美國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革及其啟示

首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (100048) 覃 淋

美國是世界數(shù)學(xué)教育強(qiáng)國，其數(shù)學(xué)教育理論研究也走在世界前列．每次由美國數(shù)學(xué)教育界提出的數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動，都會在很大程度上影響到其他國家的數(shù)學(xué)教育改革．目前，我國也在進(jìn)行一系列的數(shù)學(xué)教育改革．縱觀美國歷次數(shù)學(xué)教育改革，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教育的改革是不可能一帆風(fēng)順的．美國曾經(jīng)在改革中所犯的錯誤和經(jīng)歷的問題也許與我國數(shù)學(xué)教育改革中遇到的難題有某些相似之處，以及他們在數(shù)學(xué)教育改革中的成功經(jīng)驗(yàn)或許能給我們一些啟示．因此，考察美國的數(shù)學(xué)教育改革，進(jìn)行總結(jié)反思，吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，就顯得尤為重要．這可以讓我國在數(shù)學(xué)教育改革的過程中少走彎路，避免許多不必要的錯誤．

1 “新數(shù)學(xué)”運(yùn)動

第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束以后，世界上一些工業(yè)先進(jìn)國進(jìn)入了和平恢復(fù)時期，被戰(zhàn)爭破壞了的經(jīng)濟(jì)需要重建，這些變化促進(jìn)了技術(shù)更新，經(jīng)濟(jì)的發(fā)展使得科學(xué)、文化、教育進(jìn)一步發(fā)展．50年代，隨著電子計算機(jī)的出現(xiàn)，科學(xué)進(jìn)一步加速發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)出現(xiàn)了許多獨(dú)立發(fā)展的新分支，數(shù)學(xué)的應(yīng)用日趨廣泛，迅速滲透到其他自然科學(xué)領(lǐng)域．但在學(xué)校數(shù)學(xué)教育中并沒有任何改變，傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法及教學(xué)理論已經(jīng)不能適應(yīng)時代發(fā)展的需要．社會各界對當(dāng)時數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量差、效率低下等現(xiàn)象普遍不滿，對數(shù)學(xué)教育提出了現(xiàn)代化的要求．

經(jīng)過多次會議討論，一致認(rèn)為傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育有以下弊病[1]：(1) 觀點(diǎn)落后，缺乏近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想；(2) 內(nèi)容陳舊，基本是十六世紀(jì)前的內(nèi)容，尤其是幾何，基本上是歐氏幾何的翻版；(3) 體系散亂，代數(shù)、幾何、三角“各自為政”，缺乏共同的理論基礎(chǔ)；(4) 計算繁瑣，過分強(qiáng)調(diào)計算技巧，脫離實(shí)際；(5) 教學(xué)方法單調(diào)，偏重演繹，輕視歸納方法；(6) 大學(xué)與中小學(xué)脫節(jié)，中小學(xué)課程內(nèi)容長期停滯不前．

1957年11月，蘇聯(lián)第一顆人造地球衛(wèi)星上天，引起了世界震驚，尤其引起了當(dāng)時正處于與蘇聯(lián)對峙狀態(tài)下的美國的強(qiáng)烈反應(yīng)．美國開始從戰(zhàn)略意義上反思檢討自己教育的失敗，尤其是數(shù)學(xué)教育，得出了“極為重要的空間和國防計劃方面能否成功，極大地依賴于數(shù)學(xué)及其應(yīng)用是否占優(yōu)勢”的結(jié)論．于是，數(shù)學(xué)教育相關(guān)的各項(xiàng)研究隨之而起．

1959年9月，美國科學(xué)院召開了一次會議，會議主席布魯納在報告中提出了幾個觀點(diǎn)： (1)學(xué)習(xí)任何學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)；(2) 任何學(xué)科知識都可以用某種適當(dāng)?shù)姆椒ń探o任何年齡的學(xué)生．隨后在法國召開的一次國際性數(shù)學(xué)教育改革會議將這次改革推向了全世界，許多國家(包括一些發(fā)展中國家)都紛紛制定了新的教學(xué)大綱，編寫了新的數(shù)學(xué)教材．

