平面向量學習偶得

丁 昀

轉眼間高中前兩年就過去了，如今我已是一名高三學生了.老師在課上經常講一些問題的解題技巧，部分同學聽了以后就去瘋狂刷題，但收效甚微，忘了老師指導我們不能只顧埋頭拉車，更要抬頭看路，即使記得的同學，對具體怎么看路，也表示很迷茫.

在高中數學學習中，我還沒有經歷過瘋狂刷題的階段，因為我總想著能否盡量少刷題，也能取得較好的成績.琢磨多了以后，我對老師常說的高考核心知識點的解題方法有了一些想法.利用暑假時間我定下心來整理了部分問題，別說，還真有豁然開朗的感覺.下面就以平面向量的部分問題來談談我的感受.

在平面向量問題中，我們經常要用到基底化方法和坐標化方法，但僅僅知道這些是不夠的.

例1在△ABD中，AB＝2，AD＝，E，C分別在線段AD，BD上，且AE＝，則∠A＝_________.

解析根據平面向量基本定理，平面內任一向量都可以用一對不共線的向量（基底）來線性表示，利用基底進行運算，即“基底化”，這是我們解決向量問題的“看家本領”.

圖1

學習體會：用“基底化”方法解決向量問題，也就是老師上課時經常掛在嘴邊的“通法”.根據圖形結構，選擇合適的基底，直接影響到后續問題計算量的大小，千萬不可“亂點鴛鴦譜”，基底的選擇體現了我們對問題本質的理解.我的經驗是，基底一般選擇長度已知的向量、互相垂直的向量或者夾角已知的向量，再把問題中的相關向量用基底表示出來.

例2在矩形ABCD中，，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若，則的值為________.

解析在該問題中，由于點F的確切位置一開始不明確，我考慮從反過來確定點F的確切位置.平面向量可用基底表示，還可以用坐標表示，由于坐標運算的簡便性，“坐標化”也是解決向量問題的最基本方法.

考慮到矩形ABCD的條件，以A為坐標原點，AB為x軸建立平面直角坐標系，寫出各個需要的點的坐標，解決起來就妥妥的了.

以A為坐標原點，AB為x軸建立平面直角坐標系，

圖2

學習體會：在整理的過程中，我發現一般只要題目條件中出現了垂直結構，那么不管是求數量積還是其他相關問題，建立直角坐標系后，坐標化解決問題往往比較順利！在建系的策略上，當圖形為矩形、等腰三角形、圓等具有對稱結構時可以優先考慮建系.

例3將函數y＝f（x）的圖象按向量平移后得到函數y＝的圖象，求函數y＝f（x）的解析式.

解析按向量平移表示的含義是函數y＝f（x）的圖象向左平移個單位長度，向下平移2個單位長度得到的圖象.

將原有平移過程反過來，函數y＝中的x用“”替換，再將函數值增加2可得到函數y＝f（x）的解析式，即2＝sinx.

學習體會：函數圖象平移應用廣泛，而沿向量平移后許多函數可以得到化簡的功效，雖然兩者是相通的，但我和我的小伙伴們經常傻傻地將兩者混為一談.這個問題本身不是什么難題，但的確困擾了我好長時間，所以印象特別深刻.在理解向量平移的意義后，不妨將向量平移問題轉化為圖象平移問題，更容易掌握.后來我慢慢體會到，像這類在知識點交叉的問題，厘清概念的本質就顯得尤為重要，這是單純的刷題難以做到的.

你還別說，有了剛才幾個問題的整理過程，我對向量問題的處理一下子自信了許多，下面來看一道思考題.

思考題如圖所示，AB是圓O的直徑，P是圓弧AB上的一點，M，N是直徑上關于O對稱的兩點，且AB＝6，M N＝4，則＝________.

圖3

你會用幾種方法解這道題呢？

我想到了幾種方法，跟大家分享一下：

圖4

圖5

方法3以O為原點建立直角坐標系，設P（x，y），則，，且點P所在的圓O的方程為，.

圖6

方法4將點P運動到圓弧中點（特殊化），然后求，計算方法：

以O為原點建立直角坐標系，則P（0，3），，

圖7

學習體會：方法1和方法2是利用平面內的同一組基底來求解，從不同基底方案的選擇中，我們可以體會到合理選擇基底的重要性.方法3是通過建立坐標系解決問題的，不同建系方案就不再比較了，相信大家都可以輕松搞定.一般來說，對于特殊的圖形往往用坐標化的方法更加簡捷有效.方法4可以說是跳出了前面常規思路的限制，特殊化后，秒殺問題，體現出思考后的智慧化解題策略.

王國維在《人間詞話》中說：“詩人對宇宙人生，須入乎其內，又須出乎其外.入乎其內，故能寫之.出乎其外，故能觀之.入乎其內，故有生氣.出乎其外，故有高致.”數學學習需要有思考和反思能力，更需要具備舉一反三、觸類旁通的靈動性，不然就會迷失在茫茫題海中難以自拔.