發現、提出數學問題的方法

常軒銘

著名數學家哈爾莫斯曾說：“問題是數學的心臟.”古希臘的三大幾何作圖難題推動了當時古希臘幾何學的發展，1900年世界數學家大會上希爾伯特的23個數學問題推動了現當代數學學科的發展，問題是推動數學學科發展的根本動力.但是，我認為，問題的解決固然重要，但更為重要的應該是發現問題和提出問題，試想，如果沒有問題的發現與提出，又怎么會有問題的解決呢？作為一名高中學生，雖然我們不可能像大數學家一樣提出能影響數學學科發展的大問題，但我們可以從中學開始，盡自己的所能去提出、發現一些值得我們深入研究的問題，不斷地培養自己發現問題和提出問題的能力，我想在不久的將來，說不定我們也能提出一些能推動學科發展的大問題.下面結合我自己在數學學習過程中的經歷和體驗，和各位同學分享自己是如何發現并提出一些數學問題的.

方法1：對概念或定義提出一些質疑

數學教材中有很多的數學概念和定義，它們是數學學科必不可少的組成部分.當我們在學習數學概念或定義時，如果能對概念或定義多問幾個“為什么”，多提出一些質疑，不僅可以提出一些有價值的問題，同時能加深我們對概念或定義的理解.

以集合中的兩個概念和定義為例來說明.

例1 我們在高一學習過集合的概念：“一般地，一定范圍內某些確定的、不同的對象的全體構成一個集合.”

問題1：為什么數學定義和概念前一般都會有“一般地”？

問題2：什么是一定范圍？怎樣才算是確定的？

例2空集有如下性質：我們約定，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

任何一個約定式定義都有它存在的合理性和必要性.因此可以提出下列問題：

問題1：為何要做這樣的約定？（必要性）

問題2：為何可以做出這樣的約定？（合理性）

方法2：反過來思考問題

反過來思考問題，是指學完一個命題后，追問自己：這個命題將條件作為結論，將結論作為條件是否成立？這樣可以發現、提出很多新的問題.

例3初中我們曾經學過平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行.那么，將條件和結論的順序交換一下，便可以提出新的問題：兩直線平行，同位角是否相等？兩直線平行，內錯角是否相等？兩直線平行，同旁內角是否互補？

例4在“數列”一章，我們已經知道這樣一個結論：

已知數列｛an｝是等差數列，則它的前n項和為將它的條件和結論交換順序，便可提出新的問題：已知數列｛an｝的前n項和為則這個數列是否一定是等差數列？

方法3：將結論一般化

將結論一般化是指當我們學完一個命題后，追問自己：能否將命題的結論作一般性推廣？這個也是比較常用的提出問題的方法.

例5對于集合子集個數的探討，教材上讓我們試著寫出｛a1，a2｝的全部子集，在教材旁白部分有一個思考題：請寫出｛a1，a2，a3｝的全部子集.研究了集合元素個數為2個和3個的子集個數之后，我們可以提出一個新的問題：如果集合中元素個數為n（n∈N），那么集合子集個數有多少個？并且可以思考如何給出證明.

例6當我們研究了橢圓中頂角為30°，60°等特殊的焦點三角形的面積后，我們可以提出一個新的問題：如果頂角為θ，那么焦點三角形面積的一般結論是什么？

方法4：四則運算生成新問題

四則運算生成新問題是指，如果概念（定義）或性質中有加減乘除四則運算中的一個，我們可以在其他四則運算形式下提出相似的問題.

以等差數列和橢圓為例加以說明.

例7從第二項開始，每一項與前一項的差都等于同一個常數，這樣的數列為等差數列.

我們可以將差改為“和”“積”“商”，提出相似的問題.

從第二項開始，每一項與前一項的和都等于同一個常數，這樣的數列為等和數列.

從第二項開始，每一項與前一項的乘積都等于同一個常數，這樣的數列為等積數列.

從第二項開始，每一項與前一項的商都等于同一個常數，這樣的數列為等商數列.

并且可以仿照研究等差數列的相關方法，研究等和數列、等積數列、等商數列（就是以后研究的等比數列）的通項公式、前n項的和及其他相關性質.

例8平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓.

我們可以將“和”改為“差”“積”“商”，提出相似的問題.

問題1：平面內到兩個定點F1，F2的距離的差等于常數的點的軌跡是什么？

問題2：平面內到兩個定點F1，F2的距離的積等于常數的點的軌跡是什么？

問題3：平面內到兩個定點F1，F2的距離的商等于常數的點的軌跡是什么？

方法5：從課本的例題和習題中提出新的問題

蘇教版高中數學教材有一個很大的亮點和特色是教材的例習題的選編，每一節后面都有配套的課堂練習.習題部分分為三個層次：感受理解、思考運用、探究拓展.難度層層遞進，思考的深度由淺入深，同時教材在例習題的選擇上也是非常得當的.從課本的例題和習題中發現問題、提出問題也是常用的方法之一.

例9蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書（必修4）》第50頁有這樣一個問題：

一鐵棒欲通過如圖1所示的直角走廊，回答下列問題：

（2）求L（θ）的最小值（用計算器或計算機）；

（3）解釋（2）中所求得的L是能通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值.

圖1

該題是一道非常有趣的應用題，其形式新穎，又貼近生活實際，我們可以進一步提出新的問題：題目中展現的是一個不等寬的直角走廊，如果換成等寬直角走廊，情況有何變化？若將直角走廊換成折線形走廊、彎角走廊、圓角走廊，將木棒變成有厚度的平板小車（或木板），情況又是怎樣的呢？

我想，如果我們能在平時的數學學習過程中活用這樣一些發現、提出問題的方法，相信長久堅持下去一定能提高自己發現問題、提出問題的能力，與此同時也能不斷提升問題的質量和層次.更為重要的是，在問題的提出和解決過程中，我們能收獲研究問題的樂趣和數學學習的興趣，這一點能更好地促進我們的數學學習.