這些教材具有以下的共同點(diǎn)[1]：(1)結(jié)構(gòu)化——統(tǒng)一化，以集合——關(guān)系——映射——運(yùn)算——群——環(huán)——域——向量空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)為主軸，把中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容統(tǒng)一起來；(2) 公理化——抽象化，把集合論的初步知識和幾何公理化引入教材；(3) 現(xiàn)代化——通俗化，增加了許多近現(xiàn)代的數(shù)學(xué)內(nèi)容，大量使用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號；(4) 幾何代數(shù)化，打破歐氏幾何體系，輕視幾何，重視代數(shù)，大量減少傳統(tǒng)幾何的內(nèi)容；(5) 計算機(jī)化——離散化，普及電子計算機(jī)和計算器，使之與數(shù)值分析、概率統(tǒng)計等相結(jié)合；(6) 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)精簡化，增加近現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識、觀點(diǎn)和方法，精簡傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容．

以美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育研究小組(SMSG)編寫的教材為例，該教材大力強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與形式化，企圖從數(shù)學(xué)的公理體系出發(fā)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識．更有甚者，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中竟然編入了集合論、群論的內(nèi)容．造成的后果是，學(xué)生只知道2+3=3+2，而不知道2+3=5．由于過分強(qiáng)調(diào)公理化、形式化和演繹推理，通過新數(shù)學(xué)教材培養(yǎng)出來的學(xué)生，計算能力和基本技能都很差，各種考試成績也大幅下降．引起了社會各界強(qiáng)烈不滿，批評之聲不斷，最終無可挽回地走向失敗．

2 “回到基礎(chǔ)”運(yùn)動

新數(shù)學(xué)運(yùn)動失敗后，作為對“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動的否定，“回到基礎(chǔ)”逐漸成為美國數(shù)學(xué)教育界的一個潮流．但是這場運(yùn)動走入了另一個極端，對“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動的一切都簡單粗暴地完全否定，使得美國的數(shù)學(xué)教育又回到了“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動之前的狀態(tài)：機(jī)械練習(xí)充斥于書本，強(qiáng)調(diào)基本知識和基本技能；公式、法則、定理是學(xué)習(xí)記憶的重點(diǎn).“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動反對的種種教育弊病，又重回到數(shù)學(xué)教育工作者的面前．

到20世紀(jì)70年代末，人們發(fā)現(xiàn)，“回到基礎(chǔ)”并沒有提高數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量：對基本技能和基礎(chǔ)知識的強(qiáng)調(diào)，不僅沒有使學(xué)生的數(shù)學(xué)水平提高，反而使學(xué)生的解題能力和思考能力依舊停留在低水平上，在一些方面甚至有所降低．因此，“回到基礎(chǔ)”運(yùn)動也是一場失敗的改革．

3 “問題解決”運(yùn)動

在“回到基礎(chǔ)”運(yùn)動失敗后，“問題解決”逐漸成為當(dāng)時數(shù)學(xué)教育研究的核心課題．1980年，全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(NCTM)在《行動的議程——對80年代學(xué)校數(shù)學(xué)教育的建議》中指出，“問題解決必須成為中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的中心”，這是世界范圍內(nèi)首次明確提出將問題解決作為數(shù)學(xué)教育的核心．在1984年舉行的第5次國際數(shù)學(xué)教育大會上，問題解決已成為大會的主要議題之一.

2000年，全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會發(fā)布的《美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中，問題解決依然是五個能力要求中最重要的數(shù)學(xué)能力，“問題解決不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個目標(biāo)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方式”、“問題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可分割的一部分”[2]．直到今天，不管在理論層面上，還是在實(shí)踐層面上，問題解決依然是數(shù)學(xué)教育研究的一個重要組成部分，這也打破了美國以往的“求變——變革——反思——批判——回歸”數(shù)學(xué)教育改革模式．

