利用次數關系簡化不等式問題

張 鵬

在高中數學涉及的基本不等式a＋b≥中，觀察發現，這是一個不等式前后次數不變的不等式.若我們更強調其中的次數關系及一般性，可把此式推廣為

即把一個多項式與一個單項式做大小比較，且該單項式的次數為多項式各項次數和的算術平均數.利用這個關系，我們可以對較為復雜、含有較高次數多項式的不等式問題進行簡化.

例1已知a＞0，b＞0，ab＝1，求證：

分析1要將左式中的一次項轉化為右式中的次項，添加零次項來使用均值不等式進行降次是常用手段，易知

分析2注意到的次數關系，將a＋b化成與有關的式子.

變式 已知a＞0，b＞0，c＞0，abc＝1，求證：

證明

當且僅當a＝b＝c＝1時取等號

例2a，b＞0，ab＝1，則的最小值是________.

分析目標式的分母中出現平方項，次數較高，可考慮利用均值不等式把分母調整為一次式.觀察發現，a＝b＝1時，可猜測此時取到最小值并證明.

通分化簡得：

所以命題得證，當且僅當a＝b＝1時取等號，此時

例3若正數x，y滿足15x-y＝22，則x3＋y3-x2-y2的最小值為________.

分析本題最常見的解法是代入消元，然后用導數解決，我們先來看一下使用這種解法的解題過程：

則f′（x）＝8（633x-935）（2x-3），

所以f（x）在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增.

然而這樣的解法計算太過繁雜.若從另外一個角度分析，由15x-y＝22，可以發現x＞1，將x3＋y3-x2-y2寫成x2（x-1）＋y2（y-1），若y＞1，則x3＋y3-x2-y2不可能有最小值，因此0＜y＜1，從二分法的角度思考，猜想再用基本不等式證明.要把x3＋y3-x2-y2調整為含15xy的形式，需要利用均值不等式進行降次.

這種解法的運算難度遠小于上一種，雖看似難以想到，但若能透徹理解不等式前后次數變化的關系，稍加猜測，就很自然了.

通過攻克以上題目，我意識到平時對基本公式、基本定理等一定要爛熟于心，吃透理解.由這些公式或定理推廣的一般結論往往能為我們的解題提供助力，使我們胸有成竹，從容應對考試.