說(shuō)說(shuō)點(diǎn)差法

余建國(guó)

我們先來(lái)看一道高考題：

過(guò)點(diǎn)M（1，1）作斜率為的直線l與橢圓相交于A，B，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為________.

分析直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，解得兩個(gè)交點(diǎn)A，B的橫（縱）坐標(biāo)，利用“M是線段AB的中點(diǎn)”建立齊次方程求離心率.具體實(shí)施中，由于中點(diǎn)公式涉及“兩根之和”形式，正好使用一元二次方程的韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

解直線l的方程為1），即，代入橢圓C的方程，得，整理得.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個(gè)根，所以.

因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，所以1，即，化簡(jiǎn)得a2＝2b2＝2（a2-，離心率.

雖然上面的解法中使用了韋達(dá)定理已經(jīng)簡(jiǎn)化了運(yùn)算（利用求根公式會(huì)更繁復(fù)），但還不是最簡(jiǎn)的！請(qǐng)看下面的解法.

另解設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，所以①，②.又A，B在橢圓C上，所以.

這是一種很有意思的解法，它設(shè)出了“一堆鬧騰騰”的字母（四個(gè)方程、四個(gè)未知數(shù)，倒也匹配），為的是表示“中點(diǎn)”、“直線斜率”和“兩點(diǎn)在橢圓上”，而關(guān)鍵步驟是“兩式相減，因式分解”！這樣“中點(diǎn)”、“直線斜率”的表達(dá)式顯現(xiàn)出來(lái)了，也就找到了我們需要的關(guān)系式，解題過(guò)程立即變得“平坦靜謐”.通常稱這種方法為“點(diǎn)差法”，其關(guān)鍵步驟是：設(shè)弦兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲線方程，兩等式相減，因式分解變形.

變式1過(guò)點(diǎn)M（1，1）作直線l，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若M是弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程.

解…（同上解），得，即，所以AB的斜率為，直線AB的方程為y＝.

變式2過(guò)點(diǎn)M（1，1）作斜率為1的直線l與拋物線C：y2＝2p x（p＞0）相交于A，B，若M是線段AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程是________.

解設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，所以①.又A，B在拋物線C上，所以，.

變式3（課本習(xí)題）已知雙曲線x2-，過(guò)點(diǎn)M（1，1）能否作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使M為線段AB的中點(diǎn)？

解設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，所以，②.又A，B在雙曲線C上，所以.

兩式相減得，（x1+x2）（x1-x2）-③，將①②代入③得，，即2，所以，直線l的方程為y-1＝2（x-1），即y＝2x-1.

圖1

我們畫個(gè)圖看看變式3（如圖1），奇怪了，直線l與雙曲線根本就沒(méi)有交點(diǎn)啊！所以說(shuō)沒(méi)有“萬(wàn)能”的解法，“點(diǎn)差法”還需通過(guò)圖形或解方程組來(lái)檢驗(yàn)，即由方程組得2x2-4x+3＝0，Δ＝-8＜0，所以方程組無(wú)解，即直線y＝2x-1與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，這樣的中點(diǎn)弦不存在.由此可見(jiàn)，上面的變式1、變式2的解都不太完善，都需要適當(dāng)形式的檢驗(yàn).

平面解析幾何以“算”取勝，題目本身以及為解題引入的字母、符號(hào)較多，“鬧騰”的局面似乎很難控制，很多同學(xué)常常容易被嚇倒，不敢下手.事實(shí)上，解題的關(guān)鍵是找到這些字母、符號(hào)間的內(nèi)在聯(lián)系，化繁為簡(jiǎn).“點(diǎn)差法”就是這樣一種“鬧”中取靜的解法，使用得當(dāng)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

思考題

參考答案

點(diǎn)M不在雙曲線與其漸近線所夾的區(qū)域內(nèi)時(shí)（如圖2，包括邊界，但不含原點(diǎn)O）.

圖2