盡管“問題解決”在數(shù)學(xué)教育研究中占據(jù)著重要地位，但對什么是問題解決，卻沒有形成統(tǒng)一的看法．根據(jù)基爾帕特克(J．Kilpartrick)等人的研究，對問題解決大致有三種觀點(diǎn)：(1) 問題解決是實(shí)現(xiàn)其它課程目標(biāo)的工具；(2) 問題解決是一種技能，這種觀點(diǎn)認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力；(3) 認(rèn)為問題解決帶有特種技能的意味，這種觀點(diǎn)認(rèn)為數(shù)學(xué)的核心就是對困難問題的解決．從研究情況來看，大多數(shù)研究都屬于第2種．

大致地說，美國數(shù)學(xué)教育界對“問題解決”的研究，主要集中在5個方面[3]：(1)問題如何被教授；(2) 怎樣提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力；(3) 從認(rèn)知心理學(xué)出發(fā)，探索問題解決的心理過程；(4) 利用計算機(jī)模擬人類解決問題的思維過程，尋找通用的問題解決模式；(5) 把問題解決放到一般情況下來進(jìn)行研究．

美國數(shù)學(xué)教育界對數(shù)學(xué)問題解決的研究中，最值得一提的是舍恩菲得(A．Schoenfeld)的研究．舍恩菲得在波利亞研究的基礎(chǔ)上，對波利亞在《怎樣解題》中提出的許多解題探索策略進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，對其中某些策略進(jìn)行了細(xì)化和擴(kuò)展．并從研究中概括出決定問題解決能否成功的要素：個人的數(shù)學(xué)知識范圍、探索策略、自我調(diào)控能力、學(xué)生的數(shù)學(xué)觀．

4 啟示

4.1 數(shù)學(xué)教育改革除了考慮數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點(diǎn)外，還要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)

數(shù)學(xué)具有“高度抽象性”、“邏輯嚴(yán)格性”、“廣泛應(yīng)用性”三個顯著特征，而“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動過程中所編寫的數(shù)學(xué)教材的典型特征是“教材過于結(jié)構(gòu)化、抽象化和形式化，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性”．教材中充斥著許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，如集合、群、環(huán)、域等等；用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和序結(jié)構(gòu)來編寫所謂統(tǒng)一的數(shù)學(xué)課程．學(xué)校數(shù)學(xué)教育研究小組(SMSG)更是認(rèn)為，數(shù)學(xué)建立在演繹的基礎(chǔ)上，出發(fā)點(diǎn)是有限的幾條公理，向?qū)W生講授這些公理，學(xué)生是可以理解的！且不論學(xué)生是否能理解這樣的形式化演繹體系．

我們知道，公理化在某個數(shù)學(xué)分支中的應(yīng)用，是當(dāng)它發(fā)展到一定的成熟階段后，如群論、概率論的發(fā)展．而“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動不考慮學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，不考慮數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，想當(dāng)然的認(rèn)為學(xué)生可以理解這樣的形式化體系．這種不從學(xué)生實(shí)際出發(fā)的數(shù)學(xué)教育改革，注定是無法成功的．

“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動還有一個重要缺點(diǎn)是混淆了“作為科學(xué)的數(shù)學(xué)”和“作為教育的數(shù)學(xué)”，按華東師范大學(xué)張奠宙教授的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)有原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)3種[4]．“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動就是將數(shù)學(xué)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”直接向?qū)W生講授，省略了數(shù)學(xué)家們在建立一個可觀的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之前所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路，將數(shù)學(xué)家們原始的、火熱的思考過程淹沒在形式化的海洋里，學(xué)生看到的只是系統(tǒng)化的邏輯敘述，自然很難感受到這“冰冷的美麗”．正如著名數(shù)學(xué)史家M.克萊因(M．Kline，1908-1992)所說：讓(中小)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)系的封閉性公理，…… ，只不過是封閉了學(xué)生的心靈而已．

4.2 數(shù)學(xué)教育改革不能采取“革命”的辦法，要循序漸進(jìn)

