分離參數(shù)法妙解恒成立問題

翟愛國

所謂分離參數(shù)，是指在含有參數(shù)的不等式中，通過恒等變形，使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，則所蘊涵的函數(shù)關系便由隱變顯，從而問題可轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的值域（最值）進而求出參數(shù)范圍.這種方法由于思路清晰、規(guī)律明顯、操作性強，因而應是一種較好的求參方法.

一、不等式恒成立問題

對于不等式恒成立問題，常見的解法需把參數(shù)a分離出來，化成a≥f（x）或a≤f（x）恒成立的形式，則a≥f（x）恒成立?a≥f（x）max；a≤f（x）恒成立?a≤f（x）min.這樣可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，進而求參數(shù)a的取值范圍.

例1若不等式x2＋ax＋1≥0，對一切，求a的取值范圍.

分析思路1，通過化歸最值，直接求函數(shù)的最小值來解決，即

解法1設f（x）＝x2＋ax＋1，對一切恒成立，函數(shù)f（x）的對稱軸

解法2原不等式等價于一切成立，設u＝則u在是減函數(shù)，故當時，u取到最小值

點評本題若采用構(gòu)造函數(shù)法來解決問題，需要構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行分類討論，討論過程比較復雜；而本題若采用分離參數(shù)法，所求參數(shù)a是很容易分離出來的，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)（對勾函數(shù)）上的最小值問題，這樣處理相對來說簡單點.同學們好好體會用分離參數(shù)法解恒成立問題的妙處.

例2已知x∈（-∞，1]時，不等式1＋2x＋（a-a2）·4x＞0恒成立，求a的取值范圍.

解析令2x＝t，因為x∈（-∞，1]，故t∈（0，2]，所以原不等式可化為要使上式在t∈（0，2]上恒成立，只須求出在t∈（0，2]上的最小值即可.

點評在給出的不等式中，如果通過恒等變形不能直接解出參數(shù)，則可將兩變量分別置于不等式的兩邊，即若f（a）≥g（x）恒成立，只須求出g（x）max，則f（a）≥g（x）max，然后解不等式求出參數(shù)a的取值范圍；若f（a）≤g（x）恒成立，只須求出g（x）min，則f（a）≤g（x）min，然后解不等式求出參數(shù)a的取值范圍，問題還是轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.

例3設其中a∈R，如果當x∈（-∞，1]時，f（x）有意義，求a的取值范圍.

分析當x∈（-∞，1]時，f（x）有意義?當x∈（-∞，1]時恒 成立.

解令當x∈（-∞，1]時，只需a＞f（x）max.

點評對于一些看似非不等式恒成立問題（如定義域、單調(diào)性問題等），可通過等價轉(zhuǎn)化的方法轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題來處理.

二、方程恒有解問題

若已知含參數(shù)的方程恒有解（不涉及解的個數(shù)），可把參數(shù)分離于方程一端，通過求函數(shù)的值域，求得參數(shù)的取值范圍.

例4關于x的方程9x＋（4＋a）3x＋4＝0恒有解，求a的范圍.

分析本題中出現(xiàn)了3x及9x，故可通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)型求解.

解設3x＝t，t＞0，則原方程有解即方程t2＋（4＋a）t＋4＝0有正根.

當且僅當t＝2時“＝ ”號成立，因此a≤-8.

點評利用分離參數(shù)法解方程恒有解問題，這樣做思路清楚，解法簡潔，同學們?nèi)粽莆者@種轉(zhuǎn)化思想，可使此類問題得以順利解決.

三、參變量轉(zhuǎn)換問題

數(shù)學中的未知數(shù)與參變量之間沒有絕對的區(qū)別，即角色可以互換.處理此類問題，打破常規(guī)，恰當?shù)剡x擇未知數(shù)做主元是解題的關鍵，往往會取得出奇制勝的效果.

例5對于滿足0≤p≤4的一切實數(shù)，不等式x2＋px＞4x＋p-3恒成立，試求x的取值范圍.

分析習慣上把x當作自變量，記函數(shù)y＝x2＋（p-4）x＋3-p，于是問題轉(zhuǎn)化為：當p∈[0，4]時，y＞0恒成立，求x的取值范圍.解決這個等價的問題，容易因計算繁瑣出錯或者中途夭折.如果把變元與參數(shù)換個位置，構(gòu)造成關于參數(shù)的一次函數(shù)，本題迎刃而解.

解設函數(shù)f（p）＝（x-1）p＋（x2-4x＋3），顯然x≠1，則f（p）是p的一次函數(shù)，要使f（p）＞0恒成立，當且僅當f（p）min＞0，即f（0）＞0，且f（4）＞0.解得x的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，＋∞）.

點評本題看上去是一個不等式問題，但是經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化，把它化歸為關于p的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解，解題的關鍵是轉(zhuǎn)換變量角色.一般來說，可將已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù).

上面和同學們分享了解決恒成立問題的一種重要方法——分離參數(shù)法，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值（值域）問題.在具體的解題實踐中，方法有很多，往往需要我們綜合考慮，靈活運用，才能使問題得以順利解決.

鞏固練習

1.已知函數(shù)f（x）＝-x2＋2x-3a，當-1≤x≤2時，恒有-3≤f（x）≤2，則實數(shù)a的取值范圍是________.

2.已知函數(shù)f（x）＝4x-（k＋1）·2x＋2，若f（x）＞0恒成立，則k的取值范圍是________.

參考答案