從幾對(duì)似同實(shí)異的題目說起

孫夏珍

我們都知道解題離不開思維，卻不一定知道“解題”與“思維”哪個(gè)是手段哪個(gè)是目的.有人認(rèn)為訓(xùn)練思維的目的是為了解題，于是題目解完了就算大功告成了，就立即去解下一道題了.實(shí)際上解題只是手段，訓(xùn)練思維才是目的，因而解題過后的反思必不可少.

有些同學(xué)顛倒了手段與目的的關(guān)系，變成了為解題而解題，熱衷于“題型訓(xùn)練”，只想著“套解法”.這樣做的后果，很可能是在平時(shí)確實(shí)“掌握”了不少題型，但在應(yīng)用的時(shí)候連“題型”都識(shí)別不清，遑論復(fù)雜情境下的變形與轉(zhuǎn)換了.數(shù)學(xué)上有些題目，形式上非常相近本質(zhì)上卻相差甚遠(yuǎn)，是很容易張冠李戴的，只有在思維上訓(xùn)練有素才能認(rèn)清它們.

一、“當(dāng)”與“僅當(dāng)”

例1（A）若當(dāng)x＜1時(shí)，表達(dá)式lg（1+2x+3x+4x a）有意義，請(qǐng)研究a的取值情況.

（B）若僅當(dāng)x＜1時(shí)，表達(dá)式lg（1+2x+3x+4x a）有意義，請(qǐng)研究a的取值情況.

說明這是兩個(gè)完全不同的題目，僅從答案你就能看到二者間的巨大差異：（A）的答案是一個(gè)范圍（B）的答案是一個(gè)值.詳解如下：

解（A）“當(dāng)”x＜1時(shí)，表達(dá)式lg（1+2x+3x+4x a）有意義，即?x∈（-∞，1），恒有成立，即恒成立.左邊為減函數(shù)，故，從而知，即.

（B）“僅當(dāng)”x＜1時(shí)，表達(dá)式lg（1+2x+3x+4x a）有意義，則除了上面“當(dāng)”的條件而外，還有“當(dāng)x≥1時(shí)，表達(dá)式lg（1+2x+3x+4x a）恒無意義”，即 ?x∈ （-∞，1），恒有1+2x+3x+4x a≤0成立.這時(shí)仿照上面的過程可求得.綜合知.

注意，這里“當(dāng)”給出的是一個(gè)充分條件，“僅當(dāng)”給出的是一個(gè)充要條件.“僅當(dāng)”實(shí)際上相當(dāng)于邏輯用語中的“當(dāng)且僅當(dāng)”，后者更明顯地突出了“充分”和“必要”兩個(gè)方面的要求，因而更為人們所喜聞樂見.

二、“存在”與“任意”

例2橢圓L的焦點(diǎn)是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）.

（A）若點(diǎn)P在L上，則，求L離心率的取值范圍.

（B）若點(diǎn)P在L上且，求L離心率的取值范圍.

說明你能體會(huì)到兩個(gè)小題之間的差異嗎？為便于比較，我們同樣先給出答案，如下：（A）

解設(shè)P（x，y），則由得 （-3-x，-y）·（3-x，-y）≤7，化簡(jiǎn)得x2+y2≤16，即點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓及其內(nèi)部.設(shè)L的方程為0），且c＝3.如圖1所示.

（A）若點(diǎn)P在L上，則，則L上的任意點(diǎn)都在上述的圓及其內(nèi)部，故a≤4.從而知，即離心率的范圍是

圖1

（B）點(diǎn)P在L上且，意為L上存在點(diǎn)P滿足所述的條件，即b≤4，從而a≤5.故，即離心率的范圍是

三、“連續(xù)”與“離散”

例3（A）函數(shù)（λ是常數(shù)，λ∈R）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，求λ的取值范圍.

（B）數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an＝（λ是常數(shù)，λ∈R），若｛a｝是遞減數(shù)n列，求λ的取值范圍.

解（A），因?yàn)楹瘮?shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞減，故f′（x）≤0，即得-x2+2x-λ≤0恒成立（當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)）.即λ≥-x2+2x，從而λ≥1.

（B）解法1參照（1）中的解答過程，知只要函數(shù)在[2，+∞）上單調(diào)遞減且f（1）＞f（2），即得.

