老師，我怎么學會思考
——導數篇

王思儉

經常有同學這樣議論：

老師，平時常規的題目我會做，如不含參數的導數問題中求極值、單調區間、最值等，但遇到含有參數的導數題，我就不知道該怎樣思考了；

我對求含參數的閉區間上的最大值與最小值，不知道如何思考；

證明函數中的不等式問題，往往到中間某一步不知道如何思考下去；

我對函數綜合題不知道怎樣思考；

……

針對這些質疑，我邀請幾位學生就“導數的應用”進行交流，旨在引導學生學會思考，而不是拼命刷題，指導他們做中悟道，學會體驗數學.

生甲：（2018年江蘇卷第12題）若函數f（x）＝2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內有且只有一個零點，則f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值的和為________.

我也知道要先求出a，然后再求最值，但是“函數有且只有一個零點”該怎么思考呢？我在這一處卡住了.

教師：首先我們利用導數研究函數單調性、極值等問題，其次考慮函數在（0，+∞）上的極值與函數有且只有一個零點的關系，最后再求最值，你再試試看.

生甲：我想到了，只要求出f（x）在（0，+∞）上的極大值或極小值為零，函數在（0，+∞）上就只有唯一零點了.f′（x）＝6x2-2ax，討論當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，而f（0）＝1，因此f（x）在（0，+∞）上無零點.當a＞0時，可以討論得f（x）在處有極小值，于是有由題意知，，即a＝3.所以f（x）＝2x3-3x2+1.又因為f（-1）＝-4，f（1）＝0，f（0）＝1.因此，當x∈ [-1，1]時，f（x）max＝1，f（x）min＝-4，故最大值與最小值之和為-3.

生乙：在求最大值與最小值時，應該先列表討論單調性，指出極值，最后再求最值.

教師：很好！一定要注意解題的規范性.請看變題1：

已知函數f（x）＝2x3-3x2+1，求當x∈ [0，t]（其中t＞0為常數）時，f（x）的最大值.

生乙：根據剛才的結論，f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，當0＜t≤2時，最大值為f（0）＝1；當t＞2時，最大值為f（t）＝2t3-3t2+1.

教師：你為什么用2作為一個分界點？

生乙：根據函數對稱性，x＝2是其對稱軸.

生丙：這是三次函數，怎么會有對稱軸呢？應該討論極值點x＝1在區間[0，t]右側，和在區間[0，t]內，但是這種情況不知道怎么思考了.

生丁：因為極大值f（0）＝1，因此要尋找f（x0）＝1時非零x0的值，解方程得.當時，f（x）的最大值為f（0）＝1；當時，f（x）的最大值為f（t）＝2t3-3t2+1.

生戊：根據f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，因此，f（x）的最大值應該在兩個端點取到，于是只要比較兩個端點的函數值大小即可，即f（t）-f（0）＝于是分類討論得出結論.

教師：很好！他先給出函數的單調區間，從而只需比較兩個端點的函數值大小即可.變題1是一個端點固定，另一個端點在變化，如果兩個端點都在變，又應該如何處理呢？請看變題2：

已知函數f（x）＝2x3-3x2+1（x∈[t，t+1]），記f（x）的最大值與最小值的差為G（t），求G（t）的函數解析式.

生甲：單純利用生戊的方法無法求解，那應該怎樣思考呢？

教師：根據三次函數圖象的變化趨勢，結合給定區間[t，t+1]，先討論極值點是否在區間內，再比較大小.

生乙：應該將區間端點與極值點的大小進行比較，將此區間從極值點x＝0的左側向右移動，再進行分類討論.當t+1≤0，即t≤-1時，f（x）在[t，t+1]上單調遞增，因此f（x）max＝f（t+1），f（x）min＝f（t），所以G（t）＝f（t+1）-f（t）＝6t2-1.同理，當t≥1時，f（x）在[t，t+1]上單調遞增，因此f（x）max＝f（t+1），f（x）min＝f（t），所以G（t）＝f（t+1）-f（t）＝6t2-1.當-1＜t＜1時，f（x）max＝1，f（x）min＝0，所以G（x）＝1.

生丙：當-1＜t＜1時，還應該再分極大值點在區間內和極小值點在區間內兩種情況.當t+1＞0且t≤0，即-1＜t≤0時，f（x）max＝f（0），f（x）min＝min｛f（t），f（t+1）｝.又因為f（t+1）-f（t）＝6t2-1，所以，當時，f（x）min＝f（t+1），故G（t）＝f（0）-f（t+1）＝-2t3-3t2+1；當時，f（x）min＝f（t），故G（t）＝-2t3+3t2.由對稱性，同理可得，當時，G（t）＝2t3+3t2-1；當時，G（t）＝2t3-3t2.

