一道向量極化恒等式例題的應(yīng)用

唐潤(rùn)東

一、極化恒等式定義

極化恒等式的幾何意義是：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形ABCD的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的，即，其中M為對(duì)角線AC與BD交點(diǎn).

二、基于定義的思考

在研究向量數(shù)量積的問(wèn)題中，傳統(tǒng)思路是將兩點(diǎn)乘的向量進(jìn)行分解（即一個(gè)向量轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或兩個(gè)以上向量之和），將不便于求的數(shù)量積化為多個(gè)可求的數(shù)量積“逐個(gè)擊破”，或是建立平面直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法對(duì)要求的數(shù)量積進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算來(lái)求得.而向量極化恒等式的出現(xiàn)，引起了筆者的注意，因?yàn)樗蔑@而易見的平方差的方式巧妙地將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為兩向量和的模平方減去兩向量差的模平方，這是在常規(guī)題型中從未見過(guò)的轉(zhuǎn)化方式.筆者進(jìn)一步思考：這個(gè)向量極化恒等式怎么應(yīng)用在解題中呢？在什么條件下應(yīng)用向量的極化恒等式最為便捷和巧妙呢？

三、向量極化恒等式的應(yīng)用

通過(guò)對(duì)大量向量數(shù)量積問(wèn)題的研究，筆者發(fā)現(xiàn)向量極化恒等式在一類問(wèn)題中有極高的應(yīng)用價(jià)值：即當(dāng)｜a+b｜或｜a-b｜中一個(gè)為定值時(shí)分析a·b的問(wèn)題.下面我們通過(guò)幾道例題體會(huì)向量的極化恒等式在研究該類問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性與便捷性.

例1若平面向量a，b滿足｜2a-b｜＝3，求a·b的最小值.

若運(yùn)用傳統(tǒng)思路，為構(gòu)造a·b的數(shù)量積形式，需將條件式兩邊平方后再對(duì)所得式應(yīng)用基本不等式，再應(yīng)用向量模與數(shù)量積的不等式求得最小值：

因?yàn)椋?a-b｜＝3，所以，得.

又4｜a｜2+｜b｜2≥4｜a｜｜b｜≥-4a·b，（當(dāng)且僅當(dāng)2a＝-b時(shí)等號(hào)成立），所以a·，即.

若將2a看作一個(gè)整體，｜2a-b｜＝3是定值，又a·b可看作，故本題完全符合“差對(duì)角線長(zhǎng)為定值”的模型，在本題應(yīng)用向量極化恒等式能大大簡(jiǎn)化步驟：

解（當(dāng)且僅當(dāng)2a＝-b時(shí)等號(hào)成立），所以.

例2已知在△ABC中，BC＝2，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有，t∈ R.求的最小值.

解設(shè)，因?yàn)閠+（1-t）＝0，所以M，B，C三點(diǎn)共線.

接下來(lái)，若運(yùn)用一般做法：以A為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B（x-2，-3），C（x，-3），x∈R，則，，故當(dāng)x＝1時(shí)，.

圖1

圖2

取BC中點(diǎn)N，則

例3在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N分別為斜邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍.

一般做法需建立坐標(biāo)系，以C為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（2，0），B（0，2），故直線AB：y＝2-x.

設(shè)M（x，2-x），N（x+1，1-x），（x∈[0，1]），則，

當(dāng)x＝0或x＝1時(shí)，，所以.

圖3

取M N中點(diǎn)F，則F的極端位置是線段AB的四等分點(diǎn)，那么

當(dāng)F位于AB中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，；

當(dāng)F位于AB四等分點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，，

點(diǎn)評(píng)當(dāng)題目滿足差對(duì)角線為定值時(shí)，利用向量極化恒等式可將研究數(shù)量積問(wèn)題轉(zhuǎn)為研究單一模長(zhǎng)的問(wèn)題，大幅度地將代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的幾何分析，大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

例4設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有，則（ ）

A.∠ABC＝90° B.∠BAC＝90°

C.AB＝ACD.AC＝BC

解取BC中點(diǎn)M，則.

圖4

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD∥P0M.又M為BC中點(diǎn)，所以P0為BD中點(diǎn)，所以，所以D為AB中點(diǎn).

又CD⊥AB，所以CD為邊AB的中垂線，因而AC＝BC，故選D.

點(diǎn)評(píng)在分析已知數(shù)量積最值問(wèn)題中，利用向量極化恒等式，可將數(shù)量積的條件轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)條件，將代數(shù)分析變?yōu)閹缀畏治觯狗治鲞^(guò)程變得便捷明了.