在“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動受到來自四面八方的批評時，美國數(shù)學(xué)教育界又進(jìn)行了一場名為“回到基礎(chǔ)”的數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動．這次運(yùn)動走入了另一個極端，它否定了“新數(shù)學(xué)”的一切，回到了機(jī)械訓(xùn)練的數(shù)學(xué)教育.“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動雖然失敗了，但其觀點(diǎn)并非一無是處，如其提倡的“現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教育結(jié)合”、“提出發(fā)現(xiàn)教學(xué)法”等都是很有研究價值的．

“一講改革就否定以前的一切，每次又從頭開始”，這樣的教育改革是必須避免的，對任何問題都要一分為二的看待，堅決反對絕對肯定或決定否定的簡單化態(tài)度．回顧我國的數(shù)學(xué)教育改革，可以發(fā)現(xiàn)，我們的數(shù)學(xué)教育改革也犯過同樣的錯誤．如姜伯駒院士對《全日制義務(wù)教育所學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》的批評：“課程體系完全另起爐灶”、“全面否定過去的體系，知識講授跳躍雜亂”、“全面否定了我國中等教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，大大淡化了數(shù)學(xué)中的推理與證明”等．這樣的教育改革，不僅使我國的數(shù)學(xué)教育難以取得進(jìn)步，甚至?xí)胤敢郧暗腻e誤．因此，在教育改革中，一定要慎之又慎，美國的數(shù)學(xué)教育改革是前車之鑒．

對于每一次數(shù)學(xué)教育改革正確的態(tài)度應(yīng)該是：總結(jié)、反思、借鑒．對于以前數(shù)學(xué)教育改革中好的方面，要進(jìn)行總結(jié)，而不是搞歷史虛無主義：凡是舊的東西都是落后的，都應(yīng)該被拋棄．不足或錯誤的地方，要進(jìn)行反思，吸取教訓(xùn)，避免重犯．對于國外數(shù)學(xué)教育改革中優(yōu)秀的內(nèi)容，則應(yīng)該結(jié)合我國數(shù)學(xué)教育的實(shí)際情況進(jìn)行借鑒．

4.3 數(shù)學(xué)教育應(yīng)具有層次性，對學(xué)生要“區(qū)別化”對待，不能搞絕對平均，要兼顧“大眾”和“精英”

數(shù)學(xué)教育要具有層次性，是指要對不同的學(xué)生有不同的對待．?dāng)?shù)學(xué)是科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)學(xué)科，在國家之間的競爭占據(jù)核心地位．不然，美國也就不會在蘇聯(lián)的人造地球衛(wèi)星上天后，反應(yīng)如此之強(qiáng)烈，匆匆進(jìn)行數(shù)學(xué)教育改革，甚至把數(shù)學(xué)教育提高到與國家生死存亡相關(guān)的高度．

在“大眾數(shù)學(xué)”思想的影響下，表面上使更多的人學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)，實(shí)質(zhì)上使所有人學(xué)習(xí)了很少的數(shù)學(xué)；表面上使大多數(shù)人獲得了所謂的數(shù)學(xué)教育，實(shí)質(zhì)上剝奪了部分人成為社會主流的機(jī)會[5]．有這樣一種說法，不能讓95%的學(xué)生陪5%的學(xué)生讀書，但是我們也不能讓這5%的學(xué)生成為犧牲品.

因此，數(shù)學(xué)教育必須具有層次性．在數(shù)學(xué)教育改革中，我們必須思考：怎樣對待那些有數(shù)學(xué)才華的學(xué)生？怎樣才能為他們創(chuàng)造真正有利的成長環(huán)境？請記住，大眾化、普及化不是平庸化，更不是一刀切！而是“普遍地提高水平，又保證優(yōu)秀的學(xué)生能得到充分的發(fā)展”，“大眾化與提高水平必須統(tǒng)一起來”[6]．

4.4 加強(qiáng)數(shù)學(xué)教育理論研究，為數(shù)學(xué)教育改革提供必要的理論基礎(chǔ)

梳理我國數(shù)學(xué)教育研究的發(fā)展歷程，可以發(fā)現(xiàn)，我國數(shù)學(xué)教育研究主要集中在數(shù)學(xué)課程論、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論、數(shù)學(xué)教育心理學(xué)、數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)解題等方面．在一些方面，比如數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)的研究還是沒有走出一般教育心理學(xué)的視野．