生丁：你的結論也是錯的，不能由對稱性得出，因為，當0＜t＜1時，f（x）min＝f（1）＝0，f（x）max＝max｛f（t），f（t+1）｝，因此當時，f（x）max＝f（t），即；當時，f（x）max＝f（t+1），即G（t）＝2t3+3t2.綜上所述，

教師：很好！分段函數中可以合并的盡量合并，減少分類的層次，簡潔明了.本題分類層次較多，但最后還是可以合并的，先分后合.再看變題3：

已知函數f（x）＝2x3-ax2+1（a＞0），若不等式｜f（x1）-f（x2）｜≥｜lnx1-lnx2｜對任意x1，x2∈[a，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍.

生甲：這是二元變量的不等式恒成立問題，的確不會思考了.

教師：你們想一想，能否把二元的問題等價轉化為一元問題？你們能否想辦法將x1，x2分別轉移在不等式兩側？

生甲：分類討論思想，去掉絕對值，移項后，兩邊代數式的結構不一定相同，怎么辦？

教師：分類討論確實太煩瑣了，能否避免分類呢？首先，你們要研究函數f（x）的單調性；其次，由于x1，x2是任意的，于是可以不妨設x1＜x2，這樣是否可以了？

生乙：我就是這樣想的，由原題知，f（x）在[a，+∞）上單調遞增，不妨設x1＜x2，于是有f（x1）＜f（x2），而lnx1＜lnx2，因此不等式等價轉化為，即，再轉化為，接下來該怎么思考呢？

教師：你們觀察不等式兩側的結構是否相同？

生丙：構造函數F（x）＝2x3-ax2+1-lnx，不等式再次轉化為F（x1）＜F（x2）.由于x1＜x2，因此函數F（x）在[a，+∞）上單調遞增，即0，分離參變量法求解，好像有點困難！

生丁：可以等價轉化為6x3-2ax2-1≥0對一切x∈ [a，+∞）恒成立，設h（x）＝6x3-2ax2-1，h′（x）＝18x2-，因此h（x）在[a，+∞）上單調遞增，所以h（x）min＝h（a）＝4a3-1.因為對一切x∈ [a，+∞）都有h（x）≥0成立，因此h（x）min≥0，即4a3-1≥0，所以.所以當時，原不等式成立.

教師：很好！經過大家共同努力，此題終于圓滿解決了.本題的思考過程請大家再回顧一下，梳理一下，遇到這類題該怎樣考慮，如何轉化.

生丙：（2018年全國卷一第21題）已知函數.

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）若f（x）存在兩個極小值x1，x2，證明：.

第（1）小題求導后，f′（x） ＝，對于x2-ax+1的判別式Δ＝a2-4≤0，即-2≤a≤2時，f（x）在（0，+∞）單調遞減；當a＞2或a＜-2時，，討論得，函數f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上單調遞減，在（x1，x2）上單調遞增.而第（2）小題怎么思考呢？

生丁：第二種情況結論錯了，a＜-2時，x1＜0，x2＜0，不合適，舍去.當a＞2時，根據x1x2＝1，有0＜x1＜1＜x2，因此，函數f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上單調遞減，在（x1，x2）上單調遞增.于是x1是極小值點，x2是極大值點.而第（2）題轉化為，要證明原不等式成立，只要證明1，下面我不會做了，該怎么思考呢？

教師：你們能否再進一步轉化，轉化為一個變量的不等式呢？

生戊：根據等價于，構造函數，于是有在（1，+∞）上單調遞增，因此g（x）＞g（1）＝0.所以，即.故.

教師：經過幾位同學的共同努力，終于圓滿解決了這道高考壓軸題.從這道題的求解過程可以看出，同學們的思考過程中經常遇到障礙，如何突破障礙是關鍵.同學們要在障礙處，盡量找出思維受阻的癥結在哪里；再觀察題目的條件和結論以及中間結論，比較一下中間的結論與最終的結論還差多遠；然后再將一些信息重新組合，再思考、再理解，再實踐，多重復幾次思考再思考，問題一定會得到解決.

實戰演練

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）若f（x）存在兩個極值x1，x2，證明：.

參考答案