函數觀點看數列

徐建東

高中教材必修5（蘇教版）中的數列定義是：數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集｛1，2，3，…，k｝）為定義域的函數an＝f（n），當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數值.

由此我們知道，數列可視為特殊的函數，可以用函數的觀點來看待數列，用研究函數的方法來研究數列.這為我們提供了一個更高的觀點.當然，同時要注意數列的特殊性：其定義域是正整數集或其有限子集｛1，2，3，…，k｝.因此在數列的圖象、最值、單調性、周期性等方面有其特殊的表現形式，如果不加注意也會產生錯誤.

一、函數視角下的數列的圖象和最值

例1求數列前n項和Sn＝n2-3n＋1的最小值.

分析考慮到數列前n項和Sn＝n2-3n＋1是關于n的二次函數，所以我們可以構造函數f（x）＝x2-3x＋1，通過對函數圖象的研究來得到數列前n項和Sn＝n2-3n＋1的最值，我們可以列表如下：

函數f（x）＝x2-3x＋1 數列Sn＝n2-3n＋1主要差異①定義域 x∈R n∈N*②圖象③ 最值 f（x）＝x2-3x＋1＝ x-32（ ）2-54 Sn＝n2-3n＋1＝ n-32（）2-54

由此我們看到數列中的如下結論：因兩者在定義域上的顯著差異，導致其在圖象和最值上的差異，主要為：函數f（x）＝x2-3x＋1的圖象是一根開口向上的光滑的拋物線，而數列Sn＝n2-3n＋1的圖象是拋物線上的一系列離散的點.函數在時取得最小值而數列在n取1或者2時才會取得最小值-1.

二、函數視角下的數列的單調性

例2已知｛an｝是遞增數列，且對任意的n∈N*，都有an＝n2-λn恒成立，求實數λ的取值范圍.

錯解設函數f（x）＝x2-λx，

因為｛an｝是遞增數列，所以f（x）＝x2-λx在[1，＋∞）上是單調遞增函數，

正解1因為數列｛an｝是單調遞增數列，所以an＜an＋1對n∈N*恒成立，

即n2-λn＜（n＋1）2-λ（n＋1）對n∈N*恒成立；

所以λ＜2n＋1對n∈N*恒成立，所以λ＜3.

正解2設函數f（x）＝x2-λx，因為｛an｝是遞增數列，結合f（x）＝x2-λx的圖象，可知對稱軸解得λ＜3.

函數單調性的定義中，所取的兩個自變量是定義域A的子區間I上的任意兩個量，而數列單調性中，自變量取的是相鄰的兩個正整數.在求最大和最小值時，數列中的n只能在整數內取值.如果結合圖象，我們可以把這些看得更清楚.

三、函數視角下的數列的周期性

例3已知數列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且有an＋2＝an＋1-an（n∈N*），求S2017.

分析對于這個數列，我們很難求出其通項公式，我們能做的也只能是嘗試著寫出數列的前幾項，試著找找有沒有規律，我們發現：

至此，我們已發現，這個數列是一個以6為周期的周期數列，要求數列的前2017項的和，每個周期內6項的和等于0，S2017＝1.

結語：

學習數列，不能離開函數思想方法的指導，因為數列是特殊的函數；但在數列的學習中，也不能將自變量離散變化的數列完全等同于自變量連續變化的函數，畢竟數列是特殊的函數.