明。在物理學中，定理是通過嚴格的數學工具（如微積分）進行邏輯推理而得來的，例如我們所熟知的動能定理；而另一方面，定律則是由反復的實驗得出或驗證的結論，例如機械能守恒定律。

定理，定律，公理這三者都是用來描述不同的客觀事實的概念，不同之處只是在于它們有不同的應用限度，在不同的條件下有著不同的因素在改變著他們其中的哲學內涵。就像物理學中的慣性這個概念一樣，它不像動能，可以用焦耳度量，慣性是無法用數據來度量的，我們只能說物體具有慣性。牛頓第一運動定律，更準確、直觀的描述就是慣性定律。牛頓在思考這個概念時，他追隨著菲洛彭諾斯的“沖力理論”，并且對亞里士多德的觀點提出質疑，這個“沖力理論”便用一個新的名詞——慣性代替了。然后他綜合了伽利略與笛卡爾《關于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》、《關于力學和運動兩種新科學的談話》和《哲學原理》的觀點，撰寫了偉大的《自然哲學的數學原理》。牛頓在書中多次利用三個基本的運動定律對簡單的受力物體場景，進行嚴格的數學分析，于是就產生推論1：物體同時受到兩個力作用時，其運動將沿平行四邊形對角線進行，所用時間等于二個力分別沿兩個邊所需的時間和。推論1，也就是常用的平行四邊形法則，推論2即力的合成與分解，推論3就是后來動量守恒的前身。《自然哲學的數學原理》雖然出版至今已經400余年，無數的物理學教科書、科普著作，對經典物理運動學的敘述已經可以完全取代這本偉大著作，但是，由于其在科學發展史上不朽的地位，這本著作直到今天，對于那些有心的讀者當作好玩珍品來閱讀，仍然有其重要的意義。

最后，站在現代的科學角度，我們可以簡單地評價一下牛頓定律。在經典力學中，基本的定律就是牛頓運動定律或與牛頓運動定律相關且等價的其他力學原理。在20世紀以前的力學研究中，有兩個基本假定：其一是假定時間和空間是絕對的，長度和時間間隔的測量與觀測者的運動無關，物質間相互作用的傳遞是瞬時到達的；其二是一切可觀測的物理量在原則上可以無限精確地加以測定。20世紀以來，由于物理學的發展，特別是量子力學的發明，經典力學的局限性暴露出來。如第一個假定，實際上只適用于與光速相比低速運動的情況。在高速運動情況下，時間和長度不能再認為與觀測者的運動無關。第二個假定只適用于宏觀物體。在微觀系統中，所有物理量在原則上不可能同時被精確測定。因此經典力學的定律一般只是宏觀物體低速運動時的近似定律。

參考文獻：

[1]牛頓.自然哲學的數學原理[M].商務出版社，2018.