老師，我怎么學會思考
——三角函數篇

王思儉

實況回放：

老師，已知三角函數值求角的題目，我總是做不對；

這類題我不知道選取哪一種三角函數進行計算；

某一種的三角函數值我計算是正確的，但總是忽視角的范圍討論；

還有一些與整數有關的三角函數的求值問題，往往不知道怎么思考；

……

鑒于學生的這些質疑，我邀請幾位學生就“已知三角函數值求角”的問題進行交流和探討，旨在讓同學們通過具體問題的研究，學會用數學思維去分析問題和解決問題，而不是就題論題，無限制地刷題；通過對問題的研究與思考，學會用數學語言表述問題，而不是只重視結果，不看過程.

生甲：（2018年全國Ⅱ卷理科第15題）已知 sinα＋cosβ＝1，cosα＋ sinβ＝0，則 sin（α＋β）＝________.

利用消元法求出α和β，求出于是或α＝2kπ＋分類討論得，或者0.

生乙：但要注意cosα＋ sinβ＝0，于是有或者.不論哪種情況，sin（α＋

生丙：由sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ聯想到兩個已知等式平方相加可以得到，于是1＋1＋2（sinαcosβ＋cosαsinβ）＝1，即

生丁：如果改編為求sin（α-β）的值，兩邊平方和就不能直接得出結論了.這時只能先求角，再求函數值，兩種情況都是sin（αβ）＝1.

教師：很好！你們的解法都是通法，但生丙的方法更加簡潔，她是思考目標結構特征，而生丁的質疑也很有意義，他是思考同角正弦余弦平方和等于1的特征，這就說明要具體問題具體分析，不能千篇一律.請看變題：

已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，求α和β的值.

生甲：由已知得到：將兩式平方后相加，得到：1＝2-2 sinα，解得.因為所以.所以.因為所以

生丙：（整體思想）將兩式平方后相加，得到：2＋2 sin（α＋β）＝1，即.因為所以所以α＋.因為且所以.所以

教師：很好！兩種不同的思考方向，但用到的知識點都是同角三角函數平方關系式.同時要注意角的范圍.

生丁：如果題目改編為：

若sinα-cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，求α和β的值.

利用整體思想不易求解.還是利用消元法求解.

生丙：本題也可以整體思想求解，平方和求出進而求出α-β＝或代入檢驗即可得到上述結果.

教師：兩種解法都很好！要大膽嘗試改編陳題，訓練自己探究問題的能力.

生甲：已知α和β為銳角，求β的值.

生乙：可以計算，求出但不知道怎樣舍去

教師：再代回去檢驗cosβ，看看是否符合題意？

生乙：求出與β為銳角矛盾，所以故

教師：增根的原因就是因為平方而產生的，因此一定要代入檢驗，在給出結論時，一定要討論角的范圍，并指出所選三角函數在此范圍內是單調函數，最后再給出角的大小.

生戊：利用拆角變換求解，選擇正切較簡潔.因為所以α＋β∈（0，π），因為所以因為β∈，而正切函數是單調遞增的，所以

教師：很好！利用拆角變換較簡單，要學會發現已知角與要求的角之間的關系.請看變題：

已知銳角α，β的終邊與單位圓的交點分別為A，B，點A和點B的縱坐標分別為求2β-α的值.

生丁：由題意知再求出所以tan（2β-α）＝1.因為所以2β-α∈所以

教師：思路清晰，準確到位，答案正確.三角函數求值中的“給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，確定角.

生乙：已知x，y∈N*，α和β為銳角，滿足若求x，y的值.

眾生：我們也是猜的，不知道該怎樣思考.

教師：你們注意x，y∈N*嗎？找出x，y的關系式，是否可以用一個量表示另一個量呢？

生丙：由分離變量法得接下來又怎么思考？

教師：抓住x，y∈N*，于是必須滿足什么條件？

生丙：必須有x-1是2的約數，且x∈N*，因此x-1＝1或2，所以x＝2或3.所以

生丁：因為沒有明確x，y的大小關系，因 此 還 有 一 組

教師：很好！本題是整數類不定方程問題，通常是縮小變量的取值范圍，在小范圍內搜索整數解.你們會解嗎？

生戊：根據條件有x＞1，y≥2，這樣就有解之得2≤x≤3，因此x＝2或3，所以x＝2，y＝3；或者x＝3，y＝2.

教師：很好！你們拿到題目不要盲目求解，而是要學會分析問題，找出各種信息的內在聯系，尋找解題的突破口.請看變題：

已知x，y，z∈N*，銳角α，β，γ滿足若α＋β＋求x，y，z的值.

生丁：因為，所以 tan（α＋所以 tanαtanβ＋ tanβtanγ＋tanγtanα＝1，代入化簡得x＋y＋z＝xyz.這是三元的問題，怎么小范圍搜索呢？

教師：能否先給x，y，z排個序呢？然后再放縮一下，看能否得出小范圍？

生戊：不妨設1≤x≤y≤z，所以x＋y＋z≤3z，即xyz≤3z，所以xy≤3.因為xy≥x2，所以x2≤3，所以.又因為x∈N*，所以x＝1.這樣同上述問題，可得y＝2或3.綜上，x，y，z的值共有6組（是1，2，3的排列數），

教師：很好！搜索一個最小正整數后，問題轉化為上述二元問題了.

生丁：也可以從角的范圍上考慮，因為且所以α，β，γ中至少有一個角要大于或等于不妨設則所以0＜因為x∈N*，所以x＝1.所以所以這樣就是考試題了.

眾生：真棒！太有才了！你怎么想到的呢？

生丁：因為三個銳角之和為90°，因此三個角不能都小于30°，于是最大的角一定大于或等于30°，這樣正切值就有范圍了.

教師：非常好！思路清晰，分析到位！這次主要是“給值求角”的問題.已知三角函數值求角，選擇函數時可按照下列原則：一般已知正切函數值，選擇正切函數；已知正弦、余弦函數值，若角的范圍是銳角，選擇正弦函數、余弦函數都可以；若角的范圍是-90°到90°，選擇正弦函數比較好；若角的范圍為0°到180°之間時，選余弦函數比較好.

實戰演練

1.已知α和β為鈍角，cos（α＋β）＝sin（α-β），求β的值.

2.已知銳角α，β滿足求α和β的值.

答案解析

1.因為cos（α＋β）＝ sin（α-β），所 以cosαcosβ-sinαsinβ＝sinαcosβ-cosαsinβ，

所以cosα（cosβ＋sinβ）＝sinα（cosβ＋sinβ），即（cosα-sinα）（cosβ＋sinβ）＝0.

因為α和β為鈍角，所以cosα-sinα＜0，所以cosβ＋ sinβ＝0，所以tanβ＝-1，所以