任何一門科學(xué)理論的形成和發(fā)展，必須依據(jù)兩個基本條件[7]：一是理論基礎(chǔ)的構(gòu)建，二是理論應(yīng)該有實(shí)證研究作為支撐．就我國目前實(shí)際情況看，我們的數(shù)學(xué)教育研究還是更多的偏向于經(jīng)驗(yàn)性的總結(jié)，沒有或者很少上升到理論層次．翻看一些數(shù)學(xué)教育研究的雜志，就可以發(fā)現(xiàn)，內(nèi)容基本上以解題研究為主．在少有的數(shù)學(xué)教育論文中，也大多是微觀上的實(shí)踐，這些實(shí)踐也僅僅是介紹教學(xué)中的一招一式．更有甚者，直接將一般教育學(xué)的原理生搬硬套，再加上數(shù)學(xué)實(shí)例，根本沒有引伸出數(shù)學(xué)教育本身的規(guī)律性．這樣，更別說建立具有中國特色的數(shù)學(xué)教育理論體系了．而且正是由于數(shù)學(xué)教育理論研究的不足，導(dǎo)致我們編寫的教材知識體系陳舊，嚴(yán)重脫離實(shí)際．

還有一個問題是數(shù)學(xué)教育研究者必須思考的，數(shù)學(xué)教育具有一般教育過程的性質(zhì)，又有其自身獨(dú)有的特性．這種雙重性構(gòu)成了數(shù)學(xué)教育研究的對象，那么數(shù)學(xué)教育研究的邏輯起點(diǎn)是什么？教育學(xué)還是數(shù)學(xué)教學(xué)？抑或是二者共同作為數(shù)學(xué)教育研究的起點(diǎn)？若二者共同構(gòu)成數(shù)學(xué)教育研究的起點(diǎn)，那么誰占主要的部分呢？也只有弄清了這一問題，數(shù)學(xué)教育才能真正成為數(shù)學(xué)教育學(xué)．

4.5 注重培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力

教育的主要目的之一是教會學(xué)生解決問題．從我國的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)來看，幾乎把精力都放到了具體的知識與技能上，雖然這有助于學(xué)生形成良好的知識基礎(chǔ)與基本技能，對發(fā)展學(xué)生的思維能力起到了有效的促進(jìn)作用．但對學(xué)生個性品質(zhì)的培養(yǎng)、問題解決能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)卻產(chǎn)生了某些阻礙作用．

我國教材中給學(xué)生的問題大多是源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的常規(guī)問題、形式化問題，這些問題局限于數(shù)學(xué)內(nèi)部，拘泥于具體的操作和技巧，對數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的問題、實(shí)際生活問題關(guān)注較少．實(shí)際問題具有真實(shí)性、多變性、廣泛性以及復(fù)雜性等特點(diǎn)，國外的一些數(shù)學(xué)教材一般會給學(xué)生提供一些來自實(shí)際生活的題目，這些題目大都與生活實(shí)際聯(lián)系緊密，難度不大，但綜合性較強(qiáng)，涉及多方面的知識，這類問題對培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力有很大的幫助．

因此，怎樣在保持我們“雙基”優(yōu)勢的同時，如何提高我國學(xué)生解決問題的能力是一個值得我們深入研究的課題.

[1]馬忠林．?dāng)?shù)學(xué)教育史[M]．南寧：廣西教育出版社，2001．

[2]全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會．美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)[M]．北京：人民教育出版社，2004．

[3]聶必凱．美國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革[M]．北京：人民教育出版社，2010．

[4]張奠宙．教育數(shù)學(xué)是具有教育形態(tài)的數(shù)學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2005，14(3)：1-4．

[5]涂榮豹．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)識論[M]．南京：南京師范大學(xué)出版社，2003．

[6]齊民友．?dāng)?shù)學(xué)教育的改革要遵循數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2006，45(8)：1-4．

[7]單墫，喻平．對我國數(shù)學(xué)教育學(xué)研究的反思[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2001，10(4)：4-8．