“導數”等同于“導函數”？

何名慰

蘇教版教材指出：在不引起混淆時，導函數f′（x）也簡稱為f（x）的導數；人教版也有類似的說法：本書中，如果不特別指明求某一點的導數，那么求導數指的就是求導函數.

言外之意，“導函數”跟“導數”可能被混淆.“導數”、“導函數”，你們到底是幾個意思？

欲知答案，且聽我慢慢道來.

先請各位觀賞一下我的一個小伙伴完成的一道練習題：

已知函數f（x）＝x3，則該函數圖象在x＝1處的切線方程為y＝3x3-3x2+1.

此解一出，全班的小伙伴們都驚呆了！這個方程表示的圖形顯然連直線都不是，太不合理了.

后來我才知道，他解題的真相是這樣的：

“先求切點f（1）＝1，所以切點為（1，1），再求導數f′（x）＝3x2，由導數就是切線斜率和直線的點斜式得切線方程為y-1＝3x2（x-1），化簡得y＝3x3-3x2+1”.

其實這就是混淆了導數與導函數的結果.當我們講“導數就是切線斜率”這句話時，真實的含義是“函數f（x）在x＝x0處的導數就是該函數圖象在點P（x0，f（x0））處的切線斜率”.而這里“導數”肯定是一個數值，不是函數，當然就不是“導函數”的簡稱了.

這么說來“導數”跟“導函數”確實不是一個意思，但它們也不是相互獨立的兩個意思.

實際上我們可以像“求某個數的平方”、“求某個數的倒數”一樣把“求函數f（x）在某處的導數”也看成一種對應法則.在函數f（x）是可導函數的前提下，定義域中的每一個實數x都會對應唯一的切線斜率，即導數，這時“求函數f（x）在某處的導數”這個對應就是一個名副其實的函數了，也就是我們所講的“導函數f′（x）”.

也許可以這樣理解導數與導函數的關系.比如一個服裝生產商的兩個部門，一個負責給客戶定制服裝，另一個負責流水線生產不同型號、不同款式的服裝.“函數f（x）在x＝x0處的導數”就是定制，“導函數f′（x）”就是流水線生產.

但是從數學上講，“定制”函數f（x）在x＝x0處的導數與“流水線生產”函數f（x）的導函數f′（x）并沒有什么質量上的差別，唯一的差別就是“定制”效率低，只能求一處的導數；“流水線”效率高，求出了導函數f′（x），更方便于求各處的導數.事實上，“函數f（x）在x＝x0處的導數”就是導函數f′（x）的一個函數值f′（x0）.

回到開始處，那名可愛的小伙伴犯錯誤的地方，顯然切線的斜率應該為“k＝f′（1）＝3”，所以切線方程為“y-1＝3（x-1）”，化簡得“y＝3x-2”.

其實，從導數概念發展的歷史來看，求曲線的切線問題和求即時速度的問題在公元17世紀廣泛地被人們研究，研究者當中有許多著名的數學家、物理學家甚至天文學家.經過了幾代人的努力，終于有人發現，這兩種問題本質是相同的，并且運用函數、極限的思想給出了一般性的解決方法.接下來不斷有人研究這個問題，一晃200多年過去了，直到公元19世紀60年代，“導數”或者說“導函數”才有了現在的嚴格定義（我們的課本中還不是定義的“最高版本”）.從這個角度來看，“導數”也好，“導函數”也罷，它們其實都是函數思想、極限思想的成功運用.如果從廣義上把“導數”就理解為這樣的研究方法，“導函數”簡稱為“導數”恐怕也就好理解了.

課堂上我會問那些小伙伴們“這道求切線的問題用什么方法做呀？”，通常會得到這樣的齊聲回答“導數”.同樣的兩個字，有的同學可能是“有口無心”，有的則以為求了“導函數”就完事了，更多的同學則明確地知道求了“導函數”還要代入具體的橫坐標，得到的函數值才是切線斜率，這是正確的做法.當然可能也有同學會深刻體會到，“導數”，這是多少研究者積淀下來的思想精華，其核心就是逼近再逼近，然后顯現出極限，切線是這種極限，瞬時變化率是這種極限，導數、導函數都是這種極限.

導數與導函數到底是幾個意思？可以說它們是一個意思，因為導數是導函數的簡稱；可以說它們是兩個不同的意思，因為在求切線方程時，某一點處的導數是個數值，而導函數是個函數；當然，導數與導函數還可以就是一個意思，那是同一種數學思想，同一種文化的味道.