兩個(gè)角度判定等差數(shù)列

張 鋒

數(shù)列是高考考查的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn).填空題多以等差數(shù)列或等比數(shù)列為載體，以基本量的計(jì)算為主，考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.解答題也總是與等差數(shù)列或等比數(shù)列相關(guān)，考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力.在解答題的考查中，往往既有等差數(shù)列或等比數(shù)列的判定與論證，又有對(duì)它們性質(zhì)的深入挖掘（如子數(shù)列、遞增遞減數(shù)列、有界數(shù)列等），綜合性很強(qiáng).所以等差數(shù)列或等比數(shù)列的判定成了解決問題的“敲門磚”，同時(shí)也是我們拿到基本分的保障.

判定一個(gè)數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列的基本方法有兩種.（1）定義法：證明an＋1-an＝d是常數(shù)（n∈N*）；（2）等差中項(xiàng)法：證明2an＋1＝an＋2＋an（n∈N*）.在解填空題時(shí)，可用通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式直接判斷.（1）通項(xiàng)法：｛an｝是等差數(shù)列 ?an＝An＋B（A，B是常數(shù)）；（2）前n項(xiàng)和法：｛an｝是等差數(shù)列 ?Sn＝An2＋Bn（A，B是常數(shù)），但這兩個(gè)方法不能作為解答題中判定的依據(jù)，需要回到定義證明.下面結(jié)合幾個(gè)例題，談?wù)勅绾螌ふ医鉀Q這類問題的突破口.

方法一：定義法

例1 若各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列｛an｝和｛bn｝滿足n∈N*，且a1＝b1＝1.

（2）求數(shù)列｛an｝，｛bn｝的通項(xiàng)公式.

分析本題改編自2012年江蘇高考數(shù)列題，題目中的數(shù)列｛an｝和｛bn｝相互影響，關(guān)系式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，給大家造成題目難度較大的錯(cuò)覺.觀察條件中給出的兩個(gè)等式的特征是尋求思路的關(guān)鍵.由于條件以及目標(biāo)數(shù)列中都涉及因此在中構(gòu)造關(guān)于的表達(dá)式是本題一個(gè)可能的思路，而右式又是關(guān)于an，bn的一次分式，可化為的形式，這就找到了關(guān)于的相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，為定義法證明等差數(shù)列提供了保障.

（1）方法一證明：因?yàn)榍覕?shù)列｛a｝和｛b｝各項(xiàng)均為正數(shù)，

方法二證明：因?yàn)樗?/p>

故對(duì)任意n∈N*都有

點(diǎn)評(píng)這類問題的證明，命題老師往往會(huì)為我們指明方向，直接構(gòu)造問題中數(shù)列的結(jié)構(gòu)是解決問題的關(guān)鍵，如果尋求到的是相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，那么常常用定義法來(lái)證明.

注意：同學(xué)們要特別注意解題過程中n的取值范圍，并判斷定義式是否是從第2項(xiàng)與第1項(xiàng)的差開始.如果是，則直接得出結(jié)論；如果不是，需要單獨(dú)說(shuō)明a2-a1也等于這個(gè)常數(shù).

方法二：等差中項(xiàng)法

例2設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝和｛bn｝滿足5an，5bn，5an＋1成等比數(shù)列，lgbn，lgan＋1，lgbn＋1成等差數(shù)列，且a1＝1，b1＝2，a2＝3.

（2）求數(shù)列｛an｝，｛bn｝的通項(xiàng)公式.

分析題干條件仍然給出的是數(shù)列｛an｝和｛bn｝相互間的關(guān)系，但證明目標(biāo)與例1并不相同，我們應(yīng)在相互關(guān)系中力求消去an，保留只含有bn的關(guān)系式.發(fā)現(xiàn)尋找到的是關(guān)于bn相鄰三項(xiàng)間的關(guān)系，為等差中項(xiàng)法證明等差數(shù)列提供了方便.等差中項(xiàng)法同樣需要注意解題過程中n的取值范圍，并判斷關(guān)系是否是從2a2＝a1＋a3開始.如果是，則直接得出結(jié)論；如果不是，需要單獨(dú)說(shuō)明2a2＝a1＋a3.

（1）證明：因?yàn)?an，5bn，5an＋1成等比數(shù)列，故 （5bn）2＝5an·5an＋1，即2bn＝an＋an＋1.

因?yàn)閘gbn，lgan＋1，lgbn＋1成等差數(shù)列，故2 lgan＋1＝lgbn＋lgbn＋1，即（an＋1）2＝bn·bn＋1.

因?yàn)閎n＞0，所以.因?yàn)閍1＝1，b1＝2，a2＝3，

有時(shí)問題題干還會(huì)給出an與Sn或者Sn與Sn＋1等之間的關(guān)系，求證數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列.這時(shí)往往先利用兩式相減消去Sn，得到數(shù)列｛an｝相鄰項(xiàng)間的關(guān)系，再利用定義法或者等差中項(xiàng)法證明.

例3設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且（5n-8）Sn＋1-（5n＋2）Sn＝An＋B，n∈N*，其中A，B為常數(shù).

（1）求A，B的值；

（2）求證：數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列.

分析（1）A＝-20，B＝-8（過程略）.

（2）證明：由（1）得（5n-8）Sn＋1-（5n＋2）Sn＝-20n-8，①

所以（5n-3）Sn＋2-（5n＋7）Sn＋1＝-20n-28，②

② - ① 得：（5n-3）Sn＋2-（10n-1）Sn＋1＋（5n＋2）Sn＝-20，

即（5n-3）（Sn＋2-Sn＋1）-（5n＋2）（Sn＋1-Sn）＝-20，

故（5n-3）an＋2-（5n＋2）an＋1＝ -20，③

所以（5n＋2）an＋3-（5n＋7）an＋2＝ -20，④

④ - ③ 得：（5n＋2）an＋3-（10n＋4）an＋2＋（5n＋2）an＋1＝0.

因?yàn)?n＋2＞0，所以2an＋2＝an＋3＋an＋1.

又因?yàn)?a2＝a1＋a3，

所以2an＋1＝an＋an＋2，n∈N*，

所以數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)本題數(shù)據(jù)貌似復(fù)雜，其實(shí)對(duì)證明｛an｝是等差數(shù)列影響并不大（事實(shí)上A與B無(wú)需求出也可證明），我們只需根據(jù)目標(biāo)將Sn轉(zhuǎn)化為an，即利用an＝Sn-Sn-1（n≥2）即可.②式減去①式的初始效果是等號(hào)右邊由一次式變成了常數(shù)，要想真正達(dá)到消去Sn的目的，Sn與Sn＋1的系數(shù)需要相同，所以要對(duì)系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)配湊.本題末尾得到的2an＋2＝an＋3＋an＋1并不包含2a2＝a1＋a3，必須單獨(dú)說(shuō)明，才能得到數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列的結(jié)論.

從上述例子我們不難看出，等差數(shù)列的判定只是數(shù)列問題的“墊腳石”，是后續(xù)問題研究的保障.命題老師并不會(huì)在此問題上過分為難大家，大家只要抓住這兩個(gè)基本方法，同時(shí)緊扣目標(biāo)數(shù)列的結(jié)構(gòu)，問題一定會(huì)迎刃而解的.