解法2因?yàn)椋鸻n｝是遞減數(shù)列，故?n∈ N*，恒有an+1＜an成立，即，變形為λ＞，即得.

說明這里的（2）很容易被誤以為等價(jià)于（1），但從解答過程里我們可以看到它們的截然不同.連續(xù)曲線的上升與下降，不同于離散點(diǎn)的上升與下降，在周期性循環(huán)的曲線上，我們也可以找出上升或下降的點(diǎn)列，這給我們提供一個(gè)思考用的背景圖.需要說明的是，我們時(shí)常會(huì)有“連續(xù)自然數(shù)”和“連續(xù)正奇數(shù)”之類的說法，這又加大了把離散變量與連續(xù)變量相混淆的可能性.如果我們用另一個(gè)更常見也更顯簡(jiǎn)單的題目來說明，可能更容易理解.比如下面這個(gè)題目：

數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an＝n2+λn+2（λ是常數(shù)，λ∈R），若｛an｝是遞增數(shù)列，求λ的取值范圍.（答案：λ＞-3）

四、“某點(diǎn)處”和“過某點(diǎn)”

例4（A）已知曲線y＝x3-3x+2，求點(diǎn)P（2，4）處的切線方程.

（B）已知曲線y＝x3-3x+2，求過點(diǎn)P（2，4）的切線方程.

解（A）y′＝3x2-3，故點(diǎn)P（2，4）處的切線斜率k＝9，從而得切線方程是y-4＝9（x-2），即9x-y-14＝0.

（B）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x0，y0），則點(diǎn)A處的切線 方程是.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得，即1）＝0，從而知x0＝2或x0＝ -1，即得切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）或（-1，4），易得切線方程是9x-y-14＝0或y＝4.

說明“某點(diǎn)處的切線”和“過某點(diǎn)的切線”，在一種情況下尤其會(huì)引起混淆，那就是這個(gè)“某點(diǎn)”本身就在曲線上.從這里的（B）我們應(yīng)該看到，即使這個(gè)點(diǎn)在曲線上，也可以不是切點(diǎn)（如圖2）.明白了這個(gè)，混淆就基本消除了.過三次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，有可能作出兩條切線；過正弦曲線上的一點(diǎn)，有可能作出無數(shù)多條切線.

圖2

五、“可以是”與“必須是”

數(shù)學(xué)題中不會(huì)有 “可以是”與“必須是”這樣的說法，它們不是數(shù)學(xué)的規(guī)范用語但是在生活中常用.也許正因?yàn)檫@樣，我們對(duì)此沒有養(yǎng)成足夠的敏感，在解題操作的過程中會(huì)不慎“竄入”這種邏輯上的混亂.尤其可怕的是，如果這種錯(cuò)誤發(fā)生了，則無論自己怎樣檢查，也很難發(fā)現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤.

例5（A）若函數(shù)f（x）＝x3+（a+1）x2+3ax+2（a是常數(shù)，a∈R）在x∈[1，2]時(shí)的最大值是f（1），則a的取值范圍是__________________.

（B）若函數(shù)f（x）＝x3+（a+1）x2+3ax+2（a是常數(shù)，a∈R）在x∈[1，2]時(shí)的最大值是f（2），則a的取值范圍是___________________.

解（A）由圖3可見，即解得.

（B）錯(cuò)解令這是仿照（A）給出的.但是，這個(gè)條件只給出了一種可能性.在此可能性之下固然“可以”導(dǎo)致f（2）取得最大值，卻不能“保證”它取得最大值（圖4）.因此，這種解法是錯(cuò)誤的.

圖3

圖4

正解在x∈[1，2]時(shí)的最大值是f（2），故?x∈[1，2]，恒有f（2）≥f（x），即23+（a+1）22+6a+2≥x3+，即令，故.

結(jié)語

數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，每個(gè)術(shù)語或名詞的含義都是非常明確的，必須能進(jìn)行清晰的辨別.特別是對(duì)于有相似性的名詞，比如極大值和最大值，公約數(shù)和公倍數(shù)、中線和中位線，一定不能滿足于“有印象”或“一知半解”.另外，對(duì)一些變式的說法也應(yīng)當(dāng)根據(jù)語言的邏輯意義準(zhǔn)確把握.